偏微分作业

第二章习题
1. 设总体，今天观察了二十次，只记录是否为负值，若事件
“”出现了十四次，试按频率估计概率的原理，求a的估计值.
2. 设总体服从几何分布，其分布律为，其
中未知参数P满足0<P<1，又的样本，求P的矩估计量与极大似然估计量.
3. 设总体的密度函数为为其子
样，求参数的极大似然估计及矩法估计，今得子样观测值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62及0.55，求参数的估计值.
4. 设是取自上均匀分布的总体的一个子样，其中
，试证的极大似然估计量不止一个，例如
都是的极大似然估计量.
5. 设是取自对数正态分布总体的一个子样，即
，试求的期望值和方差的极大似然估计.
6. 设总体服从参数为的指数分布，其中未知，>0，是其样
本，试求的矩估计与极大似然估计.
7. 设总体服从二项分布，为正整数，为其子样，求N及P的矩法估计量.
8. 设总体的密度函数为：
为其子样，求参数的极大似然估计量.
9.设总体的密度函数为为其子样，求参数的矩估计量和极大似然估计量.
(1)
(2)这里
(3)
10.设总体的分布律为：
，其中，观察一个容量为3的样本，得试求参数的矩估计与极大似然估计.
11.设总体服从两点分布，今取样本容量为1的样本，试求参数P的极大似然估计.
12.设一升自来水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，其中未知，>0，为了检查自来水消毒设备的效果，从消毒后的水中随机的抽取了50次，每次一升，化验得到每升水中大肠杆菌个数如下：
大肠杆菌个数/升0123456
次数（每次一升）1720102100
试问，平均每升自来水中大肠杆菌个数为多少时，才能使出现上述化验结果的概率最大？
13.设总体，为其子样.
(1) 求k，使为的无偏估计量.
(2) 求k，使为的无偏估计量.
14. 设总体服从正态，为其子样，试证下述三个估计量：
都是a的无偏估计量，并比较那一个最有效？
15. 设总体的密度函数为
为其子样，试证都是参数的无偏估计量，问哪个数比较有效？
16. 设是来自参数为的泊松分布样本，试证明
都是的无偏估计，并问：是否还有其他的无偏估计？
17. 设总体服从参数为的泊松分布，取为样本.
(1) 记，求证：T为的无偏估计量，并说明是否合理.
(2) 求的无偏估计量.
18. 设总体服从二项分布为其子样，试求：
(1) 的极大似然估计量和.
(2) 讨论的无偏性.
(3) 求的一个无偏估计.
19. 用某种仪器测量5次，得数据（单位：）：
1250，1264，1245，1260，1275
试问温度真值在什么范围之内？假定测量误差服从正态分布，且无系统误差，取置信水平为95%.
20. 若从自动车床加工的一批零件中随机抽取10个，测得其尺寸与规定尺寸的偏差（单位：微米）分别为：2，1，-2，3，2，4，-2，5，3，4，零件尺寸
的偏差记做，假设总体，试求及的无偏估计值，并分别求其
置信水平为0.9的区间估计.
21. 科学中的伟大发现往往是由比较年轻的人提出的，下表是16世纪中到20世纪的12个重大科学突破的情况：
科学发现科学家年份年龄
日心说哥白尼154340
伽利略160043
望远镜及天文学业的基本定
律
动力学、万有引力、微积分牛顿166523
电的实质富兰克林174640
燃烧及氧化拉瓦锡177431
地球的演变莱尔183033
进化论达尔文185349
光的电磁场特性麦克斯韦186433
放射性居里189634
量子力学普朗克190143
狭义相对论爱因斯坦192639
设提出重大科学发现时科学家的年龄服从，构造的置信水平为0.95的置信区间.
22. 已知一批产品的长度指标，问至少应抽取多大容量的样本，才能使样本均值与总体期望值的绝对误差，在置信水平为95%的条件下小于
23. 随机的从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻（单位：欧姆）为：
A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137
B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140
设测定数据分别来自分布和，且两样本相互独立，均未知，试求的置信度为95%的置信区间.
24. 甲、乙两位化验员独立的对某种聚合物的含氮量用相同的方法各做了
10次测定，其测定值的修正方差，依次为0.5419，0.6050，求总体分布
的方差比的双侧置信区间，假定测量误差服从正态分布，且无系统误差，取置信水平为90%，你能否断言哪一位化验员的测量精度显著地高？
25. 对某种产品质量指标进行抽样检验，每天抽取容量为5的样本（各天的样本相互独立），某5天的样本方差数据为：
假设产品质量指标，试求的95%的置信区间.
26. 设是取自正态总体的一个样本.
（1）假定已知，未知，，试问，样本大小n取多大值才能使得双侧置信区间的长度不超过定长L.
（2）假定均未知，，，试证，当样本大小
时，双侧置信区间的平均长度不超过定长L.（为修正样本标准差）
27. 设总体，为其子样，已知n=9，，当
已知时，有两个置信区间试证明：由(B)给出的置信区间比由(A)给出的置信区间好.
习题解答：
1参看例2.1.2
2、（1）极大似然估计
似然函数为
似然方程为
解得，所以极大似然估计为
（2）矩估计
由令解得的矩估计量为
3、（1）极大似然估计
似然函数为
似然方程为
解得所以的极大似然估计为
（2）由于=
令=，解得的矩估计量为
分别代入具体数值计算即可。

4、解上的均匀分布的密度函数为
则似然函数为
由于似然函数在上是一个常数，所以凡满足
的均为的极大似然估计从而
（1）满足此条件
（2）由于故
所以也是的极大似然估计
（3）由于故
从而
也为的极大似然估计。

5、解由则
可得的密度函数为
似然函数为
似然方程为
解得
与的极大似然估计为
又
从而和的极大似然估计为
6、极大似然估计的性质
7、参看例2.1.1
8、似然函数为
由于
故取到其可能的最大值时可使达到最大值，故的极大似然估计为
由解得的极大似然估计为
9、（1）参看课本例2.1.9矩估计
极大似然估计为
（2）的矩估计为
（3）参看例2.1.3
10、参看例2.1.8
12、解由一升水中大肠杆菌个数服从普哇松分布，又，问题变成求的
极大似然估计，即，将观测值代入后求得，故每升水中大肠杆菌个数平均为1时出现上述情况的概率为最大。

13、(1)
故时，
（2）由于且相互独立，所以
若为的无偏估计即
而，所以当时为的无偏估计14、由于，，
所以都为的无偏估计，且所以最有效15、由知，的密度分别为
从而
所以都是参数的无偏估计量
又，所以更有效
16、证明：因为
所以和都为的无偏估计
又
故也是的无偏估计
18、解（1）似然函数为
似然方程为
解得
由解得
（3）由于，
，所以为的一个无偏估计。

20、分别为的无偏估计。

因为正态总体的均值和方差均未知，考虑的区间估计时，都是用第二
种情形
21、同上题
23、
A批导线电阻均值为修正方差为
B批导线电阻均值为修正方差为
置信度为95%，即，自由度为7，查表得=2.635
所以的置信度为95%的置信区间为其中
24、由于
=0.9
所以的置信区间为
置信下限
置信上限
26、（1）由于已知，的置信水平为的置信区间长度为（2）略。