高中数学 阶段质量评估2 北师大版选修1-1(2021年最新整理)

2016-2017学年高中数学阶段质量评估2 北师大版选修1-1
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第二章圆锥曲线与方程
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若拋物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为10，则P点的坐标是( ）
A．(9,6）B．（9，±6)
C．（6,9）D．(6，±9)
解析：设P（x0，y0），则x0＋1＝10,∴x0＝9，
y错误!＝36，∴y
＝±6,故P点坐标为（9,±6）．
答案：B
2．以双曲线错误!－错误!＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（)
A。

错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1
C.错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1
解析：双曲线的焦点(±4，0)，顶点（±2，0），
故椭圆的焦点为(±2,0）,顶点为（±4,0）．
所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.
答案：A
3．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是( ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
解析：sin θ可以等于1，这时曲线表示圆,sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线,sin θ可以大于0且小于1,这时曲线表示椭圆．
答案：C
4．双曲线错误!＋错误!＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是（)
A．（－∞,0）B．（－12，0）
C．（－3，0) D．（－60,－12)
解析：∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k。

∵e∈(1，2)，∴错误!＝错误!∈(1,4)，k∈（－12，0）．
答案:B
5．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为（)
A. 6 B．错误!
C.错误!D．错误!
解析：设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)，所以其渐近线方程为y＝±错误!x，因为点（4，－2)在渐近线上，所以错误!＝错误!,根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!，e＝错误!.
答案：D
6．双曲线错误!－错误!＝1（mn≠0)离心率为2,其中一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.错误!B．错误!
C.错误!D．错误!
解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴m＋n＝1且错误!＝e2－1＝3,解得m＝错误!，n
＝3
4
，∴mn＝错误!.
答案:A
7．若双曲线错误!－错误!＝1的渐近线l的方程为y＝±错误!x，则双曲线焦点F到渐近线
l的距离为( )
A。

错误!B．错误!
C．2 D．2错误!
解析：可知m＞0,∴双曲线x2
9
－错误!＝1的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!,∴m＝5,
焦点为(±14,0)．
则焦点（错误!，0）到渐近线y＝错误!x的距离为d＝错误!＝错误!.
答案：A
8．两个正数a、b的等差中项是错误!，一个等比中项是2错误!，且a＞b，则双曲线错误!－错误!＝1的离心率为( )
A。

错误!B．错误!
C。

错误!D．错误!
解析：由错误!可得a＝5，b＝4,
∴c2＝a2＋b2＝41，∴c＝41，e＝错误!.
答案：D
9．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为错误!，则这个椭圆的方程为( ）
A。

错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1
C.错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1 D．以上都不对
解析：∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，
∴2c＝a，又∵a－c＝错误!，可知c＝错误!，a＝2错误!，
∴b＝错误!＝3。

∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。

答案:C
10．设F1,F2分别为双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P,满足｜PF2｜＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为（)
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
解析：过F2作F2A⊥PF1于A，由题意知｜F2A|＝2a，｜F1F2｜＝2c,则|AF1｜＝2b，∴|PF1｜＝4b，而|PF1｜－|PF2|＝2a，
∴4b－2c＝2a，c＝2b－a,c2＝(2b－a）2，
a2＋b2＝4b2－4ab＋a2，解得错误!＝错误!，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.故选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上）
11．已知拋物线y2＝4x上一点M与该拋物线的焦点F的距离|MF｜＝4，则点M的横坐标x ＝________。

解析：拋物线y2＝4x的焦点为F(1,0），准线为x＝－1.
根据拋物线的定义，点M到准线的距离为4，
则M的横坐标为3。

答案:3
12．若双曲线的一个焦点为（0，－13)且离心率为错误!,则其标准方程为________．解析：依题意，知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又错误!＝错误!，
所以a＝5，b＝c2－a2＝12，故其标准方程为错误!－错误!＝1。

答案：错误!－错误!＝1
13．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为错误!，则它的长半轴长为______________．
解析：当0＜m＜1时,错误!＋错误!＝1，e2＝错误!＝1－m＝错误!,
m＝1
4
，a2＝错误!＝4,a＝2；
当m＞1时,错误!＋错误!＝1,a＝1。

应填1或2。

答案：1或2
14．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的焦点为F1、F2，O为坐标原点,点P是椭圆上的一点,点M为PF1的中点,｜OF1|＝2｜OM|，且OM⊥PF1，则该椭圆的离心率为________．解析：∵OM綊错误!F2P,又｜OF1｜＝2|OM｜,
∴｜PF2｜＝2|OM｜＝c,
∵PF2⊥PF1，
∴(2a－c）2＋c2＝（2c)2,
∴e2＋2e－2＝0,得e＝错误!－1.
答案：错误!－1
三、解答题(本大题共4小题,满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知双曲线与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
解析：∵双曲线的一个焦点坐标为(0，3），
∴双曲线的焦点在y轴上，
∴方程化为错误!－错误!＝1,
∴错误!＝3，
∴k＝－1,
∴双曲线的标准方程为y2
8
－x2＝1。

16．（12分)已知椭圆x2
a2
＋错误!＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、
N两点，若｜MN|＝3，且椭圆离心率是方程2x2－5x＋2＝0的根，求椭圆方程．解析：∵右焦点为F(c，0),把x＝c代入错误!＋错误!＝1中，
得y2＝b2错误!＝错误!，∴y＝±错误!。

∴｜MN｜＝错误!＝3.①
又2x2－5x＋2＝0⇒（2x－1)(x－2)＝0，
∴x＝错误!或2，又e∈(0，1）,∴e＝错误!，即错误!＝错误!。

②
又知a2＝b2＋c2，③
由①②③联立解得错误!
∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1。

17．(12分）汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm,灯深10 cm，那么灯泡与反射镜顶点的（即截得抛物线顶点)距离是多少?
解析：取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．
因灯口直径|AB|＝24，灯深|OP｜＝10,
所以点A的坐标是(10，12)．
设抛物线的方程是y2＝2px（p>0)．
由点A(10,12)在抛物线上,得
122＝2p×10，∴p＝7.2。

抛物线的焦点F的坐标为(3。

6，0）．
因此灯泡与反射镜顶点的距离是3。

6 cm.
18．（14分)已知,椭圆C经过点A错误!，两个焦点为（－1,0),（1,0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2)E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线的斜率AE与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解析：(1）由题意，知c＝1，可设椭圆方程为
错误!＋错误!＝1，
因为A在椭圆上,所以错误!＋错误!＝1，
解得b2＝3，b2＝－3
4
（舍去）．
所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。

（2）证明:设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋错误!，代入错误!＋错误!＝1，
得（3＋4k2）x2＋4k(3－2k)x＋4错误!2－12＝0。

设E(x E，y E)，F(x F，y F)，因为点A错误!在椭圆上，
所以x E＝错误!，y E＝kx E＋错误!－k。

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中－k代k,可得x F＝错误!，y F＝－kx F ＋错误!＋k.所以直线EF的斜率k EF＝错误!＝错误!＝错误!，
即直线EF的斜率为定值，其值为错误!.。