6、质心、动量和动量守恒

F
t2 t1
i外
dt mi vi 2 mi vi1
1）内力冲量和为零，内力不改变系统的总动量 2） 任意情况下，
( f f ' )t o
四、动量守恒定律
1. 推导
F
t2 t1
i外
dt mi vi 2 mi vi1
即外力矢量和为零
若 Fi外 0
t2
Fx + 0 t1 t2 t
I x Fx dt
t1
t2
I y Fy dt
t1
t2
冲量的几何意义：冲量 Ix 在数值上等于
Fx ~
t 图线与坐标轴所围的面积。
二、动量定理
dv d (mv ) 1.推导 F m dt dt

t2
t1
Fdt d (mv ) mv2 mv1 v
N
质点系总动量
质点系总动量
p mvc
dP F dt
2.内容
F mac
质点系质心的运动决定于质点系合外力
若 F合外力 0 ，
则
vc ( Pc ) 不变
即系统内力不会影响质心的运动
如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F， 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
(N
mg ) τ =0
( m v0 )
m
N
m
h
m 工件
v0 2 gh
mg
[ 例2 ] 已知 M，m，h，绳子拉紧瞬间绳子 与m ,M 之间的相互作用时间为Δt。
求：绳子拉紧后，M 与 m 的共同速度
解：
T
M
0 v
T
v0 m v m
Mg (T (T
mg
Mg )Δ t = M v 0 mg )Δ t = mv ( mv 0 )
解：由对称性分析，
质心C应在 x 轴上。 用挖补法 1.先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
R C · O xc O′
r
d
x
xC总 0
2. 再计算挖去的部分的质心位置
xC挖 d
m总 xC总 m挖 xC挖
m剩 xC剩
3. 则剩余部分的质心位置
2
y
R C · O xc O′
r
d
x
0 d r d xC 2 2 2 R r R / r 1
Fi
o
d M ri Fi ( Li ) dt i i
2. 质点系的角动量守恒
i j
· i · · · f ji f ij · j ri·· · r
j
对某一固定点来说，无外力矩，质点系总角动量守恒 质点（系）的角动量守恒只使用于惯性系
作业
大学物理习题集P5/ 43、44 、45、46 课本P106/3.2、3.22
i 1 i
m

xdm m
yc
ydm m
zc
zdm m
3. 质心的计算
1) 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心
—— 几何中心
2) 小线度物体质心和重心是重合的 3) 对于确定的质点系,质心位置是唯一确定的
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
xc
o x2 x
(4). 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本
例，已知: m，M， = 0， 车速 v0 及人对车的速度 u
求：人跳离瞬时车速 v
(m M )v0 Mv m(v u)
mu v v0 mM
u
选 m+M 质点系
v0
=0
作业
大学物理习题集P2/
32、33、34、39、41、42
则：
m v
i i
C
2. 动量守恒定律 1)内容：质点系所受合外力为零时，质 点系总动量保持不变 ------ 动量守恒定律
2)说明： (1). 守恒条件必须是 而非
F
合外力
0

t
0
F合外力 dt 0
(2). 常用分量守恒 若 Fx 0 则
px p0 x
(3). 只适用于惯性系
课本P70：2.5
3 - 2 质心 质心运动定理
一、质点系的内力和外力
内力总是成对出现，矢量和为零 质点系的合力：
F1 F12
1 2
F2 F21
F F外 F内 F外
F23 F 32
F13 F31
3
F3
二、质心
N个粒子系统（质点系），
mi
mi ri
mi xi
i 1
N
m
1.建立坐标系 2.求质心
x1 x2 mx1 mx2 xc 3 3m y1 my1 yc 3m 3
[例] 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块 半径为 r 的小圆盘，两圆盘中心 O 和 O′ 相距为 d ， 且（d + r）< R 。
求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 y

t2 t1
t2
t1
M d t L2 L1
dL M dt
4. 冲量矩
M dt

t2
t1
F dt
它反映在一段时间内力矩的时间积累作用
四、 角动量守恒定律
1. 推导
dL M dt
M 0
2. 内容
-----> L 常矢量
F 0 , F过O点(r // F )
2.注意：
L r p sin a
L单位： Js
1）相对于不同的点同一质点的角动量可以不同。 2）匀速率圆周运动，对圆心的角动量 L = mvR
二. 力矩
M
定义
M r F
o
r
F
a
1). 力矩的大小：
M rF sin a r0 F
r0 r sin a
M
h
三、质点系的动量定理
F1 F2 F21
2
1. 推导
F12
1
Σ t Fi 外 dt Σ
1
t2

t2
t1
Fi 内 dt
F23 F 32
F13 F31
3
Σ mi vi 2 Σ mi vi1
F3
F
t2 t1
i外
dt mi vi 2 mi vi1
质点系的动量定理
2、内容:
y
解：
质心运动定理
F Mac
F ac M
o N F mg
x
1 2 1 F 2 xc ac t t 2 2M
答：沿拉动纸的方向移动
1 F 2 t 2M
3 - 3 质点的角动量和角动量守恒定律 一. 质点的角动量 L O
大小： 方向：
1. 定义:
v am r
Lr p
i 1 N N
ri
mi ri
i 1 N
1.定义
z
质量中心
mi
rc
C
rc
mi
i 1c
mi xi
i 1
m
2.质量连续分布的物质
rc
mi ri
i 1 N
N
mi
i 1

N
r dm m
i
z
dm
r
x
O
C ×
r
m
C
y
xc
x m
2). 力矩方向用右手螺旋法规定
——力臂
三.质点的角动量定理
1.推导 Lrp L r p r p v pr F r F M
2.角动量定理
dL M dt
微分形式
3. 冲量矩定理
微分形式： 积分形式：
对某一参照点，所受合力矩恒为零， 则质点对 该点的角动量为常矢量 ──质点角动量守恒定律
开普勒第二定律
L
v r
a
m
r
L mvr sin a
m dr dt r sin a
1 dr r sin a dS 2m 2m 2 dt dt
3. 推广 1. 力矩
质点系
M i ri ( Fi f ij )
1
v2

t2
t1 t2
Fx dt mv2 x mv1x Fy dt mv2 y mv1 y
t1
2.平均冲力 ：

t2
t1
Fx dt Fx t2 t1
Fx
Fx
0
t1
t
2
t
用平均冲力表示的动量原理为：
Fx t2 t1 mv2 x mv1x
[ 例1 ] 质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落 下，它与工件的碰撞时间为τ =0.01s, 求：打击的平均冲力。
三、质心运动定律
质点系的运动可用全部质量集中在质心的质点来描述
1.推导
d m r i i N N N mi dri i 1 P pi mi vi dt i 1 dt i 1 i 1 drc d (mrc ) m m v c dt dt
第三章 动量与角动量
3 - 1 动量定理
一、基本概念
动量守恒定律
1. 动量
2. 冲量
1) 常力的冲量
p mv
过程量
F2Δ t 2 F1Δ t 1 I
FiΔ t i FnΔ tn
I F t
力对时间的积累 2) 变力的冲量
I Fi t i
3) 当力连续变化时
I Fdt
t1