6.2几何空间向量的内积

a b a b
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理 4 设在直角坐标系 [O; i, j , k ] 下，
则 证
a a1i a2 j a3k , b b1i b2 j b3k. a b a1b1 a2b2 a3b3. 内积的坐标表达式
a b (a1i a2 j a3k ) (b1i b2 j b3k )
a b a, b

2 cos a, b 0
a b | a || b | cos a, b 0.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
内积的运算规律(定理6.2.3) （1）交换律： a b b a; （2）分配律： (a b) c a c b c;
| c |[ fc ( a) fc ( b)] | c | fc ( a) | c | fc ( b)
(3) ( ka) b | b | fb ( ka) k | b | fb (a) k(a b) (4) a a | a || a | cos a, a | a | 0, 且
而 a b a b a b a b a 2 2a b b 2 . a b a b a b a b a 2 2a b b 2 .
2 2
所以结论成立.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
cos
x2 y 2 z 2
.
cos2 cos2 cos2 1.
证 由方向余弦的定义，有 a i x cos cos a , i . | a || i | x2 y 2 z 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论9 空间任一非零向量由它的模和方向余弦决定。
2
ac bc
a a 0 a 0.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1 平行四边形对角线的平方和等于它各边平方的和.
证 要证
2 2
AC BD 2 AB AD

2
2
.
2
即证
2 2
A
a b b ab
D
a
b
B
C
a b a b 2 a b
2 2

2
.
a
a b a, b arccos . | a || b |
a b a b | a || b | cos a, b cos a, b. | a || b |
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理2
a b a b 0.
证 若 a , b 有一个为零，结论成立。 设 a 0, b 0. 则
空间两点间距离公式
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
立得结论。
z
P 1 ( x1 , y1 , z1 )
P 2 ( x2 , y2 , z2 )
x
o
y
机动
目录
上页
下页
返回
结束
推论6 设 a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两非零向量. 则 (1) a , b 的夹角 夹角的坐标表达式
同理， a j a2 , a k a3.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
向量的方向角和方向余弦
非零向量 a分别直角坐标系的基向量 i,
z
0 ,


j, k
(坐标轴的正向)的夹角称为 a 的方向角，记为 , , . 方向余弦
P
y
0 ,
0 .
[(a b)c (a c)b] a.
a b a b 0.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
作业
• P224. 1. 2. 3. 4. 5.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
（3）若 k 为实数， (ka) b a (kb) k (a b);
（4）正定性： a a 0, 且 a a 0 a 0.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
证
(1) a b | a || b | cos a, b b a.
(2) ( a b) c | c | fc ( a b)
2 2 2 a ( x , y , z ), 设 则 | a | x y z . 证
又 x | a | cos , y | a | cos , z | a | cos . 于是 a | a | (cos ,cos ,cos ). 特别地，单位向量
a a (cos , cos , cos ). |a|
例3 设在三棱锥中O-ABC中，已知：OA垂直BC，OB 垂直CA. 证明OC垂直AB. O 证 OC AB c (b a) c cbca a b ( c a) b ( c b) a ca C A AC OB BC OA 0， cb ba B 所以OC垂直AB.
引例
f

M1
s
W | f || s | cos
则力 f 所作的功为
M2Leabharlann 启示：两向量作上述运算, 结果是一个数量.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定义1 向量 a 与 b 的内积规定为
b
说明：
a b | a || b | cos a, b

a
(1)
内积也称数量积，或点积。
| b | cos a, b fa (b ), | a | cos a, b fb (a ), a b | a | fa (b ) | b | fb (a ).
机动
目录
上页
下页
返回
结束
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例(P225.6.)
证明向量 a 垂直于向量 (a b)c (a c)b .
证
[(a b)c (a c)b] a (a b)c a (a c)b a (a b)(c a a c) 0.
b CA (1 x, y, z ); c AB (2,1,1).
由 | a || b | 得2 x y z 5.
b
a
c
B(3,1,1)
由 | b | 2得x 2 y2 z 2 2 x 3.
A(1,0,0)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
ab (1) cos a , b | a || b | 1 [( x 3)(1 x ) ( y 1)( y ) ( z 1)( z )] 4 1 1 2 2 2 (2 2 x x y z ) . 作业 p.224 4 4 1 故 a, b arccos . 1. 2. 3. 4. 5 4 ac 1 6 (2) fc ( a ) [2( x 3) ( y 1) ( z 1)] , |c| 2 6 c 1 故prc ( a ) fc (a ) c. |c| 2
结论：两向量的内积等于其中一个向量的模和另一 向量在这向量的方向上的射影分量的乘积.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
(2) a a | a | .
2
a a | a || a | cos a, a | a |
a a简记为a2 .
2
从而 a 的模 | a | a a.
定理 1 两个非零向量 a , b 的夹角
几个有用的推论：
推论 5 (1) 向量 a a1i a2 j a3 k 的模
| a | a a2 a3 . 向量模的坐标表达式
2 1 2 2
证
R(0, 0, a3 )
z
a
M (a
1
由 | a | a a. 得结论。
o
x
P(a1 , 0, 0)
, a2 , a3 ) y
a (a i)i (a j ) j (a k )k.
证 设 a a1i a2 j a3 k, 即 a (a1 , a2 , a3 ). 又 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1). 所以 a i a1 1 a2 0 a3 0 a1.
o
x
cos cos cos
方向余弦通常用用于表示向量的方向.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理8(方向余弦的特征性质) 设非零向量 z
a ( x, y, z ), 则 cos
cos
x x2 y 2 z 2 y
x y z z
2 2 2
,
,

o
x


P( x, y, z)
i j k , i j j k k i 0,
| i || j || k | 1, i i j j k k 1. a b a1b1 a2b2 a3b3 .
结论：两向量的内积等于其对应的坐标分量的乘积 之和。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a, b arccos
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y z
2 1 2 1 2 1
x2 y2 z2
2 2
2
.
(2) a b x1x2 y1 y2 z1z2 0.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
推论7 向量 a 的直角坐标等于 a 与对应的基向量的 内积，即
Q(0, a2 , 0)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
推论 5 (2) 设 P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点.则
PP 1 2
证 由 PP 1 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
.
0
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例4 已知等腰三角形ABC中，AB是底边，腰长为2。
再设A(1,0,0),B(3,1,1), a BC, b CA, c AB.
求:（1） a 与 b 的夹角;（2）
a
在 c 上的射影。 C(x,y,z)
证 a BC ( x 3, y 1, z 1);
非零向量分别直角坐标系的基向量坐标轴的正向的夹角称为的方向角记为机动目录上页下页返回结束定理8方向余弦的特征性质coscoscoscoscos由方向余弦的定义有机动目录上页下页返回结束推论9空间任一非零向量由它的模和方向余弦决定
第 6章
6.2 几何空间向量的内积
内容提要 1. 内积的定义 2. 内积的运算规律 3. 内积的坐标表达式 4. 方向角及方向余弦