高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》真题汇编附答案解析

【高中数学】数学《不等式选讲》高考知识点
一、14
1．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈„，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫
=≥∈⎨⎬+⎩⎭
，则M P ⋃等于( )。

A ．{|13}x x -<≤
B ．{|14}x x -<≤
C ．{}|4x x ≤
D ．{|14}
x x -≤≤（ ） 【答案】D 【解析】 【分析】
根据绝对值不等式及分式不等式，化简集合M,P ，根据并集运算求解即可. 【详解】
Q |1|2x -„,
∴ 13x -≤≤,即[1,3]M =-，
5
11
x ≥+Q
， 14x ∴-<≤，即(1,4]P =-,
[1,4]M P ∴=-U ,
故选：D 【点睛】
本题主要考查了集合的并集运算，分式不等式，绝对值不等式，属于中档题.
2．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩⎭
，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3
D ．3-
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值不等式的性质可知，()22329ax ax -⇔-＜＜，从而可得到()2
29ax -=的两个解为215
1
,33
x x -==，即可求出a 的值. 【详解】
由题意可知0a ≠，()2
2329ax ax -⇔-＜＜，即22450a x ax --<， 故一元二次方程22450a x ax --=的解为2151,33
x x -==， 则1212224455,39
a x x x x a a +=
=-=-=-，解得3a =-.
故答案为D. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
3．若集合{}
2
540A x x x =-+<，{}
1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】
解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}
14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，
{}11B x a x a ∴=-<<+.
B A ⊆Q ，则有11
14a a -≥⎧⎨+≤⎩
，解得23a ≤≤.
因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】
本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
4．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）
A ．(,5)(5,)-∞-+∞U
B ．(,5)(3,)-∞-+∞U
C ．(,7)(3,)-∞-+∞U
D ．(,7)(2,)-∞-+∞U
【答案】C 【解析】 【分析】
根据偶函数以及当0x „时，2
()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得
(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.
【详解】
∵()f x 是定义域为R 的偶函数，
∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>， ∴2|2|4|2|5x x +-+>， 所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,
所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.
5．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m <2
C ．1<m≤2
D ．1<m<2
【答案】B 【解析】 【分析】
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】
若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，1
2
m m <⎧⎨
≥⎩ ，无解，若p 假q
真时，1
2
m m ≥⎧⎨
<⎩，即 12m ≤<，故选B. 【点睛】
本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.
6．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记
222111123S n =+
++++L L ，则（ ） A ．4
13
S <<
B ．
4332
S << C ．
3
22
S << D ．2S >
【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可知
21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n
+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】 由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n
+-=<<=-≥∈++--， 所以2221111111113111()()()232334121
n S n n n n =+
++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n n
L L =+
+++<+-+-++-=--， 当n →+∞且n N +∈时，
101
n →+，且1
0n →，
所以
3
22S <<，故选C. 【点睛】
本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用
2
1
n 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.
7．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3
C ．6
D ．9
【答案】D 【解析】
2221,a b c a b b c c a ++=∴
+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪
+++⎝⎭
()()()()21
111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()
2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，
B ．(]
1∞-， C ．14∞⎛
⎤- ⎥⎝⎦
，
D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
2212,21n n a a S n +==++ ()
*n N ∈，可得2n ≥时，
()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，
212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ
的取值范围． 【详解】
2212,21n n a a S n +==++Q ()
*n N ∈，
2n ∴≥时，()22
112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222
121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．
11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，
1n =时，212224a a +==，解得11a =．
∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．
11n a n n ∴=+-=． 12111111
12n n a n a n a n n n n
∴
++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =
++⋯++++，1111
111211
n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()
11111
022*******n n b b n n n n n +-=
+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112
n b b ≥=
,即121111111
122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，
12111
20n
n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，
122λ∴≤
，解得14
λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛
⎤- ⎥⎝
⎦，．
故选C ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围。

【详解】
解：由绝对值不等式的性质可得，
||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„，
即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C 。

【点睛】
本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。

10．若，则不等式
的解集为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值三角不等式的性质得出，由
，得出
，借助正弦函数
图象可得出答案。

【详解】 因为
成立，所以
，
又，所以，，故选：D 。

【点睛】
本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。

11．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．
65
B ．6 35
C ．36 35
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得：
x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 2222
1
)135++
≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186
,,35357
y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为36
35
. 本题选择C 选项. 【点睛】
根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.
12．设不等式3
412x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．15a <-或47a >
B ．15a <-
C ．47a >或01a <<
D ．15a <-或1064
a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据不等式3
412
x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2
431a ->,解得
15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为2
81t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况
讨论2
()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
解:因为不等式3
412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,
当2x =时,3
12
x +-有最大值31,不等式显然要成立,
即2
431a ->,解得15a <-或47a >, 当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x
t =∈, 则2
4[4,16]x
t =∈,328[16,32]x t +=∈,
所以3
412
x x a +->-等价于2
81t a t ->-,
①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t h t >+-=,
即求2
()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >;
②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t f t <-+=,
即求2
()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-;
综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】
本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.
13．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有
,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的
函数()=3f x mx --，且()f x 为[
)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B ．[)1+∞，
C ．(],0-∞
D ．][()
,01,-∞⋃+∞ 【答案】D
【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时
633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.
考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.
14．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A ．2
211x x x x
+
+≥
B C ．1
2x y x y
-+
≥- D ．x y x z y z -≤-+- 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1
f x x x
=+
,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x
+>+,当01
x <<,()()22
01,x x f x f x <<即
2211
x x x x
+
+≥正确，即A 正确；
=
<
=,故B 恒成立，
若1x y -=-,不等式1
2x y x y
-+
≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．
15．若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则αβ-的值（ ） A ．与m 有关，且与n 有关 B ．与m 有关，但与n 无关 C ．与m 无关，且与n 无关 D ．与m 无关，但与n 有关
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意先解出不等式2x m n -<的解集，再根据解集求出αβ-的值，即可判断其与
,m n 之间的关系.
【详解】
2222
m n m n
x m n n x m n x -+-<⇒-<-<⇒<<Q ,22
m n m n
αβ∴-+==
22
m n m n
n αβ-+-∴=
=--
因此，αβ-的值与m 无关，但与n 有关. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，形式如(0)x m a a -<> 的绝对值不等式，可以转化为a x m a -<-< 的简单不等式进行求解.
16．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点()11,P x y ，
()22,Q x y 之间的“折线距离”.则下列命题中：
①若C 点在线段AB 上，则有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=
②若点A ，B ，C 是三角形的三个顶点，则有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=. ③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x =.
④若A 为坐标原点，B 在直线0x y +-上，则(),d A B 的最小值为 真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据“折线距离”的定义，证明①③④为真命题，②为假命题，由此确定正确选项. 【详解】
对于①，C 点在线段AB 上，设C 点坐标为()00,x y ，0x 在12,x x 之间，0y 在12,y y 之间，不妨设102102,x x x y y y <<<<，
则(,)(,)d A C d C B +=01012020x x y y x x y y -+-+-+-
01012020x x y y x x y y =-+-+-+-21212121x x y y x x y y =-+-=-+-(),d A B =成
立，故①正确.
对于②，在三角形ABC 中，
()()01012020
,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()()()()01200120x x x x y y y y ≥-+-+-+-()2121,x x y y d A B =-+-=，故②错
误.
对于③，到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的集合是
(){},|11x y x y x y ++=-+，即11x x +=-，即0x =.所以到(1,0),(1,0)M N -两
点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x =，即③正确. 对于④，设(),B x y ，则
()
,d A B 1212x x y y x x x x =-+-=+≥+=(),d A B 的最小
值为25，故④正确. 综上所述，正确的有①③④，共3个.
故选：C. 【点睛】 本小题主要考查新定义运算的理解和运用，属于中档题.
17．为使关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1(a ∈R)的解集在R 上为空集，则a 的取值范围是（ ）
A ．(0, 1)
B ．(－1, 0)
C ．(1, 2)
D ．(－∞, －1)
【答案】B 【解析】 由绝对值几何意义可知，
最小值为1，则当，即时，满足题意
18．若关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，则实数a 的取值范围是
( )
A ．()3,∞
B ．()3,∞-
C ．(),3∞-
D ．(),3∞--
【答案】C
【解析】 x 2x 1+--表示数轴上的x 对应点到2-和1对应点的距离之差，其最大值为3，故当3a >时，关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，故实数a 的取值范围为(),3∞-，
故选C.
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
19．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
20．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞
B ．[)7,+∞
C ．(1,)+∞
D ．(1,7)
【答案】A
【解析】
【分析】 利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案.
【详解】 由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，
再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >，
即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A.
【点睛】
本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。