人教A版(2019)高中数学必修第一册3.2.1函数的单调性教案

3.2.1 函数的单调性
教学目标：
1.知识与技能：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；能够运用函数图象理解和研究函数的性质；能够熟练应用定义法证明函数在某区间上的单调性.
2.过程与方法：通过观察函数图象的升降，形成增(减)函数的直观认识.再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大(减小)的规律，由此得出增(减)函数的定义，进而掌握利用定义法证明函数单调性的基本方法和步骤.
3情感、态度与价值观：
函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解增函数、减函数、单调区间概念的过程.在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力.
教学重点：形成增(减)函数的形式化定义，利用定义法证明函数的单调性.
教学难点：形成增(减)函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；利用定义法证明函数的单调性.
教学过程：
准备活动：情境引入
这是纪录片《航拍中国》的一个瞬间，作为中国地理文化的象征，泰山以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上，泰山的美在于它的起伏变化.类似的，作为高中数学的核心，函数的魅力也是如此.今天我们一起来探究函数的单调性.
活动一：探究概念
问题1：这是某市一天24小时的气温变化图，请问气温在哪段时间内是逐渐升高的，在哪段时间内是逐渐下降的?
教师活动：请学生直接描述气温的升高、下降规律.
学生活动：分别从[4,14]和[0,4]，[14,24]三个时间段描述气温的变化情况.
【设计意图】通过生活中熟悉的实例，让学生从“形”的角度逐步形成对函数单调性的直观认识.
问题2：(1)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,那么y是否随着x的增大而增大？
(2)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1,2,3,4时,对应地y=1,2,3,5,那么y是否随着x的增大而增大？
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<x n时,对应地y1<y2<y3<……<y n,那么y是否随着x的增大而增大？
(4)若x 取无数个值呢？x 应该取区间D 内的任意实数，x 的任意性.
教师活动：引导学生先从函数值的角度思考问题，再从图象的角度进行对比，进而引出自变量x 的任意性.
学生活动：学生通过比较函数值的大小，猜想函数的增减变化趋势.再通过函数图象进行强烈的对比，从而意识到自己思维认知的漏洞，逐渐产生严谨规范地概括概念的欲望.
【设计意图】通过问题串层层引入，引导学生从“数形结合”的角度深入思考，通过对“数”和“形”的认知困惑，激发学生的思维碰撞，让学生意识到即使无数个函数值的大小比较，仍不能推出函数的增减变化趋势，进而体验数学的严谨性.
活动二：概括概念
问题1：在平面直角坐标系中，画出二次函数2x y =的图象，只考虑当0≥x 的情形.从图形上看，图象从左到右是怎么变化的？y 随着x 的增大而怎么变化？
刚才从“形”的角度直观感受了函数的变化趋势，接下来，我们从“数”的角度来精确描述和刻画这种性质？当x 依次取0,1,2,3时，对应的函数值f (x )依次是多少？当x 取x 1,x 2时，对应的f (x 1),f (x 2)有什么大小关系？
任何结论都是有前提条件的.要求x 1,x 2的任意性；只考虑0≥x 的情形，所以必须保证x 1,x 2在同一个区间上；为了便于比较大小，我们通常约定x 1<x 2.
教师活动：借助于课件动态地演示抛物线y=x 2
(0≥x )，引导学生观察图形、计算数值、比较大小，从图形语言、文字语言逐渐过渡到数学符号语言，为精确刻画函数的单调性做准备.
学生活动：学生观察图象、仔细分析、深入思考，逐步学会用规范的数学符号语言去精确地描述与刻画函数的性质.
【设计意图】分别从图形语言、文字语言、数学符号语言三个角度探究问题，从直观认知逐渐过渡到精确刻画函数的单调性，为概括函数单调性的定义做铺垫，进而培养学生的认知能力和优化学生的思维品质.
问题2：回想刚才的探究过程，谁能用规范严谨的数学符号语言概括出单调递增的定义呢？
注意增函数与单调递增的区别，增函数是在整个定义域上单调递增，而单调递增的区间可能是整个定义域，也可能是整个定义域的一部分，是它的真子集.
改变定义中的条件和结论，谁能类比地归纳出单调递减和减函数的定义呢？区间D 叫做单调区间. 教师活动：引导学生结合刚才的探究过程，抽象地概括出单调递增的定义，并指出增函数与单调递增的细微差别.然后引导学生类比归纳出单调递减和减函数的定义，指出单调区间的定义.
学生活动：学生思考刚才的探究过程，着重从数学符号语言的角度尝试着归纳出单调递增的定义，细心体会增函数与单调递增的细微差别.改变部分条件和结论，类比归纳出单调递减和减函数的定义.
【设计意图】通过让学生亲自经历抽象出数学概念的过程，感受知识发生发展的生成过程，有助于对函数单调性的深化理解，更有助于培养学生的数学抽象概括能力.
问题3：借助于几何画板探究函数()x x f 1=
的单调性，对自变量x 有什么要求吗？函数是不是在整个定义域上一直单调递减？
教师活动：动态演示函数f (x )随自变量x 的变化而变化的情形，引导学生通过比较数值的大小，得出函数分别在(-∞,0)，(0,+∞)上单调递减，但不能说函数在整个定义域上一直单调递减.所以在说明函数的单调性时，应该分区间描述，不能笼统地一概而论.在表示单调区间时，一般不能取并集，应该用“和”或“,”连接.
学生活动：观察几何画板中自变量x 、函数值f (x )的数据，准确感受函数的变化趋势.着重考虑分母0≠x 的要求，把定义域分成两个区间(-∞,0)，(0,+∞)，在每个区间内函数都是单调递减，但在整个定义域上却不是一直单调递减.
【设计意图】充分发挥几何画板的动态演示和定量刻画的功能，这种视觉上的直观效果，是用语言文字描述所无法比拟的.在描述函数的单调性时，要优先考虑函数的定义域.单调区间是连续的，函数增减也可能是变化的，所以应该分区间描述函数的单调性，而不能笼统地一概而论.而且单调性的表示要注意格式规范.
活动三：深化应用
问题：从单调递增的定义，经过移项变形，我们能得到什么结论？这其实就是不等式证明中的作差法. 交换x 1,x 2的大小位置，式子x 1-x 2与f (x 1)-f (x 2)的符号有什么变化？因为x 1-x 2与f (x 1)-f (x 2)始终同号，所以可以得出单调递增的等价定义.
类似地，单调递减时x 1-x 2与f (x 1)-f (x 2)异号，也可以得出单调递减的等价定义.
教师活动：着重引导学生从代数式的符号思考问题，为作差法和定义法中的“作差”“变形”“定号”做好坚实的铺垫.交换x 1,x 2的大小位置，引出单调递增(减)的等价定义，培养学生思维的灵活性.
学生活动：通过式子变形、改变大小、改变符号等一系列活动，逐渐寻找到证明函数单调性的方法和思路.
【设计意图】从定义中直接引出作差法，为知识应用激发出思路灵感，顺便引出等价定义从而更为灵活地刻画函数的单调性，避免学生的思维被定义束缚固化住.对概念的认知和理解，不能只局限于x 1<x 2，不能浮于表面化，要深入数学的本质.
例1.将0≠k 的情形分类成0>k 和0<k 两种情况.
教师活动：教师投影例1，引导学生用作差法和定义法证明函数的单调性.让学生独立完成后，再小组交流，如有困难可以求助课本、同学，也可以求助老师.在讲解时，引导学生梳理总结证明过程的几个步
骤，重点分析“因式分解”的作用是什么？然后改变题目的条件，把0>k 改为0<k ，修改证明过程，分类讨论得出一次函数的单调性.
学生活动：学生重点完成“变形”“定号”两个环节，独立解决后，可与同伴交流.然后积极思考，改变条件后，题目的证明过程和结论会有什么变化？
【设计意图】通过例题的教学，加深对函数单调性的理解，加强解题过程的规范性和严谨性，培养学生的语言组织表达能力.通过讨论“因式分解”的作用，即为了更好地判断每个因式的符号，培养学生思考的条理性和思路的明确性，同时培养学生的应用意识和逻辑推理能力.
例2.课本第78页例2.
教师活动：教师投影例2，引导学生分析k 为正的不变的常数，例1是一次函数模型，例2是反比例函数模型，体积V 是自变量，p 是V 的反比例函数.请学生代表仿照例1，到黑板上板演证明过程.在分析例2的解题过程中，引导学生根据实际问题的意义，优先考虑函数的定义域，重点突出“分式通分”“因式分解”，然后根据题目条件判断每个因式的符号.
学生活动：学生阅读题目，完成证明过程，重点思考“分式通分”“因式分解”，注重解题的规范性.
【设计意图】通过例题的教学，继续培养学生解题的规范性，突破重难点“分式通分”“因式分解”，渗透学科核心素养“数学抽象”“数学建模”“数学运算”.
例3.课本第79页例3.
教师活动：教师投影例3，引导学生集中突破“变形”的环节，让学生独立完成后，再小组交流，最后由学生口述证明过程.重点分析21x x -与2
112x x x x -不同号，加起来仍无法确定符号，所以必须继续因式分解，进行提公因式.及时归纳常用的变形技巧，尤其是分离常数法.
学生活动：学生独立完成“变形”“定号”，思考为什么2
11221x x x x x x -+-不能确定符号，为什么仍要继续因式分解，怎么继续因式分解？思考怎么分离常数以及为什么要分离常数？
【设计意图】通过例题的教学，再次集中突破重难点“分式通分”“因式分解”，让学生感悟“彻底因式分解”的必要性.及时总结常用的变形技巧，体会分离常数法在简化数学运算中的重要作用.
活动四：拓展延伸
变式训练：一题多解、一题多变、多题一解、多题归一
【设计意图】通过变式训练的层层深入，即一题多解、一题多变、多题一解、多题归一，培养学生思维的发散性和灵活性.不断地改变题目中的条件和结论，数形结合深化认知.
活动五：巩固提升
教师活动：教师让学生独立思考，小组交流，回答问题.
教师巡视指导，纠错点评.
学生活动：学生独立完成练习后，集体交流评价.
活动六：课堂小结
你能说一说这节课的收获和体验，让大家与你分享吗？
让学生小组讨论后，选取小组代表分享自己的成果和感受.
板书设计：
教学反思：
本节课是一节概念课，函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学符号语言来刻画是本节课的难点之一.另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.
一、围绕以上两个难点，在本节课的处理上，着重注意了以下几个问题
1、重视学生的亲身体验.
具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系.如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大(减小)”的理解；②运用新知识尝试解决新问题.如：对函数在定义域上的单调性的讨论.
2、重视学生探究问题的过程.
如：充分暴露学生将函数图象(形)的特征转化为函数值(数)的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程.
3、重视学生的动手实践过程.
通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践应用定义.
4、重视课堂问题的设计.
通过对问题串的层层设计，引导学生更好地解决问题.
二、没有对比就没有差距，没有反思就没有进步
从教的角度评析这节课很到位，但从学的视角去评价就会发现：教师为了营造轻松愉快的课堂气氛，注重了学生学习兴趣的培养，但过于心切，总想尽快地“直奔主题”把主要内容教授给学生后进行习题训
练；而让学生经历实践，然后通过探究等得出概念的过程却在师生间的简单问答中滑过，学生的思维情绪始终处于压抑状态，使得教学无法向纵深发展，知识目标的完成受到影响，学生必要的能力得不到良好训练，学习情感得不到有效激发.
由此，教学设计很有必要从以下几个方面进行改进：在新授课上，应从学生的已有知识和生活经验出发，围绕知识目标展开新知识出现的情境，适当推迟新知识得出时间，丰富学生的情感体验，在知识目标得到有效落实的同时，达成能力目标.在习题课上，应以能力培养为核心，注重在知识网络的交汇点设计问题，突出基础知识的应用和基本技能的运用，强化知识目标，广泛建立知识之间的联系，培养学生学习数学的情感.在知识应用课上，应强调数学走向生活，解决具有现实意义的生活问题，培养学生的数学建模能力.。