高考数学压轴专题新备战高考《复数》经典测试题及答案

【最新】高考数学《复数》专题解析(1)
一、选择题
1．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是
A ．12R z z ∈
B ．12R z z ∈
C ．12R z z +∈
D ．12
R z z ∈ 【答案】D
【解析】
利用排除法：
当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误， 1211z i i R z i
+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，
本题选择D 选项.
2．已知i 是虚数单位，则
31i i +-=（ ） A ．1-2i
B ．2-i
C ．2+i
D ．1+2i 【答案】D
【解析】 试题分析：根据题意，由于
33124121112
i i i i i i i i ++++=⨯==+--+，故可知选D. 考点：复数的运算
点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．
3．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )
A
B
C ．2
D ．3
【答案】A
【解析】 ()11z i i i =-=+
，故z = A.
4．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则
a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.
【详解】
因为()1223(z z i a bi =++)()
23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，
因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】 本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi
5．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i -
∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3
B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因
, 故由题设
, 故,故选D ． 考点：复数的概念与运算.
6．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】
先利用复数的除法运算法则求出11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定
a ，
b 的值，求出a +b ．
【详解】
()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()24m m +- 0i >，则
222m i i +=-（ ） A ．i
B ．1
C ．- i
D ．1- 【答案】A
【解析】
因为2(4)0m m i +->，所以2(4)m m i +-是实数，且20
{240m m m >⇒=-=，故
22(1)222(1)
m i i i i i ++==--，应选答案A ．
8．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】
【分析】
设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.
【详解】
设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b
abi =-+， 2z 为纯虚数220020
a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
9．已知复数z 满足11212i i z
+=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A ．4
B ．4i
C ．4-
D ．4i -
【答案】C 【解析】112i 11420i 34i 12i 5
z ++-===-+ ,所以z 的虚部为4-,选C.
10．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ）
A ．1188i +
B ．1188i -+
C ．1188i --
D ．1188i - 【答案】B
【解析】
【分析】 计算得到18
i z --=
，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴=
==-+-Q . 故选：B .
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
11．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨
⎨-==-⎩⎩
，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.
本题选择D 选项.
12．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限
B ．z 一定不为纯虚数
C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.
【详解】
()2
222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；
213,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C
【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
13．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =
A ．12i +
B ．12i -
C ．1i +
D ．1i -
【答案】C
【解析】
【分析】
设出复数z ，根据复数相等求得结果.
【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-， 故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩
. 所以1z i =+.
故选：C .
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
14．设2i 2i 1i z =
++-，则复数z =（ ） A ．12i -
B ．12i +
C ．2i +
D ．2i -
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．
【详解】
由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=
++=++=+--+， 所以12i z =-．
故选：A ．
【点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
15．若复数1a i z i +=
-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1
B ．-1
C ．12
D ．12
- 【答案】A
【解析】
【分析】
由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.
【详解】 ()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2
a a a a z ++-+++===--+Q ， 所以3·z i =()()()()
34
1i 1i 1i 122a a a a -++--++=，
因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --
= 可得1a =，1a =时3,?
10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
16．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数
a ，b
的方程组100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
17．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则
21z z +=-（ ） A ．1i --
B ．1i +
C ．312i -
D ．312
i + 【答案】D
【解析】 21z z +=-323122
i i i -=+- ，选D.
18．复数
52
i -的共轭复数是( ) A ．2i + B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i -- 【答案】C
【解析】
【分析】 先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.
【详解】 因为
522i i =---，所以复数52
i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】
本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.
19．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
【解析】
【分析】 运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.
故选C
【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
20．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．【答案】C
【解析】
试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12
i i i z i i -=
==++因此1z i =+= 考点：复数的模。