空间飞行器设计-第9讲

GM 3.986 1014 m3 / s2
航天器运动微分方程：
d r 3 r 0 2 dt r 或 r 3 r 0 r
2
(9-4a) (9-4b)
18
注意条件：1.质量均匀分布；2.没有其它力作用
9.2.2 运动方程的解
1.能量方程
用速度矢量
8
Tycho Brahe （1546～1601年）
开普勒3岁时曾患天花，视力衰弱，一只手活 动不便。大学期间成为日心说的拥护者。通过观 察和计算，发觉哥白尼把所有行星都以太阳为圆 心作均速圆周运动与观察不符。 1600年，到布拉格求教于第 谷。第谷逝世后开普勒开始研 究其留下的大量行星观察的资 料。其中,以火星的数据最多。 意识到火星的轨道是椭圆形而 不是圆形。
h r vcos h r vsin
— 航迹角 — 天顶角
20
3.轨道方程
通过变换得：
r h 3 r h r
方程（9－4）叉乘 h 得：
(9-7)
) d (r h 3 (h r ) dt r
(9-8)
13
第三定律：行星运动周期的平方与行星至太阳 的平均距离的三次方成正比。
思考题：计算火星运动周期。 已知地球和火星与太阳的平均距离分别为 1.496x108km（1个天文单位）和1.524AU Answer:1.881年（687.0日） (2.28x108km) 。
14
9.1.2 牛顿万有引力定律
它小于当地（远地点）的环绕速度。
31
(2)在近地点，速度最大；
p ra a (1 e) 1 e 2 1 2 2 V p ( )= (1+e)=Vcp (1 e) rp a rp
它大于当地（近地点）的环绕速度。
32
(3)轨道周期符合开普勒定律；
d h rv cos r dt r2 改写得： dt d h
速度与位置相关。
28
由


2a

e 1
2
2
p
得： < 0—椭圆
＝ 0—抛物线 >0— 双曲线 2 2 v v0 由 判断进入何种轨道。 2 r 2 r0 2 — 椭圆 v0 ＝ —圆 当 v0
r0
r0
v0 ＝
2 r0
—抛物线
v0
2 r0
1609年，出版《新天文学》, 提出第一及第二定律。 1619年,出版《宇宙谐和论 》, 提出第三定律. 第一定律：每个行星的轨道都位于包含太阳在内 的固定平面内，轨道的形状是椭圆， 太阳位于椭圆的一个焦点上。
12
第二定律：行星与太阳的连线（向径）在相等的 时间内扫过的面积相等。
物理意义：行星绕太阳运动的动量矩守恒。
43
其动力学方程应为：
由R = R0 + r，故
航天器系统的相对运动
r为相对于动坐标系矢量，得
d rm Gm 3 r 2 dt r
2
2 d r G( M m) r 2 3 dt r
d rM GM 3 r 2 dt r
2
r rm rM
(9-3)
—二体运动方程
17
如果 m M G( M m ) GM 定义地球引力参数：
式中, i, j, k分别为不转动的地心坐标系单位矢量, Re =6 378为地球赤道半径，求该卫星的总的比 机械能、比角动量及航迹角。
36
37
[解] 先利用机械能公式计算；再角动量守恒关系
总比机械能
比角动量
航迹角
38
[例9-2] 从离地面200km上空的圆形轨道（停泊 轨道、驻留轨道）上，将一空间探测器发 射到逃逸轨道上。 试求从驻留轨道高度 上逃逸所需的最小速度， 并画出其逃逸轨道的曲线 图。 已知参数： μ=3.98×105 km3/s2 Re=6371 km
L2 2 2 h 2
(9-13)
23
公式(9-12)是圆锥曲线的一般方程，“e”为偏心率， p为半正交弦，是矢径r与引力中心至近地点之间 连线的夹角。称真近点角。
p ＝0º , r 最小： rp 1 e
— 近地点 p ＝180º , r 最大： ra 1 e — 远地点
第9 讲 航天器 轨道运行原理
1
天体力学的早期探索
（Aristotle， Claudius Ptolemaeus， 约384B.C.－322B.C.） 约90年—168年
古希腊的亚里士多德首创“地心说” 。 天文学家托勒密集其大成，建立了历史上第 一个完整的宇宙体系。
2
“地心论”特点： 1． 绕着某一中心的匀角速运动，符合当时 占主导思想的柏拉图的假设，也适合于亚里士 多德的物理学，易于被接受。 2． 用几种圆周轨道不同的组合预言了行星 的运动位置，与实际相差很小，相比以前的体 系有所改进，还能解释行星的亮度变化。 3． 地球不动的说法，对当时人们的生活是 令人安慰的假设，也符合基督教信仰。
Issac Newton (1642-1727)
學的數學原理》，1687）
10
“开普勒”超新星
“开普勒”探测器
在相互吸引力作用下运动着的无数星体 都以不同的速度按一定的轨道运行着。其轨 道是一个截圆锥曲线，即圆、椭圆、抛物线 和双曲线。《星球运转椭圆轨道的原理》 （1676~1677）
11
9.1.1 开普勒(Kepler)三大定律
21
两边积分得： r (r h ) L r L—积分矢量常数
L— 积分矢量常数
并将 h r v 代入得
2
r h r r L r r r 因为 a b c a b c , a a a 2
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[解]
引入一个参数： 称能量比，是一个无因次量。
引入该参数后，圆锥曲线轨道的参数可以方 便地表示：
本题
易得，
40
而在200km高度圆形轨道上，环绕速度为
需在沿200km高度圆形轨道切线方向 增加速度 该逃逸轨道为抛物线， 近拱点 半通径
41
习题9.1
一地面观测站观测到某卫星高度为637.815km， 速度v=7.905km/s,航迹倾角θ=0，试确定下列参 数：
ra rp —圆
26
2.抛物线
r
2.双曲线
2rp 1 cos
只有近地点参数。
p rp 1 e
ra 无意义。
27
9.3.3 轨道运动的一般特性
p 除抛物线外 a 2 1 e a 通过推导 2 2 v 又 2 r 2 1 2 得 v ( ) r a
Vc

r0
T 2
r
3

34
对h高度圆轨道： V 7.91 c
R (km / s) Rh
Rh 3 T 84.4 ( ) (min) R
h<1000km，低轨道； 1000<h<20000km，中轨道； h>20000km，高轨道；
35
[例9-1] 设某时刻测得某地球卫星位置和速度矢量 分别为:
h r rL cos
用矢径量
r
(9-9) 点乘上式得标量方程：
r 1 (L/ )cos
h
2
(9-10)
22
记p
h
2

，e=
L

(9-11)
(9-12)
p r 1 ecos
由公式(9－8)得 r L r h r 通过推导得：
9
Johannes Kepler (1571-1630）
9.1 天体力学基本定律
继Kepler提出行星运动三 定律后，牛顿(Newton)推导出 万有引力定律,认为星体间的运 动就是由于星体间存在着引力。
《Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica》（《自然哲
Galileo Galilei， 1564-1642
7
丹麦的第谷(Tycho)是日心说的怀疑者之一。 他提出准地心体系(De Mundi，1588年问世)，试图 折衷日心说和地心说。尽管伽利略、开普勒等人 不赞成，但第谷体系在当时和此后一段时期内还 是获得了相当一部分天文学家的支持。 用巨大的象限仪精心测量了777 颗恒星的位置，其后又把星数增 加到1,000颗。 推荐Kepler当了自己的助手.
v
点乘方程（9－4），并推导得： (9-5)
v2 常数 2 r
V2/2—单位质量的动能，－/r—单位质量航天器 的势能； 结论：能量守恒
19
2.角动量常数
叉乘方程（ 9 － 4 ），并推导得： 用矢径量 r
h r v
(9-6)
结论：航天器运动限制 在空间一个固定平面内， 轨道面由初始位置和速 度决定。
—双曲线
29
由此可见，不断提高速度，轨道将由 闭合的圆锥曲线变为不闭合的圆锥曲线。
两个特征速度： (1)逃逸速度； v 逃逸＝ (2)环绕速度
2 r0
v 环绕＝ v
逃逸

r0
＝10.2km/s
30
对地球： v 环绕 ＝7.9km/s
对椭圆轨道，有以下特性： (1)在远地点，速度最小；
p ra a (1 e) 1 e 2 1 2 2 Va ( )= (1-e)=Vca (1 e) ra a ra
24
9. 3 轨道特性
9.3.1 圆锥曲线
e=0— 圆 e＝1— 抛物线 0 <e <1— 椭圆 e>1— 双曲线
25
9.3.1 圆锥曲线特性
p 1.椭圆 rp 1 e p ra 1 e 1 p a (rp +ra )= 2 1 e2 ra rp e ra rp
GMm r F 2 r r
(9-1)
保守力：作功与路径无关
WAB
GMm GMm rB rA
15
势能的定义：
EPA EPB WAB
定义：
rB ,EPB 0
GMm EP r
(9-2)
16
9. 2 轨道运动方程及其解9.2Fra bibliotek1 二体运动方程
GMm r F r2 r
2
另由图9－9得：
1 r2 dA r rd d 2 2
两式比较得： 2 dt dA h h是常数，所以，符合开普勒定律。
33
在一个周期T内，扫过的面积为整个椭圆， 2 A ab ，则 T ab h 通过一系列的推导得： 3 a T 2

由此：周期只与半长轴有关。 对圆轨道：
5
布鲁诺信奉哥白尼学说，被指控为异教徒并被 革除了教籍。不得不逃出修道院，并长期漂流 在瑞士、法国、英国和德国等国。他到处作报 告、写文章，时常出席一些大学的辩论会，颂 扬哥白尼学说，抨击官方经院哲学的陈腐教条。
布鲁诺接受并发展了哥白 尼的日心说，认为宇宙是 无限的，太阳系只是无限 宇宙中的一个天体系统。 被宗教裁判所判处死刑， 烧死在罗马。
Giordano Bruno （1548～1600）
6
1632年1月，伽利略在佛罗伦萨出版了《关于托 勒密和哥白尼的两大世界体系的对话》。他在 书中用三位学者对话的形式，作了四天的谈话。 讨论了三个问题：1、证明地球在运动；2、充 实哥白尼学说；3、地球的潮汐。
伽利略曾非正式地提出过惯性 定律和外力作用下物体的运动 规律，为牛顿提出运动第一、 第二定律奠定了基础。
42
（1）质心运动动力学方程
9.3.4 航天器动力学方程
航天器在绕某星体运动过程中，受星体引力作 用，为改变轨道还要受发动机推力P和其他外力F作 用。因此，由二体系统基本运动微分方程，航天器 在与星体固连的不旋转坐标系（惯性系）内运动方 程为：
（9-A1）
然而，在航天器问题中，通常研究的是相对运 动，即相对于与星体相固连的坐标系的运动。该坐 标系相对于惯性坐标系不仅原点有位移，还有坐标 系的旋转。
3
托勒密月运动模型
托勒密的宇宙体系示意图
托勒密的行星运动模型
4
16世纪，波兰天文学家哥白尼建立了“日 心说”宇宙体系(De Revolutionibus, 1543 ) 。
（Nicolaus Copernicus, 1473～1543）
正确地论述了地球绕 其轴心运转；月亮绕地球 运转；地球和其他所有行 星都绕太阳运转的事实。 但一样严重低估了太阳系 的规模, 认为宇宙的中心在 太阳附近, 星体运行轨道是 一系列同心圆。