天津市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题含答案

天津一中2018-2019-2 高一年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时90 分钟。

第I 卷 1 页，第II 卷至2 页。

考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

一．选择题
1.以下说法正确的有几个（）
①四边形确定一个平面；
②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
2.在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,且a cos B =-b) cos A ，则角A 的大小为（）
ππππ
A．B．C．D．
6 4 3 2
3.在∆ABC 中，若AB ⋅AC = 2 且∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（）
A B．C
3
D
4.设α、β、γ为平面，为m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）
A．若α⊥β,α⋂β=l, m ⊥l ，则m ⊥β B．若α⋂γ=m,α⊥γ, β⊥γ，则m ⊥β
C．若α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α，则m ⊥β D．若n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α，则m ⊥β
B ．
C ．
D ．
2
3 4 15
1 1 1 1 1 1
A ． 1
3 B ． 2
3 C ． 43
D ． 2
6．点 G 为 ∆ABC 的重心， AB = 2, BC = 1, ∠ABC = 60
，则 AG ⋅ CG = （ ）
A ． - 59
B ． - 9
8
C ． 5
9
D ． 1
9
7.在正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，点 O 是正方形 ABCD 的中心，关于直线 A 1O 下列说法正确的
（ ）
A ． A 1O / / D 1C
B ． A 1O / / 平面 B 1CD 1
C ． A 1O ⊥ BC
D ． A 1O ⊥ 平面 AB 1 D 1
8.一个圆锥 SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥 SC 和圆柱 OM 的底面半径及体积也都相等,
则圆锥 SC 和圆柱 OM 的侧面积的比值为（ ）
A ．
9.平行六面体 ABCD - A B C D 的底面 ABCD 是菱形，且 ∠C CB = ∠C CD = ∠BCD = 60 ，
CD = 2, C C = 3 ，则二面角 C - BD - C 的平面角的余弦值为（ ） 1
2 1
A ． 1
2
B ． 1
3
C
3
D
3
10．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使
AM = 1 AB , AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，
3 2
则 λ
的值为（ ） μ
A ． 8
3 B ． 3
8
C ． 1
6
D ． 6
二．填空题
11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |，则 | 2a - b |=
．
12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，
则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于
．
13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角 A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为
．
14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为
a 、
b 、
c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．
15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离
为
．
16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD = π
， AB = AD = 2 ，若 M 、N
3
分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中
λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．
N
α 1
α α 17. 设 f (α ) = m ⋅ n ,其中向量 m = ( cos , ), n = (2 s in , cos 2 4 2 4 2
- 1) .
（1）若 f (α ) = -1 ,求 cos( π - α
) 的值；
3 2
（2）在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 a cos B + b cos A + 2c ⋅ cos C = 0 ,求函数 f ( A ) 的
取值范围.
18. 如图，在几何体中，四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面 ADNM ⊥ 平面 ABCD , E 为 AB 中点.
（1）求证： AN / / 平面 MEC ；
（2）求证： AC ⊥ BN .
19．如图1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 A D = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .
（1）求证：OH / / 平面DEC ；
（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .
20.如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形， PO ⊥ 底面 ABCD ， O 、E 分别是 AD 、AB 的中点， AB = 6, AP = 5 ， ∠BAD = 60 .
（1）求证：平面 PAC ⊥ 平面 POE ；
（2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；
（3）若 F 是边 DC 的中点，求异面直线 BF 与 PA 所成角的正切值。

一．1.B 2. B 3. C 4. D 5．B 6．A 7. B 8. C 9. D 10．D
二．11．12.
2
14. 60
16.
2
3
三．
17.
（1）f (α) = sin(α+π) -1
2 6 2
∴ cos(
π
-
α
) =-
1
3 2 2
（2）C =2π
3
f ( A) = sin(
A
+
π
) -
1
2 6 2
A
+
π
∈(
π
,
π
)
2 6 6 3
f ( A) ∈
（1）证明：连接 BN （如图），使得 BN ⋂ CM = H
易证 EH / / A N
AN ⊄ 平面 MEC EH ⊂ 平面 MEC AN / / 平面 MEC
（2）证明： ABCD 是菱形
AC ⊥ BD
平面 ADNM ⊥ 平面 ABCD
平面 ADNM ⋂ 平面 ABCD = AD
ADNM 是矩形 ND ⊥ AD
ND ⊂ 平面 ADNM
∴ ND ⊥ 平面 ABCD
AC ⊥ ND
BD ⋂ ND = D
BD , ND ⊂ 平面 NDB
∴ AC ⊥ 平面 NDB
∴ AC ⊥ BN
易证 OQ // 平面 DEC
HQ / / 平面 DEC
OQ , HQ ⊂ 平面 OHQ
OQ ⋂ HQ = Q
∴ 平面 DEC / / 平面 OHQ
OH ⊂ 平面 OHQ
∴ OH / / 平面 DEC
（2）证明：连接 OD , OM
DA = DE , O 为 AE 中点
∴ DO ⊥ AE
DO 2 + OM 2 = DM 2
∴ DO ⊥ OM AE , O M ⊂ 平面 ABCE AE ⋂ OM = O
∴ O D ⊥ 平面 ABCE
OD ⊂ 平面 ADE ⊥
∴ 平面 ADE ⊥ 平面 ABCE
（1）证明： ABCD 是菱形
AC ⊥ BD ， OE / / B D
∴OE ⊥ AC PO ⊥ 底面 ABCD PO ⊥ AC
OE , O P ⊂ 平面 POE
OE ⋂ OP = O
∴ AC ⊥ 平面 POE
AC ⊂ 平面 PAC
∴ 平面 PAC ⊥ 平面 POE
（2）过点 B 作 BM ⊥ OE 于 M ，
易证 PO ⊥ BM
OE , O P ⊂ 平面 POE OE ⋂ OP = O
∴ BM ⊥ 平面 POE
∴ PM 是 PB 在平面 POE 上的射影
∠BPM 即为所求
在 Rt ∆PMB 中， BM =PB =
sin ∠BPM =
BM =
PB 86
易证 DH / / B F ,TH / / P A
∴∠DHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角
在 ∆DHT 中， DH =HT = 5 , DT = 2 2
∴ c os ∠DHT ∴ tan ∠DHT。