张店区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

张店区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17 C ．T 5=T 12 D ．T 8=T 11
2． 已知点P （1
，﹣），则它的极坐标是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3． 已知幂函数y=f （x
）的图象过点（
，），则f （2）的值为（ ）
A
．
B
．﹣
C ．2
D ．﹣2
4． 若点O 和点F （﹣2，0
）分别是双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任
意一点，则的取值范围为（ ）
A
． B
． C
． D
．
5．
已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
6． 函数2
(44)x
y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1
7． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 8． 复数满足2＋2z
1－i ＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
9． 已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5
- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．
10．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（）
A．36种B．18种C．27种D．24种
11．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（）
A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点
B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点
C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点
D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点
12．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（）
A．8cm2 B．cm2C．12 cm2D．cm2
二、填空题
13．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．
14．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．
15．函数的单调递增区间是．
16．已知a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是．
17．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；
④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；
以上命题中真命题的序号为．
18．已知f（x）=，则f[f（0）]=．
三、解答题
19．如图，在Rt△ABC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA 和正△CED．
（Ⅰ）求线段AD的长；
（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．
20．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
21．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；
（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．
23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l
的交点为Q，求线段PQ的长．
24．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
10n
（单位：元），求X的分布列及数学期望．
张店区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵a n=29﹣n，
∴T n=a1•a2•…•a n=28+7+…+9﹣n=
∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确
T3=221，T17=20，故B不正确
T5=230，T12=230，故C正确
T8=236，T11=233，故D不正确
故选C
2．【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，
∴α=，即f（x）=，
故f（2）==，
故选：A．
4．【答案】B
【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以=x0（x0+2）+=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值=，
故的取值范围是，
故选B．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
5．【答案】C
【解析】解：∵﹣2＜0
∴f（﹣2）=0
∴f（f（﹣2））=f（0）
∵0=0
∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2
∵2＞0
∴f（2）=22=4
即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4
故选C．
6．【答案】C
【解析】
考点：指数函数的概念．
7．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111] 8． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－2
1－i ＝－2（1＋i ）
2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b
2b ＝a ＋b ， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 9． 【答案】A
10．【答案】 C
【解析】
排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P 船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘1个大人，R 船乘1个大1人，②，P 船乘1个大人和1个小孩共2人，Q 船乘1个大人和1个小孩，R 船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q 船乘1个大人和1个小孩，④，P 船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
11．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），
∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0）
∴F'（x0）=0，
又由a＜x0＜b，得出
当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0，
当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0，
∴x=x0是F（x）的极小值点
故选B．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．
12．【答案】C
【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，
侧高和底面的棱长均为2，
故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm2，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．
二、填空题
13．【答案】4
【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，
所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．
故答案为：4
【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．
14．【答案】9．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，
所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，
所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．
故答案为：9
15．【答案】[2，3）．
【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，
本题即求函数t在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），
故答案为：[2，3）．
16．【答案】240．
【解析】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=•2r•x12﹣3r，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
17．【答案】①②④．
【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积
最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．
④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
18．【答案】1．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=，
在△ADE中，AE=BE=，DE=CE=1，∠AED=150°，
由余弦定理可得AD==；
（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°，
∴问题转化为比较∠ADE 与∠EBC 的大小．
在△ADE 中，由正弦定理可得，
∴sin ∠ADE=＜=sin30°，
∴∠ADE ＜30° ∴∠ADC ＜∠ABC ．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=sin cos +cos 2
=sin （+）
，
∴由2k
≤+
≤2k π
，k ∈Z 可解得：4k π﹣
≤x ≤4k π，k ∈Z ，
∴函数f （x ）单调递增区间是：[4k π﹣，4k π
]，k ∈Z ．
（Ⅱ）∵f （A ）=sin （+
）
，
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA ﹣sinC ）cosB=2sinAcosB ﹣sinCcosB ， ∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB ，
∴sin （B+C ）=2sinAcosB ，又sin （B+C ）=sinA ≠0，
∴cosB=，又0＜B ＜π，
∴B=
．
∴可得0＜A ＜，
∴＜+
＜
，
∴
sin （+
）＜1，
故函数f （A ）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴=10，
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此，，
故（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即
∴，
解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z
又0≤t≤24
当k=0时，1≤t≤5；
当k=1时，13≤t≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．
【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．
∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，
∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…
（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
23．【答案】
【解析】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．
（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．
可得普通方程：直线l，射线OM．
联立，解得，即Q．
联立，解得或．
∴P．
∴|PQ|==2．
24．【答案】
【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，
当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，
∴．
（II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，
∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，X。