偏微分大型作业

应用偏微分方程大型作业
电信提高0901班
吕祺
U200913911
应用偏微分方程大型作业一：种群演化规律的数学描述
设在给定时刻t ，年龄为a 的某种群（动物、植物、细菌、细胞等）的分布密度为),(a t u ，例如，每单位体积中细菌数量、每单位体积中细胞数量、每平方公里范围内动物的数量等，初始分布密度为
)(a f ，该种群的最大年龄为A 。

假设在任意时刻t ，该种群的出生率为)(t I ，而年龄为a 的种群的死
亡率为随机数)0(>γγ。

试建立数学模型描述此种群密度),(a t u 满足的微分方程和定解条件，并求解此定解问题。

如果记时刻t 以上种群的总数为)(t U ，建立满足的微分方程和定解条件，并求解此定解问题。

如果年龄为a 的种群的死亡率为随机过程)(t γ，请给出合乎实际的假设来建立相应的数学模型，并对建立的数学模型给出理论分析或数值模拟。

解：年龄为a 的种群的死亡率为随机数)0(>γγ时，根据条件列出方程
[]0
(,)(,)()(,)(,)t
u t t a u t a t I t a t s t a t s u a t s t s ds γ∆+∆=-∆---∆+--∆+-∆++⎰
[]0
(,)(,)()(,)(,)(0,)()t
u t t a u t a t I t a t s t a t s u a t s t s ds
u a f a γ∆+∆=-∆+--∆+--∆+-∆++=⎧⎰⎨⎩
用特征线法，取z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a), a t a w u u =+⇒[()]0
a w y I z w ---=,w=
[()]a
z
I z da ce γ--⎰=()()[()],a z I z w z z e γ---[()][()](,)(0,)()t I t a t y I t a u t a u a t e f a t e γ----⇒=-=-，从而
[()]
[()]
()(,)(0,)()A A A
t I t a t I t
a U t u t a d a u a
t e
d a
f a t e
d a
γγ----==-=-⎰⎰
⎰
如果年龄为a 的种群的死亡率为随机过程)(t γ，与前述类似分析有，
[]0(,)(,)()(,)(,)(0,)()t
u t t a u t a t I t a t s t a t s u a t s t s ds
u a f a γ∆+∆=-∆+--∆+--∆+-∆++=⎧⎰⎨⎩
同上用特征线法，取
z=a-t,u(t,a)=u(a-z,a)=w(z,a),
a t a
w u u =+⇒
[(,)()]0
a w y a z a I z w +---=,w=
[(,)()]a
z
a z a I z da
ce γ---⎰=
()[(,)()],a
z
a z a I z da
w z z e γ---⎰0
[()](,)[()(,)](,)()()a
t
t
a t
I a d a t d I t a t d u t a f a t e f a t e
εεγεεε
εγεεε---+---+-⎰⎰⎰⇒=-=-
初始分布为f （a-t ），然后乘以积分因子，
[()(,)]t
I t a t d e
εγεεε--+-⎰，其中()I t ε-从0到t 的积分表示
出生造成的增量，(,)a t γεε+-从0到t 的积分表示死亡造成的减量，相乘得出在t 时的年龄为a 的种群密度。

应用偏微分方程大型作业二：热传导过程的数学分析和数值模拟
将长为50厘米的细棒放置在蒸气中直到整个棒的温度都为100度，细棒的侧面绝热，在初始时刻0=t ，将棒的两端浸入零度的冰中。

如果棒的材料为铁或混凝土，试计算一个半小时后，细棒中点的温度。

已知铁和混凝土的热传导系数分别为15.0和s cm /005.02。

试用MATLAB 工具近似分析温度分布函数)25,(),,1800(),,(t u x u x t u 的图形特点及其物理意义。

解：根据条件列方程如下：
{
0(0)0,(50)0
x
x x x λ+=== ，
20T a T λ+= 解得()2
/50n λπ=，（n=1,2,3…）
，s i n n n x B =，222/2500
a n t n T e
π-=，()222/2500
sin /50a n t n
n B n e
πμπ-=，
结合初始条件，
2
22,0,0,(,0)0,0,
(0,)0,(50,)0,0u u
a x t t x u x x u t u t t ⎧∂∂=>>⎪∂∂⎪⎪
=≥⎨⎪==>⎪⎪⎩
()()5002200100sin /501150n n B x n x dx n ππ⎡⎤==--⎣⎦⎰，∴ ()222/25001200[1(1)]sin /50n a n t n u n x e n πππ∞
-==--∑对中点
求在一个半小时后的温度：
使用matlab 命令计算级数： u=0;
for n=1:99999
u=u+200/n/pi*[1-(-1)^n]*sin(n*pi/50*25)*exp(-0.0415*n*n*pi*pi/2500*5400); end u
计算结果： >> jisuan u =
52.5488 >>
即为52.5488摄氏度。

Matlab 作图如下
U （t ，25）：随时间递增，x=25cm 处温度下降曲线
U（1800，x）：在t=1800s，细棒温度分布曲线
U（t，x）在最终T=1800时，温度曲面变化示意图
U （t ，x ）在最终T=30000时，温度曲面变化示意图
应用偏微分方程大型作业三：弹拨弦的能量分析
众所周知，许多音乐设备都是通过弦的振动产生声音的，在某种给定频率下，振动通过空气传送到听众的耳朵。

例如，中音C 就是一种频率约为256赫兹的音调。

当几种不同的音调同时听到时形成谐音。

声音的大小取决于振动弦的总能量（动能和势能）。

设有长为L ，两端固定且紧绷着的弦，将其中点2/L x =向上拉动，使其在离开平衡位置2/bL 处静止不动，在时刻0=t 时放手使弦作纵向振动。

试证明，此弦振动产生的声音中，由基频发出的基音的能量约占总能量的%81，而第二谐频发出的泛音的能量约占%9。

解：
2,0/2,(0,)0,(,
)0,
,/2,(,0
)(),/2
(,0)
,
t
t t x x u a u L L u t u L t b x x L u x b L x x L u x =<<==<=->=⎧
⎪⎨⎪⎩
用分离变量法解得
2(/)n L λπ=，
cos(/)sin(/)n n u E n at L n x L ππ=，/20
/2
2/(sin(/)()sin(/))L L
n L E b L x n x L dx L x n x L dx ππ=+-⎰⎰，
而
/2
/2
sin(/)()sin(/)L L
L x n x L dx L x n x L dx
ππ+-⎰
⎰222
2sin(/2)/L n n ππ=，所以
22(4/)sin(/2)sin(/)cos(/)n u bL n n n x L n at L ππππ=。

其中22
14/*sin(/)cos(/),34/(9)*sin(3/)cos(3/)u bL x L at L u bL x L at L ππππππ==-（u2=0），
驻波对应能量
2
(0.5)T L
t E dt u dx ρ=+
⎰⎰300
**(/)
L
n x g E dx T T ρ⎰。

14/*sin(/)sin(/)t u ab x L a t L πππ=-，
34/(3)*sin(3/)sin(3/)
t u ab x L a t L πππ=11222/2/,2/2/(3)T w L a T w L a ππ====，时间T 取两周期的最小公倍数2L/a ，对动能，
2/222
sin (/)sin (/)/(2)L a
L
dt x L a t L dx L a ππ=⎰
⎰，2/2220
sin (3/)sin (3/)/(2)L a
L
dt x L a t L dx L a ππ=⎰
⎰，进一步
可推出此积分与n 无关，动能2
2
2
2
(2/3)/()ab L n π
=22
2
2(2/3)/()ab L n
π。

势能
11100
*(/)L
x g E dx T T ρ⎰
=
2234/*2/8/bL L bL πππ=，33200
*(/)L
x g dxE T T ρ⎰=2234/(9)*2/8/(9)bL L bL πππ=。

从以上推导易证驻
波能量与n^2成反比的关系。

n 为偶数时波动为零，第二谐频为n=3.用matlab 计算所需级数的命令为：
u=0; for n=0:99999 u=u+1/(2*n+1)^2 end u 得到结果 u =
1.2337
>> 1/1.2337 ans =
0.8106
>> 1/9/1.2337 ans =
0.0901 所以得证。