数学数学平面向量多选题的专项培优易错试卷练习题含答案

数学数学平面向量多选题的专项培优易错试卷练习题含答案
一、平面向量多选题
1．下列命题中真命题的是（ ）
A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）
B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则
3
π
＜θ≤π
C ．A 、B 、C 、
D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形
D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】
对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】
对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即1
2
a b ⋅＜，又
1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3
π
＜θ≤π，即B 正确.
对于C ：
()()
22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，
0||
BC BD cosB BC BD ⋅=
⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所
以C 正确.
对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.
2．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且
AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）
A ．0AC BD ⋅=
B ．0OA OE ⋅=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为
712
【答案】BCD 【分析】
根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】
由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，
||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，
B C =，
同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.
2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.
如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭
， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；
1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误； 3
24
OA OB OC OA OE OE ++=+==
，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，132BA ⎛= ⎝⎭
，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以
了，当然还可以利用公式
a b b
⋅进行求解.
3．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）
A ．13
BF FC = B ．89
FD FE ⋅=-
C ．41cos ,5
FD FE -<<-
>≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】
A. 根据2BF FO =易得12
BF FC =判断；B. 由()()
FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,
2DOF παα⎡⎤
∠=∈⎢⎥⎣⎦
，则
()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，得到
11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫
=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用
三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为
()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；
【详解】
A. 因为2BF FO =，所以1
2
BF FC =，故错误；
B. ()()
2
FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，
()
2
2
18
1099
OE OF OD OE OF =-+++=-++
=-，故正确；
C.建立如图所示平面直角坐标系：
设,(0,]2DOF π
αα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫
=-=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以
2
2
22
8
9
cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FE
αααα-
⋅<>=
=
⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
8
4
9
(1,]5
822
cos2819
α-
---⋅，故正确；
D. 由FC FD FE λμ=+，得
()()
()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正
确； 故选：BCD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()
0a b c -⋅= B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
【答案】ABC 【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足
20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =
【答案】BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫
≠
⎪⎝
⎭
角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若
12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在
23
π
θ=
的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）
A ．()1,3a b -=-
B ．5a =
C ．a b ⊥
D ．a 在b 上的投影为37
【答案】AD
【分析】
123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；3
2
a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b
上的投影为3
2147a b b
-
⋅==-，故D 正确.
【详解】
()(
)
121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；
()
2
12
25a e e =
+==B 错误；(
)()
2
2
121211223
222322
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误； 由于(
)
2
2
2
27b e e =-=a 在b 上的投影为3
2147a b b
-
⋅==-
，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥
C ．2a b ⋅=
D ．(2)a b BC +⊥
【答案】AD 【分析】
本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】
因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，
所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫
⋅=⋅⋅=⨯⨯-
=- ⎪⎝⎭
，C 错误，
因为()2
2(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】
本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则
cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.
8．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-
【答案】BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；
因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
二、立体几何多选题
9．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．线段BM 的长是定值
B ．存在某个位置，使1DE A
C ⊥ C ．点M 的运动轨迹是一个圆
D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A D
E 【答案】AC 【分析】
取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面
1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用
余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ． 【详解】
解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，
∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点， ∴1MF A D ∥，
∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ， ∴MF 平面1A DE ， ∵DF BE ∥且DF BE =， ∴四边形BEDF 为平行四边形， ∴BF
DE ，
∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ， ∴BF ∥平面1A DE ， 又BF
MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，
∴平面//BMF 平面1A DE ， ∵BM ⊂平面BMF ， ∴
BM ∥平面1A DE ，即D 错误，
设22AB AD a ==， 则11
2
MF A D a ==，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=
+-⋅⋅=，
即BM 为定值，所以A 正确，
∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵2DE CE a ==，2CD AB a ==，
∴222DE CE CD +=，
∴DE CE ⊥， 设1DE A C ⊥，
∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =，
∴DE ⊥平面1A CE ， ∵1A E ⊂平面1A CE ，
∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾， 所以假设不成立，即B 错误. 故选:AC . 【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．
10．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A ．平面1D MN 与11
B
C 的交点是11B C 的中点 B ．平面1
D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】
取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于
,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出
,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.
【详解】
如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ， 连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=， 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，
则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.
111111////,22
NE CC DD NE CC DD ==， NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ，
,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒，
,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ， 则12//,,23
BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236
BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233
PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==
所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，
点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，
点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点.
做出线段BC 的另一个三等分点P '，
做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，
连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113
QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体
从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1.
故选:BC.
【点睛】
本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.。