2.3 圆周案例分析答案

2.3圆周运动的案例分析
【基础知识】
一．自行车、汽车转弯问题分析
1、自行车转弯
自行车在水平面内转弯时，车速和车身的倾斜程度都受到自行车与 地面的静摩擦因数μ的限制，如图所示，为了在转弯处不翻倒，要求有 足够的静摩擦力提供质心(质量中心)O 做圆周运动所需的向心力．
①自行车转弯时的最大速度v 0
自行车转弯时所需的向心力由地面的静摩擦力提供，且必须满足F 向≤f max ，即μmg ≥mv 2
R ，所以最大转弯速
度为v 0＝μRg ．
2、高速公路上汽车的转弯
通常在水平路面上做圆周运动的汽车，是靠路面对汽车的摩擦来提供向心力的． 设汽车以速度v 转弯，要转的弯的半径为R ，则需要的侧向静摩擦力f ＝m v 2
R ．
若该汽车与地面间侧向最大静摩擦力为f max ，有f max ＝m v 2
R 得，转弯的最大速率v max ＝
f max R
m
，超过这个速率，汽车就会侧向滑动． 二、火车转弯问题
1．轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
2．向心力的来源分析(如图所示)
火车速度合适时，火车受重力和支持力作用， 火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力 提供，合力沿水平方向，大小F ＝mg tan θ.
3．规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力．则mg tan θ＝m v 20
R ，可得v 0＝gR tan θ.(R 为弯道半
径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v 0为转弯处的规定速度)．
4．速度与轨道侧压力的关系
①当火车行驶速度v ＝gR tan θ时，重力和弹力的合力提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。

②当火车行驶速度v ＞gR tan θ时，轮缘对外轨有侧压力。

③当火车行驶速度v ＜gR tan θ时，轮缘对内轨有侧压力。

三、汽车过拱形桥
1．凹形桥
汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F 和阻力f ，在竖直
方向受到桥面向上的支持力F N1和向下的重力G ＝mg ，如图所示。

圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力F N1与重力G ＝mg 的合力为F N1－mg ，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F 向＝F N1－mg 。

（1）动力学方程：由牛顿第二定律F N1－mg ＝m v 2R ，解得F N1＝m v 2
R ＋mg
（2）汽车处于超重重状态
汽车具有竖直向下的加速度，F N1>mg ，对桥的压力大于重力。

2．凸形桥
汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F 和阻力f ， 在竖直方向受到竖直向下的重力G ＝mg 和桥面向上的支持力F N2， 如图所示。

圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G ＝mg 与支持力 F N2的合力为mg －F N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力， 即F 向＝mg －F N2。

（1）动力学方程：由牛顿第二定律mg －F N2＝m v 2
R ，解得F N2＝mg －m v 2R ＝mg －m v 2R 。

（2）汽车处于失重状态
汽车具有竖直向下的加速度，F N2＜mg ，对桥的压力小于重力。

这也是为什么桥一般做成拱形的原因。

（3）汽车在桥顶运动的最大速度为Rg 。

根据动力学方程可知，汽车行驶速度越大，汽车对桥面的压力越小，当汽车的速度为Rg 时，压力为零，这时汽车保持在桥顶运动的最大速度，等于或超过这个速度，汽车将离开桥顶，做平抛运动。

四、竖直面内的圆周运动实例分析
1．绳类
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg ＝m v 2
R ，得v ＝gR 。

在最高点时：
① v ＝gR 时，拉力或压力为零。

② v ＞gR 时，小球受向下的拉力或压力， 并且随速度的增大而增大。

③ v ＜gR 时，小球不能达到最高点。

（实际上球未到最高点就脱离了轨道） 即绳类的临界速度为v 临＝gR 。

2．杆类
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
① v ＝0时，小球受向上的支持力N ＝mg 。

② 0＜v ＜gR 时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小。

② v ＝gR 时，小球只受重力。

④ v ＞gR 时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。

即杆类的临界速度为v 临＝0。

注意：（1）在最高点，轻绳模型中物体的最小速度是gR ，而杆模型中在最高点物体的最小速度是零。

（2）绳模型中物体在最高点只可能受竖直向下的弹力，杆模型中物体在最高点可能受竖直向下的弹力，也可能受竖直向上的弹力。

1.长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点.则下列说法中正确的是( ) A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m v 20
L
C.小球过最高点时绳对小球的拉力为mg
D.小球过最高点时速度大小为gL 答案 D
解析 小球刚好过最高点时，拉力T ＝0，则mg ＝m v 2
L ，得v ＝gL ，故A 、C 错误，D 正确；开始时小球受到的拉力与重力的合力提供向心力，所以：T －mg ＝m v 20L ，所以T ＝mg ＋m v 2
0L ，故B 项错误，故选D.
2.如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧.两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f 甲和f 乙.以下说法正确的是( ) A.f 甲小于f 乙 B.f 甲等于f 乙 C.f 甲大于f 乙
D.f 甲和f 乙的大小均与汽车速率无关 答案 A
解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f ＝F 向心＝m v 2
r ，由于r 甲＞r
乙
，则f 甲＜f 乙，A 正确.
3.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )
A.0
B.gR
C.2gR
D.3gR 答案 C
解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2
R ，故速度大小v ＝2gR ，C 正确.
4.在铁路转弯处，往往外轨略高于内轨，关于这点下列说法不正确的是( ) A.减轻火车轮子对外轨的挤压 B.减轻火车轮子对内轨的挤压
C.使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力
D.限制火车向外脱轨 答案 B
小球通过最高点时的速度为3 m /s ，g 取10 m/s 2，则此时小球将( ) A.受到18 N 拉力
B.受到38 N 的支持力
C.受到2 N 的拉力
D.受到2 N 的支持力 答案 D
解析 设此时轻杆拉力大小为F ，根据向心力公式有F ＋mg ＝m v 2
r ，代入数值可得F ＝－2 N ，表示小球受到2 N
的支持力，选项D 正确.
6.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低.如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是半径为R 的圆周运动.设内、外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( ) A.
gRh
L B.
gRh d C.
gRL h D.
gRd h 答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mg tan θ＝m v 2R ，又由数学知识可知tan θ＝h
d ，联立解得v ＝
gRh
d
，选项B 正确.
7.火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图5.现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( ) A.减小内外轨的高度差
B.增加内外轨的高度差
C.减小弯道半径
D.增大弯道半径 答案 AC
解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力， 如图所示：即F ＝mg tan θ，而F ＝m v 2
R ，故gR tan θ＝v 2，若使火车经弯道时的
速度v 减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R ， 故A 、C 正确，B 、D 错误.
8.如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R . 现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，则下列说法中正确的是( ) A.若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力 B.若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力 C.若0<v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力 D.不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 20
R 解得v 0＝gR ，因此小球对管内壁无压力，选项A 正确.若v 0>gR ，则有mg ＋N ＝m v 20R ，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确.若0<v 0<gR ，则有mg －N ＝m v 20
R
，
表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确.综上分析，选项D 错误.
9.长为l 的轻杆一端固定着一个小球A ，另一端可绕光滑水平轴O 在竖直面内做圆周运动，如图所示，下列叙述符合实际的是( )
A.小球在最高点的速度至少为gl
B.小球在最高点的速度大于gl 时，受到杆的拉力作用
C.当球在直径ab 下方时，一定受到杆的拉力
D.当球在直径ab 上方时，一定受到杆的支持力 答案 BC
解析 小球在最高点的速度最小可以为0，选项A 错误；球在最高点的速度大于gl 时，向心力大于mg ，一定受到杆的拉力作用，选项B 正确；当球在直径ab 下方时，重力和轻杆弹力的合力提供向心力，小球一定受到杆的拉力，选项C 正确；当球在直径ab 上方时，可能受到杆的支持力或拉力或不受杆的作用力，选项D 错误. 10.2013年6月20日，航天员王亚平在运行的“天宫一号”内上了节物理课，做了如图所示的演示实验，当小球在最低点时给其一初速度，小球能在竖直平面内绕定点O 做匀速圆周运动.若把此装置带回地球表面，仅在重力场中，仍在最低点给小球相同初速度，则( ) A.小球仍能做匀速圆周运动 B.小球不可能做匀速圆周运动 C.小球可能做完整的圆周运动 D.小球一定能做完整的圆周运动 答案 BC
解析 把此装置带回地球表面，在最低点给小球相同的初速度，小球在运动过程中，不可能做匀速圆周运动，选项A 错误，B 正确；若小球到达最高点的速度v ≥gr ，则小球可以做完整的圆周运动，若小于此速度，则不能到达最高点，故不能做完整的圆周运动，选项C 正确，D 错误.
11. (多选)如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m ，小球质量为3 kg ，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a 的速度为v a ＝4 m/s ，通过轨道最高点b 的速度为v b ＝2 m/s ，取g ＝10 m/s 2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是( ) A.在a 处为拉力，方向竖直向下，大小为126 N B.在a 处为压力，方向竖直向上，大小为126 N C.在b 处为拉力，方向竖直向上，大小为6 N D.在b 处为压力，方向竖直向下，大小为6 N 答案 AD
解析 小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力.在a 点设细杆对球的作用力为F a ，则有F a －mg ＝m v 2
a
R ，
所以F a＝mg＋m v a
R＝(30＋
3×4
0.5) N＝126 N，故小球对细杆的拉力为126 N，方向竖直向下，A正确，B错误.在
b点设细杆对球的作用力向上，大小为F b，则有mg－F b＝m v2b
R，所以F b＝mg－
m v2b
R＝30 N－
3×22
0.5N＝6 N，故
小球对细杆为压力，方向竖直向下，大小为6 N，C错误，D正确.
12.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)()
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案B
解析水流星在最高点的临界速度v临界＝gL＝4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.
13.(多选)如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()
A.小球通过最高点时的最小速度是Rg
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案BD
解析小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确.
14.如图所示，某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器，滚筒内表面粗糙，内直径为D.工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动.为使栗子受热均匀，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则()
A.滚筒的角速度应满足ω<2g D
B.滚筒的角速度应满足ω>2g D
C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关
D.若栗子到达最高点时脱离滚筒，栗子将自由下落答案A
解析栗子在最高点恰好不脱离时有：mg＝m×D
2ω2，解得ω＝
2g
D，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，
则ω<2g
D，故A正确，B错误.栗子脱离滚筒的位置与其质量无关，故C错误.若栗子到达最高点时脱离滚筒，
由于栗子的速度不为零，所以栗子的运动不是自由落体运动，故D错误.故选A.
g )
(1)车正向左转弯还是向右转弯？ (2)车速是多少？
(3)若(2)中求出的速度正是汽车转弯时不打滑允许的最大速度，则车轮与地面间的动摩擦因数μ是多少？ 答案 (1)向右转弯 (2)gR tan θ (3)tan θ
解析 (1)向右转弯 (2)对灯受力分析知
mg tan θ＝m v 2
R 得v ＝gR tan θ
(3)车刚好不打滑，有 μMg ＝M v 2
R
得μ＝tan θ.
16.质量为0.2 kg 的小球固定在长为0.9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端O 点的水平轴在竖直平面内转动.(g ＝10 m/s 2)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m /s 和1.5 m/s 时，球对杆的作用力. 答案 (1)3 m/s (2)6 N ，方向竖直向上 1.5 N ，方向竖直向下
解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg ＝m v 2
0R ，解得v 0＝3 m/s.
(2)v 1＞v 0，由牛顿第二定律得：mg ＋F 1＝m v 21
R
，由牛顿第三定律得：F 1′＝F 1，解得F 1′＝6 N ，方向竖直向上.
v 2＜v 0，由牛顿第二定律得：mg －F 2＝m v 2
2R ，由牛顿第三定律得：F 2′＝F 2，解得：F 2′＝1.5 N ，方向竖直向下.。