山东省青岛市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析

山东省青岛市2021届新高考数学仿真第三次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，
1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．
【详解】
连接1AC ，1BC ，如图：
又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.
因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，
又2AB BC ==，122CC =(
)
2
2122
223BC =+=，
∴1tan 3BAC ∠=160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
2．已知向量()0,2=r a ，()
23,b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3
π
，则x=（ ）
A ．-2
B ．2
C ．1
D ．-1
由题意
cos 3a b a b
π⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】
由题意1cos 32
a b a b π⋅===r r r r ，
所以0x >
，且2x =2x =.
故选：B. 【点睛】
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.
3．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭
（ ） A ．
13
B
．3
-
C
．3
-
D ．13
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】
//a b
∴r r 1
cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫
∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题. 4．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭在,32ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
由ππ32x -
≤≤,可得πππ
333
ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ3
2ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -
≤≤,可得πππ
333
ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,
又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π
[π,0]3
-
-∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则π
ππ33π
π0
2
30ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩
,即2230
ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 5．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭：的一条对称轴方程为3
x π
=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则θ的最小值是（ ） A ．6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
12
π
【答案】C 【解析】 【分析】
cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos(
)13πϕ+=±，结合||2
ϕπ<，可得3π
ϕ=，易得曲线E 的解
析式为cos 223y x πθ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，结合其对称中心为04π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】 ∵直线3
x π
=
是曲线C 的一条对称轴.
2()3
k k π
ϕπ∴⨯
+=∈Z ，又||2
ϕπ
<
. 3
π
ϕ∴=
.
∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
. 22()4
3
2
k k Z π
π
π
θπ∴⨯
++
=+
∈.
()26
k k Z ππ
θ=
-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3
π. 故选：C. 【点睛】
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
6．已知命题p ：1m =“”
是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∧
【答案】A 【解析】 【分析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】
当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件，
当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.
p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．
当1a =时，2
()1f x x =+没有零点，
所以命题q 是假命题．
所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．若AB 为过椭圆22
116925
x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）
A ．20
B ．30
C ．50
D ．60
【答案】D 【解析】 【分析】
先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】
由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为1
22
S OF y c y =
⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，
由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，
又由22
116925
x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，
所以1F AB ∆的面积的最大值为560S cb ===. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.
8．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r
，且2)a b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可得2)0a b b -⋅=r r
，利用向量的数量积即可求解夹角.
【详解】
因为2)2)0a b b a b b -⊥⇒-⋅=r r r r
2
2||a b b ⋅=r r
而22cos ,2||||||
a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r
所以,a b r
r 夹角为4
π
故选：B 【点睛】
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 9．在10
1()2x x
-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120
C ．-15
D ．15
【答案】C 【解析】
写出101()2x x -
展开式的通项公式1021101()2
r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】
101()2x x -
的展开式的通项公式为101021101011()()22
r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为3
3101()152C -=-．故选C
【点睛】
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
10．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2 B ．0
C ．2-
D ．2±
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出
()f x 的周期，进而算出()2019f .
【详解】
()g x Q 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-
()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--
而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--
()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-
故()f x 为周期函数，且周期为4
()()201910f f ∴=-=
故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.
11．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=u u u r u u u r
（ ） A ．
5
4
B ．
34
C ．
58
D ．38
【答案】C
根据平面向量基本定理，用,AB AC u u u r u u u r 来表示AF u u u r
，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：点E 是AC 中点，点F 是BE 中点
()
12
AF AB AE =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AC =u u u r u u u r
所以1124
AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r
又11cos 1122
AB AC AB AC A ⋅=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r
所以1124AF AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
则2115
248
AF AB AB AC AB ⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：C 【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题. 12．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3] B ．[﹣1，3]
C ．{0，1，2，3}
D ．{﹣1，0，1，2，3}
【答案】C 【解析】 【分析】
先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】
解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}， B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某学习小组有4名男生和3名女生.若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为___________． 【答案】
47
从7人中选出2人则总数有27C ，符合条件数有11
43C C ⋅，后者除以前者即得结果 【详解】
从7人中随机选出2人的总数有2
721C =，则记选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为事件A ，
∴11
4327124
()217
C C P A C ⋅=
== 故答案为：47
【点睛】
组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式 14．36(2)x x -+的展开式中的常数项为______. 【答案】160 【解析】 【分析】
先求6
(2)x +的展开式中通项，令x 的指数为3即可求解结论.
【详解】
解：因为6
(2)x +的展开式的通项公式为：666622r r r r r r C x x C --=⋅⋅⋅⋅；
令6r 3-=，可得3r =；
36(2)x x -∴+的展开式中的常数项为：33
6
2160C ⋅=. 故答案为：160. 【点睛】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题． 15．已知等比数列的前项和为
，若
，则
的值是 ．
【答案】-2 【解析】 试题分析：
，
考点：等比数列性质及求和公式
16．已知实数,x y 满足40
x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩
，则1
2y z x +
=+的最大值为________.
【答案】34
【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点()2,1P --与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过()2,2A 时，直线的斜率取得最大值，代入点A 的坐标可得答案. 【详解】
画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由4
x y y x +=⎧⎨=⎩
得点()2,2A ，
目标函数1
2
y z x +=
+表示点()2,1P --与可行域的点所构成的直线的斜率， 当直线过()2,2A 时，直线的斜率取得最大值，此时1
2y z x +=
+的最大值为34
. 故答案为：
3
4
.
【点睛】
本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2220a ab b --=． （1）若3C π
=
3sin B C =．
（2）若23
C π
=，7c =，求ABC ∆的面积．
【答案】（1）见解析（273
【解析】 【分析】
（1）由余弦定理及已知等式得出,c b 关系，再由正弦定理可得结论；
（2）由余弦定理和已知条件解得,a b ，然后由面积公式计算．
【详解】
解：（1）由余弦定理得222222222cos 23c a b ab C a b ab a ab b b =+-=+-=--+，
由2220a ab b --=得到223c b =，由正弦定理得22sin 3sin C B =．
因为B ，()0,C π∈sin B C =．
（2）由题意及余弦定理可知2249a b ab ++=，①
由2220a ab b --=得()(2)0a b a b +-=，即2a b =，②
联立①②解得b =a =1sin 22ABC S ab C ∆==． 【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面积公式，由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边．解题时要注意对条件的分析，确定选用的公式．
18．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知3cos 24
C =-
. （1）求sin C 的值；
（2）当2c a =，且b =ABC V 的面积.
【答案】（1）
4；（2 【解析】
【分析】 （1）利用二倍角公式2cos 212sin C C =-求解即可，注意隐含条件sin 0C >.
（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin ,cos ,cos A A C 的值，又由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+求出sin B 的值，最后由正弦定理求出a 的值，根据三角形的面积公式即可计算得出.
【详解】
（1）由已知可得2cos 212s 34in C C =-
=-， 所以27sin 8
C =， 因为在锐角ABC V 中，sin 0C >，
所以14sin 4C = （2）因为2c a =， 所以114sin sin 28
A C ==， 因为ABC V 是锐角三角形， 所以252cos ,cos C A ==， 所以()sin sin sin cos cos sin
B A
C A C A C =+=+
142521437=⨯+⨯=. 由正弦定理可得：37sin sin a B A
=，所以14a =， 所以1114217sin 14372244
ABC S ab C =
=⨯⨯⨯=V 【点睛】 此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.
19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，7CD AD ==，120ABC ∠=︒.
（Ｉ）证明：BD PC ⊥；
（Ⅱ）若M 是PD 中点，BM 与平面PAB 所成的角的正弦值为3310
，求PA 的长. 【答案】（Ⅰ）见解析；6
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OB OD ，由AB BC =，AD CD =，得,,B O D 三点共线，且AC BD ⊥，又BD PA ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明.
（Ⅱ）设PA x =，则PB PD =ABCD 中，3BD =，在PBM V 中，由余弦定理得：2222cos PB BM
PM BM PM PMB =+-⋅⋅⋅∠，在DBM △中，由余弦定理得
2222cos DB BM DM BM DM DMB =+-⋅⋅⋅∠，两式相加求得BM =，再过D 作DH BA ⊥，则DH ⊥平面PAB ，即点D 到平面PAB 的距离，由M 是PD 中点，得到M 到平面PAB
的距离2DH ，然后根据BM 与平面PAB 所成的角的正弦值为10
求解. 【详解】
（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OB OD ，
由AB BC =，AD CD =，得,,B O D 三点共线，
且AC BD ⊥，又BD PA ⊥，AC PA A ⋂=，
所以BD ⊥平面PAC ，
所以BD PC ⊥.
（Ⅱ）设PA x =，PB =PD =
在底面ABCD 中，3BD =，
在PBM V 中，由余弦定理得：2222cos PB BM
PM BM PM PMB =+-⋅⋅⋅∠， 在DBM △中，由余弦定理得2222cos DB BM
DM BM DM DMB =+-⋅⋅⋅∠， 两式相加得：222222DB PB BM DM +=+，
所以2
2213222x BM ⎛⎫ ⎪+=+ ⎪⎝⎭
，
BM =， 过D 作DH BA ⊥，则DH ⊥平面PAB ，
即点D 到平面PAB 的距离sin 60=⋅=o DH BD ，
因为M是PD中点，所以为M到平面PAB
的距离
24
'==
DH
h，
因为BM与平面PAB
即sin
10
h
BM
α
'
===，
解得x=
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档题.
20．若关于x的方程2(2)50
x m x m
+-+-=的两根都大于2，求实数m的取值范围．
【答案】(5,4]
--
【解析】
【分析】
先令2
()(2)5
f x x m x m
=+-+-，根据题中条件得到
(2)0
2
2
2
f
m
>
⎧
⎪-
⎪
-≥
⎨
⎪
∆≥
⎪⎩
，求解，即可得出结果.
【详解】
因为关于x的方程2(2)50
x m x m
+-+-=的两根都大于2，
令2
()(2)5
f x x m x m
=+-+-
所以有
2
(2)42450
2
2
2
(2)2040
f m m
m
m m
=+-+->
⎧
⎪-
⎪
-≥
⎨
⎪
∆=--+≥
⎪⎩
，
解得
5
2
44
m
m
m m
>-
⎧
⎪
≤-
⎨
⎪≥≤-
⎩或
，所以54
m
-<≤-.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.
21．如图，在平行四边形ABCD中，2
=
AD AB，60
A
∠=︒，现沿对角线BD将ABD
∆折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线PC，PD上，且A，B，M，N四点共面.
（1）求证：MN BD ⊥；
（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，二面角M AB D --平面角大小为30°，求直线PC 与平面BMN 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（215 【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理，可得AB BD ⊥，利用AB //CD ，可得CD //平面ABMN ，然后利用线面平行的性质定理，CD //MN ，最后可得结果.
（2）根据二面角M AB D --平面角大小为30o ，可知N 为PD 的中点，然后利用建系，计算PC uuu r
以及平面BMN 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）不妨设2AB =，则4=AD ，
在ABD ∆中, 2222cos BD AB AD AB AD A =++⋅⋅， 则23BD =
因为22241216AB BD AD +=+==，
所以AB BD ⊥，因为AB //CD ，
且A 、B 、M 、N 四点共面，所以CD //平面ABMN .
又平面ABMN I 平面PCD MN =，所以CD //MN .
而CD BD ⊥，MN BD ⊥.
（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，
所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥，
因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，
因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30°，
所以30DBN ∠=︒，在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点，
如图，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()002P ,
,，()2,23,0C ， ()3,1N ，()3,1M ，
()1,0,0NM =u u u u r ，()3,1BN =u u u r ，()
2,23,2PC =-u u u r ， 设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =r ， 则由00030x n NM n BN z =⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩
u u u u v v u u u v v ， 令1y =，得(0,1,3n =-r . 设PC 与平面BMN 所成角为θ，
则()15sin cos 905n PC n PC
θθ⋅=︒-==⋅r u u u r r u u u r . 【点睛】
本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=o ，1AD =，2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.
（1）已知点E 在棱BC 上，且平面//AME 平面PCD ，试确定点E 的位置并说明理由；
（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.
【答案】（1）E 为BC 中点，理由见解析；（2）当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的正弦值35. 【解析】
【分析】
(1)E 为BC 中点,可利用中位线与平行四边形性质证明//ME PC ，//AE DC ，从而证明平面//AME 平面PCD ；
（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，并可求出最大角的正弦值.
【详解】
（1）E 为BC 中点，证明如下：
Q M E 、分别为,PB BC 中点，
//ME PC ∴
又ME ⊄Q 平面,PDC PC ⊂平面PDC
//ME ∴平面PDC
又//EC AD Q ，且EC AD =∴四边形EADC 为平行四边形，
//AE DC ∴
同理，//AE 平面PDC ，又AE ME E ⋂=Q
∴平面//AME 平面PDC
（2）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 、y 、z
轴建立空间直角坐标系
则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，
，，，，，，，，，，()011M ，， 设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，()01DN DC λλ=≤≤u u u r u u u r 则
)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--u u u u v u u u v u u u v u u u v ，，
取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =r 则
2
222(1)sin cos ,523(1)(21)1=MN n λθλλλλ+<>==-+++-+u u u u r r 令[]11,2+=t λ∈，则22222(1)151********
10()125t =t t t t
λλλ+=≤-+-+-+ 所以35sin θ≤
当5233
t λ=⇔=时，等号成立 即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 35. 【点睛】 本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.
23．△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为2
3sin a A
(1)求sin sin B C ;
(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.
【答案】 (1)2sin sin 3
B C =(2) 3. 【解析】 试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式2
1sin 23sin a ac B A
=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3
B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根
据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为3+.
试题解析：（1）由题设得2
1sin 23sin a ac B A
=，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得
1sin sin sin 23sin A C B A
=. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-
，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3
A π=. 由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=，即8bc =.
由余弦定理得229b c bc +-=，即()2
39b c bc +-=，得b c +=.
故ABC V 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.。