高中数学(北师大版,选修11)：第三章+变化率与导数(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,8份)

第三章 §4
一、选择题
1．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( )
A.18
B.14
C.12
D ．1 [答案] B
[解析] y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，
∴x 0＝12a ，∴y 0＝12a ，代入y ＝ax 2＋1得，1 2a ＝14a
＋1， ∴a ＝14
，故选B. 2．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4
)＝( ) A. 2
B ．－ 2
C ．0 D.22 [答案] A
[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ，
∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4
＝2，故选A. 3．函数y ＝cos x x
的导数是( ) A ．－sin x x
2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2
D ．－x cos x ＋cos x x 2
[答案] C
[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x ·(x )′x 2
＝－x sin x －cos x x 2
. 4．(2014·辽宁六校联考)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线斜率为32
，则切点的横坐标为( ) A.ln22
B ．－ln22
C ．ln2
D ．－ln2 [答案] C
[解析] f ′(x )＝e x －a e －x ，由f ′(x )为奇函数，得f ′(x )＝－f ′(－x )，即(a －1)(e x ＋e －x )＝0
恒成立，∴a ＝1，∴f (x )＝e x ＋e －x ，设切点的横坐标为x 0，由导数的几何意义有e x 0－e －x 0＝32
，解得x 0＝ln2，故选C.
5．(2014·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e )( )
A ．e －1
B ．－1
C ．－e －
1 D ．－e [答案] C
[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x
， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e
，故选C. 6．(2014·泸州市一诊)若曲线f (x )＝x －12
在点(a ，f (a ))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8 [答案] A
[解析] ∵f ′(x )＝－12x －32 ，∴f ′(a )＝－12
a －32 ， ∴切线方程为y －a －12 ＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12 ，令y ＝0得x ＝3a ，由条件知12·32
a －12 ·3a ＝18，
∴a ＝64.
二、填空题
7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12
x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. [答案] 3
[解析] ∵已知切点在切线上，∴f (1)＝12＋2＝52，又函数在切点处的导数为切线斜率，∴f ′(1)＝12
， ∴f (1)＋f ′(1)＝3.
8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.
[答案] 212
[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x
＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，
所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.
因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.
9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
[答案] 2x －y ＋1＝0
[解析] ∵点(1,3)在曲线y ＝x 3－x ＋3上，y ′＝3x 2－1，∴曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－1)|x ＝1＝2，∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.
三、解答题
10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图像上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图像在x ＝a 处的切线平行于直线AB .
[答案] 23
[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，
令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，
即3a 2－2a －1＝－1，
解得a ＝23.
一、选择题
11．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )
A.π2
B ．0
C ．钝角
D ．锐角
[答案] C
[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4
)<0，故倾斜角为钝角，选C.
12．曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43
)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19
B.29
C.13
D.23 [答案] A
[解析] 对函数y ＝13x 3＋x 求导得y ′＝x 2＋1，将x ＝1代入得曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43
)处的切线斜率为k ＝2，故切线方程是y －43＝2(x －1)，该切线与坐标轴的交点是(13，0)，(0，－23
)，故围成的三角形面积为19
，故选A. 13．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12
在点M (π4，0)处的切线的斜率为( ) A ．－12
B.12 C ．－22 D.22
[答案] B
[解析] y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x
.
二、填空题
14．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．
[答案] y ＝－3x
[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，
又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，对任意x ∈R 都成立， 所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，
曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .
三、解答题
15．求下列函数的导数．
(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x
； (2)y ＝－sin x 2(1－2sin 2x 4
)． [答案] (1)y ′＝4(1－x )
2 (2)y ′＝－1
2cos x [解析] (1)y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2(1＋x )1－x
＝41－x
－2，
所以y ′＝(41－x －2)′＝4(1－x )2
. (2)y ＝－sin x 2·cos x 2＝－12
sin x ， ∴y ′＝(－12sin x )′＝－12
cos x . 16．若两曲线y ＝3x 3＋ax 与y ＝x 2－ax ＋1在x ＝1处的切线互相平行，求a 的值．
[答案] －72
[解析] 由y ＝3x 3＋ax 得y ′＝9x 2＋a ，
∴x ＝1处切线斜率为9＋a ；
由y ＝x 2－ax ＋1得y ′＝2x －a ，
∴x ＝1处切线斜率为2－a ，
由条件知9＋a ＝2－a ，∴a ＝－72
. 17．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.
(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14
x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [答案] (1)13x －y －32＝0 (2)l ：y ＝13x ；切点(－2，－26) (3)切点为(1，－14)时，切线方程4x －y －18＝0；切点为(－1，－18)时，切线方程4x －y －14＝0
[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，
∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.
∴切线的方程为13x －y －32＝0.
(2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，
则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，
∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，
又∵直线l 过原点(0,0)，
∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，
整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.
∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．
解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，
则k ＝y 0－0x 0－0
＝x 30＋x 0－16x 0， 又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0
＝3x 20＋1， 解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.
∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y ＝－x 4
＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.
设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，
∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－1y 0＝－18
. ∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.。