北师大版初三数学九年级上册期末好题精选

北师大版初三数学九年级上册期末好题精选
一、选择题
1．已知3
sin α=，则α∠的度数是（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
2．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为
（ ） A ．3cm B ．6cm C ．12cm D ．24cm 3．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．x 1＝0，x 2＝3
D ．x 1＝0，x 2＝－3
4．若关于x 的方程 ()2
m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠.
B ．m 1=.
C ．m 1≥
D ． m 0≠.
5．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2
S 甲和2
S 乙的大小关系是（ ）
A ．2S 甲＞2
S 乙
B ．2S 甲＝2
S 乙
C ．2S 甲＜2
S 乙
D ．无法确定
6．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ）
A ．BM ＞DN
B ．BM ＜DN
C ．BM=DN
D ．无法确定
7．如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点E 以每秒k cm 的速度沿折线BS －SD －DC 匀速运动，同时点F 从点C 出发点，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动．已知点F 运动到点B 时，点E 也恰好运动到点C ，此时动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，
△EBF 的面积为2
ycm ．已知y 与t 的函数图像如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物
线，MN 为线段．则下列说法：
①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒； ②矩形ABCD 的两邻边长为BC ＝6cm ，CD ＝4cm ；
③sin ∠ABS ＝
32
； ④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④ 8．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
9．二次函数2
(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(1,3)-
D ．(1,3)--
10．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、8、17、19，则这组数据的极差是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
11．二次函数2
2y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大． A ．2x < B ．2x > C ．0x < D ．0x > 12．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A ．3π+
B ．3π-
C ．23π-
D ．223π-
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm
15．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是
A ．（6，0）
B ．（6，3）
C ．（6，5）
D ．（4，2）
二、填空题
16．抛物线2
86y x x =++的顶点坐标为______.
17．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，CD CB =.若100C ∠=︒，则ABC ∠的度数为______.
18．若
a b b -＝23，则a
b
的值为________． 19．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．
20．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．
21．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围
成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm
．
22．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与
BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.
23．如图，平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，
3
2
AD
AB =.以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AD 于点E ，以D 为圆心，DE 为半径画弧，交CD 于点F .若用扇形ABE 围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1r ；若用扇形DEF 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为
2r ，则
1
2
r r 的值为______.
24．方程22x x =的根是________． 25．数据1、2、3、2、4的众数是______．
26．如图，E 是▱ABCD 的BC 边的中点，BD 与AE 相交于F ，则△ABF 与四边形ECDF 的面积之比等于_____．
27．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作O ，CF 与O 相切于点E ，
与AD 交于点F ，则CDF ∆的面积为__________．
28．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，6BC =，D 是BC 上一点，2CD =，过点
D 的直线l 将ABC ∆分成两部分，使其所分成的三角形与ABC ∆相似，若直线l 与ABC
∆
另一边的交点为点P ，则DP =__________．
29．如图，在⊙O 中，分别将弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是__________________．
30．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．
三、解答题
31．已知二次函数y ＝(x －m )(x ＋m ＋4)，其中m 为常数． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴有公共点．
（2）若A (－1，a )和B (n ，b )是该二次函数图像上的两个点，请判断a 、b 的大小关系． 32．⊙O 中，直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，且60DEB ∠=︒，求CD 的长．
33．如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交y 轴于点A (0，4)，交x 轴于点B (4，0)，点P 是抛物线上一动点，试过点P 作x 轴的垂线1，再过点A 作1的垂线，垂足为Q ，连接AP ． (1)求抛物线的函数表达式和点C 的坐标； (2)若△AQP ∽△AOC ，求点P 的横坐标；
(3)如图2，当点P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q ′，请直接写出当点Q ′落在坐标轴上时点P 的坐标．
34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
0y ax bx c a =++≠ 的顶点为()2,0A -，且经
过点()5,9B -与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC .
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点P 为该抛物线上点C 与点B 之间的一动点.
①若1
5
PAB ABC S S ∆∆=
，求点P 的坐标. ②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ，连接BP
延长交AD 于点N .试说明()DN DM DB +为定值.
35．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
四、压轴题
36．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号)
①ABM ；②AOP ；③ACQ
（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为
1
2
，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于
3
2
，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围．
37．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．
（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．
（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？
38．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动
时间为t秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
26cm？若存在，请求出此时t的（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2
值；若不存在，请说明理由．
39．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．
（1）若DQ＝3且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；
（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．
40．如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为点C，顶点为点D，连结BD、BC、CD，求△BDC面积；
（3）对于（1）中所求的函数y=-x2+bx+c，
①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p-q=3，求t的值．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】
解：由sin α=，得α=60°， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以
2π即为圆锥的底面半径. 【详解】
解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=， ∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=. 故答案为：C. 【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解． 【详解】 解：（1）x 2=-3x ， x 2+3x=0， x （x+3）=0，
解得：x 1=0，x 2=-3． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可． 【详解】
由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选A ． 【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】
解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2
S 甲＞2
S 乙 故选：A 【点睛】
本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．C
解析：C 【解析】
分析：连接BD ，根据平行四边形的性质得出BP=DP ，根据圆的性质得出PM=PN ，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM ，从而得出三角形全等，得出答案．
详解：连接BD ，因为P 为平行四边形ABCD 的对称中心，则P 是平行四边形两对角线的交点，即BD 必过点P ，且BP=DP ， ∵以P 为圆心作圆， ∴P 又是圆的对称中心， ∵过P 的任意直线与圆相交于点M 、N ， ∴PN=PM ， ∵∠DPN=∠BPM ， ∴△PDN ≌△PBM （SAS ）， ∴BM=DN ．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题．③由 2.5BS k =，1.5SD k =，得53
BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在RT ABS ∆中，由222AB AS BS +=列出方程求出x ，即可判断．④求出BS 即可解决问题．
【详解】
解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确．
设AB CD acm ==，BC AD bcm ==， 由题意，1··( 2.5)721·(4)42
a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩
， 所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确，
2.5BS k =， 1.5SD k =， ∴
53BS SD =，设3SD x =，5BS x =， 在Rt ABS ∆中，222AB AS BS +=，
2224(63)(5)x x ∴+-=，
解得1x =或134
-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，
3sin 5
AS ABS BS ∴∠==故③错误， 5BS =，
5 2.5k ∴=，
2/k cm s ∴=，故④正确，
故选：C ．
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.
【详解】
解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的最值.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】
∵2
(1)3y x =-+，
∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）． 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
计算最大数19与最小数8的差即可.
【详解】
19-8=11，
故选：D.
【点睛】
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
11．C
【解析】
【分析】
先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.
【详解】
22
=-+=--+，
2(1)1
y x x x
<，
∵图像的对称轴为x=1，a=-10
<时，y随着x的增大而增大，
∴当x1
故选：C.
【点睛】
<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增.此题考查二次函数的性质，当a0a0
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．13．D
解析：D
【解析】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，33
∴△ABC的面积为1
2
BC•AD=
1
23
2
⨯⨯=3，
S扇形BAC=
2
602
360
π⨯
=
2
3
π，
∴莱洛三角形的面积S=3×2
3
π﹣2×3=2π﹣23，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
14．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM=1
2
CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．15．B
解析：B
【解析】
试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，
△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与
△ABC 不相似，故本选项符合题意；
C 、当点E 的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB ：BC=DE ：C
D ，△EDC ∽△ABC ，故本选项不符合题意；
D 、当点
E 的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB ：BC=CD ：CE ，△DCE ∽△ABC ，故本选项不符合题意．
故选B ．
二、填空题
16．【解析】
【分析】
直接利用公式法求解即可，横坐标为：，纵坐标为：.
【详解】
解：由题目得出：
抛物线顶点的横坐标为：；
抛物线顶点的纵坐标为：
抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).
故答案为
解析：()4,10--
【解析】
【分析】 直接利用公式法求解即可，横坐标为：2b a -，纵坐标为：2
44ac b a
-. 【详解】
解：由题目得出： 抛物线顶点的横坐标为：84221
b a -=-=-⨯； 抛物线顶点的纵坐标为：22441682464104414
ac b a -⨯⨯--===-⨯ 抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).
故答案为：（-4，-10）.
【点睛】
本题考查二次函数的知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
17．50
【解析】
【分析】
连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求出，，计算即
可.
【详解】
解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,
∴
∵DC=CB
∴
∵AB 是直
解析：50
【解析】
【分析】
连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，再利用圆周角定理求出ACB ∠，CAB ∠，计算即可.
【详解】
解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形,
∴DAB 180DCB 80∠∠=︒-=︒
∵DC=CB
∴1CAB 402
DAB ∠=∠=︒ ∵AB 是直径
∴ACB 90∠=︒
∴ABC 90CAB 50∠∠=︒-=︒
故答案为：50.
【点睛】
本题考查的知识点有圆的内接四边形的性质以及圆周角定理，熟记知识点是解题的关键. 18．【解析】
【分析】
根据条件可知a 与b 的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
19．∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】
解：这个条件
解析：∠P=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ∽△ABC，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可
以是∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
=．
【详解】
解：这个条件为：∠B=∠P ∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC ∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或AP AQ AB AC
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．20．【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出
△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得. 【详解】
解：如图，连接D
解析：4 5
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】
解：如图，连接DE,DF,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,
由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF
∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,
∴∠BDF+60°=∠AED+60°,
∴∠BDF=∠AED,
∵∠A=∠B,
∴△AED∽△BDF,
∴AD AE DE BF BD DF
,
设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,
∵AD AE DE BF BD DF
,
∴AD AE DE DE BF BD DF DF
∴
3
23
x x DE x x DF
∴
4
5 DE
DF
,
∴
4
5 CE
CF
.
故答案为：4 5 .
【点睛】
本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.
21．【解析】
【分析】
利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.
【详解】
解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，
∴R
解析：515
【解析】
【分析】
利用弧长公式求该扇形的半径，圆锥的轴截面为等腰三角形，其中底边为10，腰为母线即扇形的半径，根据勾股定理求圆锥的高.
【详解】
解：设扇形半径为R，根据弧长公式得，
90
=25
180
R
∴R=20，
22
205515 .
故答案为：515
【点睛】
本题考查弧长公式，及圆锥的高与母线、底面半径之间的关系，底面周长等于扇形的弧长这个等量关系和勾股定理是解答此题的关键.
22．【解析】
【分析】
设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a 的值，再利用tanA 即可求解.
【详解】
设BC=EC=a,
∵AB ∥CD ，
∴△ABF ∽△ECF ，
∴,即
解得a=（-舍去）
∴
【解析】
【分析】
设BC=EC=a,根据相似三角形得到
222a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解.
【详解】
设BC=EC=a,
∵AB ∥CD ，
∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222
a a =+
解得1（-1舍去）
∴tan DAE ∠=tanF=
2EC a CF =
. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义. 23．1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.
设AB=a ，
∵
∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形中，，∴∠D=120
解析：1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出
12r r 的值. 【详解】
设AB=a ， ∵32
AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，
∴l 1弧长EF=
12020.5360a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=
602360a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12
l l =1 故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.
24．x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x(x-2)=0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一
解析：x 1＝0，x 2＝2
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵22x x =，
∴22=0x x -，
∴x(x-2)=0，
x 1＝0，x 2＝2．
故答案为：x 1＝0，x 2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
25．2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的
解析：2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
26．【解析】
【分析】
△ABF 和△ABE 等高，先判断出，进而算出，△ABF 和
△ AFD 等高，得，由，即可解出．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AD ＝BC ，
又∵E 是▱ 解析：25
【解析】
【分析】
△ABF 和△ABE 等高，先判断出23
ABF ABE S AF S AE ∆∆==，进而算出6ABCD ABF S S ∆=，△ABF 和 △ AFD 等高，得2ADF ABF S DF S BF
∆∆==，由5=2
ABE ADF ABF ECDF S S S S S ∆∆∆=--四边形平行四边形ABCD ，即可解出． 【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
又∵E 是▱ABCD 的BC 边的中点， ∴
12
BE EF BF BE AD AF DF BC ====， ∵△ABE 和△ABF 同高， ∴23ABF ABE S AF S AE ∆==， ∴S △ABE ＝32
S △ABF ， 设▱ABCD 中，BC 边上的高为h ， ∵S △ABE ＝
12×BE ×h ，S ▱ABCD ＝BC ×h ＝2×BE ×h ， ∴S ▱ABCD ＝4S △ABE ＝4×32
S △ABF ＝6S △ABF ， ∵△ABF 与△ADF 等高， ∴2ADF ABF S DF S BF
∆∆==， ∴S △ADF ＝2S △ABF ，
∴S 四边形ECDF ＝S ▱ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ＝52
S △ABF ，
∴25
ABF
ECDF S S ∆=四边形， 故答案为：
25
． 【点睛】 本题考查了相似三角的面积类题型，运用了线段成比例求面积之间的比值，灵活运用线段比是解决本题的关键．
27．【解析】
【分析】
运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．
【详解】
解：∵与相切于点，与交于点
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt△C 解析：32
【解析】
【分析】
运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答．
【详解】
解：∵CF 与O 相切于点E ，与AD 交于点F
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt △CDF 中,由勾股定理得:
DF 2=CF 2-CD 2,即(2-x)2=(2+x)2-22
解得:x=12,则DF=32
∴CDF ∆的面积为
13222⨯⨯=32 故答案为
32
． 【点睛】 本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．
28．1，，
【解析】
【分析】 根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．
【详解】
解：如图：当DP∥AB 时
∴△DCP∽△BCA ∴即，解得DP=1
如图：当P 在AB 上，即DP∥AC
∴△DC
解析：1，83，32
【解析】
【分析】
根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．
【详解】
解：如图：当DP ∥AB 时
∴△DCP ∽△BCA
∴
DC DP BC AB =即263
DP =，解得DP=1 如图：当P 在AB 上，即DP ∥AC
∴△DCP ∽△BCA
∴
BD DP BC AC =即6264
DP -=，解得DP=83 如图，当∠CPD=∠B ，且∠C=∠C 时,
∴△DCP ∽△ACB
∴PD CD AB AC =即243DP =，解得DP=32
故答案为1，83，32
． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P 点是解答本题的关键．
29．【解析】
【分析】
作OH⊥AB，延长OH 交于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD ，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行
解析：163
【解析】
【分析】
作OH ⊥AB ，延长OH 交O 于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交O 于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD ，又因AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．
【详解】
如图，作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长OH 交O 于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交O 于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，
∵弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=HE=1×
4=22，OG=GF=1×4=22
，即OH=OG ， 又∵OB=OD ，
∴Rt△OHB≌Rt△OGD，
∴HB=GD，
同理，可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△OHA中，由勾股定理得：
==
∴AB=
∴四边形ABCD的面积=AB×GH=
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．
30．﹣≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，
∴函数的对称轴为x＝﹣，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最
解析：﹣1
3
≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+1
3
）2﹣
1
3
，
∴函数的对称轴为x＝﹣1
3
，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣1
3
，当x＝﹣1时，有最大值1，
∴y的取值范围是﹣1
3
≤y≤1，
故答案为﹣1
3
≤y≤1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
三、解答题
31．（1）见解析；（2）①当n＝－3时，a＝b；②当－3＜n＜－1时，a＞b ；③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【解析】
【分析】
（1）方法一：当y=0时，（x-m）（x-m-4）=0，解得x1=m，x2=-m-4，即可得到结论；方法二：化简得y＝x2＋4x－m2－4m，令y＝0，可得b2－4ac≥0，即可证明；
（2）得出函数图象的对称轴，根据开口方向和函数的增减性分三种情况讨论，判断a与b 的大小.
【详解】
（1）方法一：
令y＝0，(x－m)(x＋m＋4)=0，解得x1＝m；x2＝－m－4．
当m＝－m－4，即m＝－2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x轴有一个公共点；
当m≠－m－4，即m≠－2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点．
综上不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
方法二：
化简得y＝x2＋4x－m2－4m．
令y＝0，b2－4ac＝4m2＋16m＋16＝4(m＋2)2≥0，方程有两个实数根．
∴不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．
（2）由题意知，函数的图像的对称轴为直线x＝－2
①当n＝－3时，a＝b；
②当－3＜n＜－1时，a＞b
③当n＜－3或n＞－1时，a＜b
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及与方程的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，并且注意分情况讨论.
32．（cm）
【解析】
【分析】
先求出圆的半径，再通过作OP⊥CD于P，求出OP长，再根据勾股定理求出DP长，最后利用垂径定理确定CD长度.
【详解】
解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB3，
∴PD22
00
D P
-6，
∴CD＝2PD＝6（cm）．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造直角三角形及构造出符合垂径定理的条件是解答此题的关键.
33．(1)y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；(2)P的横坐标为13
4
或
11
4
.(3)点P的坐标为(4，0)或(5，﹣
6)或(2，6).
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；
(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ＝4PQ，设P(m，﹣m2+3m+4)，所以m＝4|4﹣(﹣
m2+3m+4|，然后解方程4(m2﹣3m)＝m和方程4(m2﹣3m)＝﹣m得P点坐标；
(3)设P(m，﹣m2+3m+4)(m＞3
2
)，当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则
PQ＝m2﹣3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B＝4m﹣12，则OQ′＝12﹣3m，在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m)2＝m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程m2﹣3m＝m和方程m2﹣3m＝﹣m 得此时P点坐标．
【详解】
解：(1)把A(0，4)，B(4，0)分别代入y＝﹣x2+bx+c得
4
1640
c
b c
=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得
3
4
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4，
当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C(﹣1，0)；
故答案为y＝﹣x2+3x+4；(﹣1，0)；
(2)∵△AQP ∽△AOC ， ∴AQ PQ AO CO
∴=， ∴441
AQ AO PQ CO ===，即AQ ＝4PQ ， 设P (m ，﹣m 2+3m +4)，
∴m ＝4|4﹣(﹣m 2+3m +4|，即4|m 2﹣3m |＝m ，
解方程4(m 2﹣3m )＝m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝134，此时P 点横坐标为134
； 解方程4(m 2﹣3m )＝﹣m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝
114，此时P 点坐标为1175,416⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上所述，点P 的坐标为(134，5116)或(114，7516
)； (3)设()
23,342P m m m m ⎛
⎫-++> ⎪⎝⎭， 当点Q ′落在x 轴上，延长QP 交x 轴于H ，如图2，
则PQ ＝4﹣(﹣m 2+3m +4)＝m 2﹣3m ，
∵△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点Q '，
∴∠AQ ′P ＝∠AQP ＝90°，AQ ′＝AQ ＝m ，PQ ′＝PQ ＝m 2﹣3m ， ∵∠AQ ′O ＝∠Q ′PH ，
∴Rt △AOQ ′∽Rt △Q ′HP ， ∴AO AQ Q H PQ '
''
=，即243m Q H m m '=-，解得Q ′H ＝4m ﹣12， ∴OQ ′＝m ﹣(4m ﹣12)＝12﹣3m ，
在Rt △AOQ ′中，42+(12﹣3m )2＝m 2，
整理得m 2﹣9m +20＝0，解得m 1＝4，m 2＝5，此时P 点坐标为(4，0)或(5，﹣6)； 当点Q ′落在y 轴上，则点A 、Q ′、P 、Q 所组成的四边形为正方形， ∴PQ ＝AQ ′，
即|m 2﹣3m |＝m ，
解方程m 2﹣3m ＝m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝4，此时P 点坐标为(4，0)； 解方程m 2﹣3m ＝﹣m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝2，此时P 点坐标为(2，6)， 综上所述，点P 的坐标为(4，0)或(5，﹣6)或(2，6)。