函数的零点与方程的解 教学设计

《函数的零点与方程的解》教学设计
一、教学目标：
1．推广函数零点的定义，掌握方程的实根与其相应函数零点之的等价关系；
理解函数零点存在定理，并能运用该定理解决相关简单问题。

2．体验数学从特殊到一般抽象出结论，再应用结论解决问题的思维过程；
通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；
通过对函数与方程思想的剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

3．情感、态度与价值观：①学生体验从特殊到一般、化归与转化、函数与方程、数形结合这些数学
思想在解决数学问题时的意义与价值；
②学生在学习过程中基本形成锲而不舍的探索精神和严密思考的良好习
惯；
③学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

二、教学重难点分析：
1．教学重点：零点的概念及零点存在定理。

2．教学难点：零点存在定理的理解。

三、教学的方法与手段
四、教学过程：
一．三个问题，承前启后
在函数的应用（一）中我们已经收获了什么？
在函数的应用（二）中我们将继续收获什么？
关于二次函数的“零点”这一概念你能说一说吗？
【设计意图】①通过回顾函数的应用（一），先知晓我们已经干了哪些事，阅读函数的应用
（二）的章开头再明确接下来要干什么。

承前启后，合理自然。

②唤醒二次函数零点的概念，为函数零点概念的一般化作铺垫。

二．两个引例，推广概念
【设计意图】通过生活中的实际例子，不断抛出函数零点这一话题，强化学习者意识，为抽象出 函数零点的概念作铺垫。

一方面得到函数零点与方程有解，图像与x 轴交点三者的等价关系。

另 一方面学习者经历从解得出方程的解的对数函数到解不出具体解不熟悉的函数，引发学习冲突。

为把问题研究转移到更熟悉的二次函数来作铺垫，符合学习者认识一般数学问题的认知规律。

三．一个函数，探究定理
对于二次函数2
f ()23x x x =--，观察它的图像，计算它的函数值，在零点所在的区间，函数图像 与x 轴有什么关系？ O y x f x () = x 2-2⋅x-3-4-3
-2
-1
2
1
-2-14321
℃O t t2B
t1-53
若该二次函数的图象在区间[ ，]上连续，如果有，那么函数在
区间( , )上有零点.
结论：
若该二次函数的图象在区间[ ，]上连续，如果有，那么函数
在区间( , )上有零点.
【设计意图】：以熟悉的二次函数为研究对象，学习者亲自动手，探索规律，得出结论，猜想定理。

是探究数学问题一个特殊到一般的前半部分工作。

四．三种可能，敲定定理
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，请画出下列三种情况下经过A、B
两点的可能的函数图象。

结论2：
……
【设计意图】：探究的过程主要有两个目的.一：完成函数零点存在定理的函数一般化的过程，也是完全
生成定理的后半部分工作。

二：剖析定理使用的作用，明确定理三大关键条件的不可或缺。

体会定理中
第三个关键条件与结论的充分不必要性。

四、两种形式，辅助定理
1： 2：
【设计意图】：学习者常通过列表或函数图像的形式，定位函数零点所在的区间，从而辅助零点存在定理
的使用。

五．一分为二，重回概念
【设计意图】：学习者将方程一分为二。

既呼应三个等价关系。

又变式三个等价关系。

即函数有零点
等价于方程有解等价于图像有交点。

拓展学习思维。

六．小结知识，升华思想
函数零点方程根，
形数恰似一孪生。

函数零点端点探，
图象连续君莫忘。

说说通过这节课的学习，你有哪些收获？
【设计意图】通过小结，理清思路，归纳总结，更好地掌握知识技能，理解数学思想方法，提高解决
问题的经验。

七．作业.
若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+ (x-b)(x-c)+ (x-b)(x-a)的两个零点分别位于
哪些区间内？。