2020届湖南长郡中学新高考押题模拟考试(十七)文科数学

2020届湖南长郡中学新高考押题模拟考试（十七）
文科数学试题
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设复数z 满足26z z i +=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
设(),z a bi a b R =+∈，代入26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求．
【详解】解：设(),z a bi a b R =+∈， 由26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+，
即36a bi i -=+，
{36
1a b =∴-=，解得2a =，1b =-．
∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．
故选D ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.已知全集U =R ，1218x N x ⎧
⎫=<<⎨⎬⎩⎭，(){}ln 1M x y x ==--，则图中阴影部分表示的集合是
A. (3,1)--
B. ()3,0-
C. [)1,0-
D. (),3-∞-
【答案】C
【解析】
【分析】
阴影部分用集合表示为U N C M ⋂，只要求出M 、N 进行集合的运算即可．
【详解】解：图中阴影部分表示的集合U N C M ⋂，
由1
{|21}{|30}8x N x x x =<<=-<<，(){|ln 1{|1},M x y x x x ==--=<-
则{|1}U C M x x =≥-，
则{|10}U N C M x x ⋂=-≤<．
故选C ．
【点睛】正确理解集合M 、N 所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键． 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，点10081010(,)a a 在直线20x y +-=上，则2017S =（ ）
A. 4034
B. 2017
C. 1008
D. 1010 【答案】B
【解析】
点()10081010,a a 在直线20x y +-=上，所以100810102a a +=.
()()1201710081010201720172017
22017
2017222a a a a S +⨯+⨯⨯====.
4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a ，则函数()2
22f x x ax =++有两个不同零点的概率为( ) A. 13 B. 12 C. 23 D. 56
【答案】D
【解析】
【分析】
抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数()2
22f x x ax =++有两个不同零点，得a 的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，由此能求出函数()2
22f x x ax =++有两个不同零点的概率． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，
由函数()2
22f x x ax =++有两个不同零点，得2480a V =->，
解得a <a >
又a 为正整数，故a 的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，
所以函数()222f x x ax =++有两个不同零点的概率为56
． 故选D ．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
5.设123log 2,ln 2,5a b c -===则
A. a b c <<
B. b c a <<
C. c a b <<
D. c b a << 【答案】C
【解析】
【分析】
由ln 2ln 2
ln 3
a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =
<=，即a b <．
又
3311log 2log ,22
a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a
b <<
【此处有视频，请去附件查看】
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.
6.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π ，且11,2
a b ==r r ，则2a b -=r r （ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 32
【答案】A
【解析】 分析：结合题意设出,a b r r 的坐标，求出2a b -r r 的坐标，从而求出2a b -r r 的模即可．
详解：平面向量,a b r r 的夹角为3π，且11,2
a b ==r r ，
不妨设a r =（1，0），b r =（14，4
），
则2a b -r r =（12， 故| 2a b -r r |=1，
故选A ．
点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
7.如图给出的是计算1111352017
++++L 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）
A. 1009i ≤
B. 1009i >
C. 1010i ≤
D. 1010i >
【答案】A
【解析】 由算法流程图所提供的算法程序可知：当1009i =时，2100912017i =⨯-=，运算程序结束，所以当1009i >时运算程序不再继续，故应填1009i ≤，应选答案A ．
8.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为( )
A. 23
B. 4
C. 6
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为2，A ，D 为棱的中点，即可得出结论．
【详解】由三视图解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，
正方体的棱长为4，A ，D 为棱的中点，
根据几何体可以判断：该四棱锥的最长棱为AO ， 2224426AO =++=．
故选C ．
【点睛】本题考查由三视图求棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
9.若实数x ，y 满足不等式组1010
240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数54y z x -=-的最大值是( ) A. 1-
B. 54-
C. 54
D. 14-
【答案】A
【解析】
【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z 的几何意义为动点(),M x y 到定点()4,5P 的斜率的相反数，利用数形结合即可得到z 的最大值．
【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由目标函数54y z x
-=-，得目标函数的几何意义是，可行域内的点与()4,5P 连线的斜率的相反数，可知PA 连线的斜率是最小值，则z 是最大值，由10
10x y x y +-=⎧-+=⎨⎩
，解得()0,1A ， 此时z 的最大值为15140z -=
=--． 故选A ．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A. 2019π B. 42019π C. 22019π D. 4038
π 【答案】C
【解析】
【分析】
先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019cos cos2019sin cos2019cos sin2019sin 6633f x x x x x π
π
π
π
=+++
cos2019x x =+,
2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 2A ∴=，22019
T π=， 12||22019
min T x x π∴-==， 12A x x ∴-的最小值为22019
π， 故选C ．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．
11.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，
直线l 与双曲线交于点B ，且2BF AB ＝
，则双曲线的离心率为（ ） A. 23 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
分析：利用几何法先分析出A B 、的坐标，B 代入方程即可．
详解：
由图像，利用几何关系解得A ,22c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为2BF AB =，利用向量的坐标解得2B ,33c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，点B 在双曲线上，故22
222
2331e 3e 3c bc a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒=⇒=，故解C
点睛：利用几何中的线量关系，建立a,b,c 的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算．
12.在正方体1111ABCD A B C D -6，面1A DB 与面11A DC 的重心分别为E 、F ，求正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为( )
A. 35
B. 35
C. 70
D. 56 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意画出图形，建立空间直角坐标系，求出球心O 到EF 中点的距离，再求出多面体外接球的半径，由勾股定理求解．
【详解】解：如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则(6,A 0，0)，16,0,6A 、)6,6,0B 、(16,6C 、(0,D 0，0)、 2666E ⎝⎭、6626F ⎝⎭、666O ⎝⎭
， 666,666OE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，6633EF ⎛=- ⎝⎭
u u u r ，
∴点O 到直线EF 的距离223||()OE EF d OE EF
⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
而球O
的半径为R ==， 因此，正方体外接球被EF
所在直线截的弦长为：== 故选D ． 【点睛】本题考查多面体及其外接球的关系，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若a ，b 为正实数，且1a b +=，则
122a b +的最小值为______ 【答案】
92 【解析】
【分析】 由已知可得，()121222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式即可求解 【详解】解：1a b +=Q ，且0a >，0b >， 则()12125259222222
2b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当
22b a a b =且1a b +=，即13a =，23b =时取得最小值92
故答案为92 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键
14.（2017新课标全国II 理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11n k k
S ==∑____________． 【答案】
21
n n + 【解析】
设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123
434102a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得111a d =⎧⎨
=⎩ ， 数列的前n 项和()()()
111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=⨯+⨯=
， 裂项可得
1211
2()(1)1
k S k k k k ==-++， 所以
1111111122[(1)()()]2(1)223111n
k k
n S n n n n ==-+-++-=-=+++∑L ． 点睛:等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
15.已知AB 为圆O ：2
2
1x y +=的直径，点P 为椭圆22
143
x y +=上一动点，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值为______．
【答案】2 【解析】 【分析】
方法一：通过对称性取特殊位置，设出P 的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可． 方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可．
【详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，(2cos P x
)x ，()1,0A -，()1,0B ．
从而(2cos PA PB ⋅=u u u r u u u r
1)(2cos x - 22
1)3sin 2cos 2x x x ++=+≥．
故答案为2．
方法二：2222
2()()441||144
PA PB PA PB PO PA PB PO PO +---⋅===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r ，
而||min PO 2． 故答案为2．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质.考查转化思想以及计算能力． 16.已知函数()3
484x
x
f x x x e e =-+-+
，其中e 是自然对数的底数.若()()
2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是______． 【答案】][1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性以及函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：因为()()3
34
84484x
x x x f x x x e
e x x e
f x e
--=--+=--
+=-， 所以函数()f x 是奇函数， 又因为()2
4'384x
x
f x x e e =-+--
22438438x x x e x e ⎛
⎫=-+-+≤-+- ⎪⎝
⎭230x =-≤，
所以()f x 在R 上单调递减， 又()(
)2
120f a f a -+≤，
即()()()2
211f a
f a f a ≤--=-，
即221a a ≥-，解得1a ≤-或1
2
a ≥， 故a 的取值范围是][
1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
， 故答案为][
1,1,2⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是一道中档题．
三、解答题（本大题共7小题）
17.已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)a n ＝2n －1(2)T n ＝21
n
n + 【解析】 【
分析】
(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=，再对10100S =化简得到
11045100a d +=，最后两式联立，解出1d a 、的值，得出结果；
(2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【详解】(1)由已知得23511124820
109
1010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪
⎨⨯+=+=⎪⎩
， 解得11d 2a ==，，
所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-， (2)()()1111
212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭
，
所以数列{}n b 的前n 项和11
1
1
1
1
12335212121
n n
T n n n ⎛
⎫
=-+-++-=
⎪-++⎝⎭L ． 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭；
（2）
1k
=
； （3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（4）()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多
项的问题，导致计算结果错误．
18.为了政府对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取110人进行统计，得到如下列联表：
已知样本中城市人数与农村人数之比是3：8．
()1分别求样本中城市人中的不买房人数和农村人中的纠结人数；
()2用独立性检验的思想方法说明在这三种买房的心理预期中哪一种与城乡有关？
参考公式：()()()
2
2
()n ad bc K a b c d b d -=+++．
【答案】（1）样本中城市人中的不买房人数为10人，农村人中的纠结人数为50人；（2）有97.5%的把握认为不买房与城乡有关. 【解析】 【分析】
()1设城市人中的不买房人数为x ，农村人中的纠结人数为y ，根据题意列出方程组求解即可；
()2设三种心理障碍都与性别无关，由()1得到列联表，对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量21K ，
22K ，23K ；由表中数据计算21K 、22K 和2
3K 的值，对照数表得出结论．
【详解】解：()1设城市人中的不买房人数为x ，农村人中的纠结人数为y ，
则()()2033082030110x y x y +⎧
=⎪+⎨⎪+++=⎩
，
解得{
10
50x y ==；
∴样本中城市人中的不买房人数为10人，农村人中的纠结人数为50人；
()2设三种心理障碍都与性别无关，由()1得到列联表如下；
对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量2
1K ，2
2K ，2
3K ；
由表中数据可得2
21
110(5602520)0.853 2.70630802585
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；
2
22
110(10702010) 6.366 5.024********
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯；
2
23
110(15301550) 1.410 2.70630806545
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；
所以，没有充分的证明显示买房与城乡有关， 有97.5%的把握认为不买房与城乡有关， 没有充分的证明显示纠结与城乡有关．
【点睛】本题考查了数学模型与独立性检验的应用问题，是中档题．
19.在正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱长为3，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，F 为1CC 的三等分点，靠近点1C ．
()1求证//DE 面111A B C ； ()2求1
A DEF V -．
【答案】（1）详见解析（2）3
12
【解析】 【分析】
()1推导出底面//ABC 底面111A B C ，由此能证明//DE 面111A B C ．
()2以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1
A DEF V -．
【详解】证明：()1Q 正三棱柱111ABC A B C -中，
底面//ABC 底面111A B C ，
D 、
E 分别为AB 、BC 的中点，
DE ∴⊂底面ABC ，
//DE ∴面111A B C ．
解：()2以A
原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
1(0,A 0，3)，31,,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,022E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，(0,F 2，2)， 131,32DA u u u u r ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,DE =u u u r 1，0)，33,22DF u u u r ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
， 设平面DEF 的法向量(,n x =r
y ，)z ，
则0
33
2022n DE y n DF x y z ⎧⋅==⎪
⎨⋅=-++=⎪⎩
u u u r r u u u r r ，取4x =，得(4,n =r 03)， ∴点1A 到平面DEF 的距离1319
DA n d n ⋅==u u u u r r r 3372cos ,7DE DF DE DF DE DF
⋅===
⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ,
sin ,14
DE DF ∴==
u u u r u u u r ，
1sin ,2DEF S DE DF DE DF ∴=⨯⨯⨯V u u u
r u u u r u u u r u u u r
,
1121428
=
⨯=
，
11133A DEF DEF V S d V -=⨯⨯==
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>
）的短轴长为
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知A 为椭圆C 的上顶点，点M 为x 轴正半轴上一点，过点A 作AM 的垂线AN 与椭圆C 交于另一点N ，若60AMN ∠=︒，求点M 的坐标．
【答案】(1) 22
162
x y +=.
(2) ,0)3
.
【解析】
分析：（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c 后可得椭圆的方程．（2
）设(),0M m （
0m >）,
由题意得AM k m
=-
，从而AN k =，故得直线AN 的方程为y x =
．与椭圆方程联立消元后解得21232N m x m -=+，故2
1232m AN m =+．在直角AMN ∆中，由AN =，解得m =故得点M 的坐标为⎫
⎪⎪⎝⎭
．
详解：（1）因为椭圆C 的短轴长为，
所以222
2b c
a a
b
c ⎧=⎪
⎪=⎨
⎪=+⎪⎩
解得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
所以椭圆C 的方程为22
162
x y +=．
（2）因为A 为椭圆C
的上顶点，所以(A ． 设(),0M m （0m >）
，则AM k m
=-. 又AM AN ⊥，
所以AN k =
， 所以直线AN
的方程为y x =
+
由22
16
2y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 整理得()22
23120m x mx ++=， 所以21232
N m
x m -=
+，
所以2
1232N A m
AN x m =-=+， 在直角AMN ∆中，由60AMN ∠=︒
，得AN =，
21232m
m =+
解得m =
. 所以点M
的坐标为3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．
点睛：本题主要考查待定系数法的应用，特别是在求点M 的坐标的过程中更是体现了这一点．另外在解答
解析几何问题中，要注意平面几何图形性质的运用，利用图形中的位置关系和数量关系将问题转化为代数计算的问题处理． 21.已知函数()()2
1ln 112
f x a x x a x =+
+++． ()1当1a =-时，求函数()f x 的单调增区间；
()2若函数()f x 在()0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；
()3若0a >，且对任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()12122f x f x x x ->-，求实数a 的最小
值．
【答案】（1）()1,+∞ （2）[
)0,+∞ （3
）3- 【解析】 【分析】
()1把1a =-代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数()f x 的单调增区间；
()2求原函数
的
导函数()()()()211'1x a x a x x a a
f x x a x x x
+++++=
+++==
，由函数()f x 在()0,+∞上是增函数，说明其导函数在()0,+∞上大于等于0恒成立，在导函数中x 与()1x +恒大于0，只需0x a +≥对()0,x ∈+∞恒成立，则a 可求；
()3由()2知，当0a >时()f x 在()0,+∞上是增函数，任取1x ，()20,x ∈+∞，且规定12x x >，则不等式
()()12122f x f x x x ->-可转化为()()112222f x x f x x ->-恒成立，引入函数()()2g x f x x =-，说
明该函数为增函数，则其导函数在()0,+∞上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a 的最小值．
【详解】解：()1当1a =-时，()2
1ln 12
f x x x =-++． 则()1
'.f x x x
=-
+ 令()'0f x >，得10x x -+>，即21
0x x
->，解得：0x <或1x >．
因为函数的定义域为{}
0x x ，
所以函数()f x 的单调增区间为()1,+∞．
()2由函数()()21ln 112
f x a x x a x =++++． 因为函数()f x 在()0,+∞上是增函数，
所以()()()()211'10x a x a x x a a f x x a x x x
+++++=+++==≥对()0,x ∈+∞恒成立. 即0x a +≥对()0,x ∈+∞恒成立．
所以0.a ≥
即实数a 的取值范围是[
)0,+∞． ()3因为0a >，由()2知函数()f x 在()0,+∞上是增函数．
因为1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x >，所以()()12.f x f x >
由()()12122f x f x x x ->-恒成立，可得()()()12122f x f x x x ->-，
即()()112222f x x f x x ->-恒成立．
令()()()212ln 1122
g x f x x a x x a x x =-=++++-，则()g x 在()0,+∞上应是增函数. 所以()()()21'120x a x a a g x x a x x
+-+=+++-=≥对()0,x ∈+∞恒成立． 即()2
10x a x a +-+≥对()0,x ∈+∞恒成立． 即21x x a x -≥-
+对()0,x ∈+∞恒成立
因为2213311x x x x x -⎛⎫-=-++-≤- ⎪++⎝⎭当且仅当211x x +=+即1x =时取等号)，
所以3a ≥-
所以实数a 的最小值为3-．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想，训练了分离变量法和利用基本不等式求函数的最值.此题是有一定难度的题目．
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线1
的参数方程是x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=
（1）求直线l 的极坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB .
【答案】(Ⅰ)()3R π
θρ=∈；
【解析】
【详解】分析：（1）利用消参得到直线l 的普通方程，利用极坐标公式得到曲线C 的直角坐标方程. （
2）利用解三角形求弦长|AB|.
详解：（1）直线l
的普通方程为y =；
cos x
sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩Q
，sin cos ρθθ∴=
故直线l 的极坐标方程为()3R π
θρ=∈，
（2）曲线C 的直角坐标方程为22230x y y +--=；
即曲线:C ()2214x y +-=
圆心()0,1
到直线y =
的距离1
2d ==；
圆的半径2r =；
2
221154244AB r d ⎛⎫
∴=-=-= ⎪⎝⎭，
∴
AB =点睛：本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查圆的弦长的计算，属于基础题. 23.已知函数()3f x x x =-+．
()1解不等式()20f x x -+>；
()2若关于x 的不等式()22f x a a ≤-在R 上的解集为R ，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{|31x x -<<，或3}x >（2）1a ≤-或3a ≥
【解析】
【分析】
()1不等式()20f x x -+>可化为21|x x x -++，利用零点分段法，可得答案； ()2利用绝对值三角形不等式求出函数()f x 的最大值，进而构造关于a 的不等式，解得答案．
【详解】解：()1不等式()20f x x -+>可化为21|x x x -++．
当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；
当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；
当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，
综上所述，不等式()20f x x -+>的解集为{|31x x -<<，或3}.x >
()2由不等式()22f x a a ≤-可得232x x a a -+≤-，
()333x x x x -+≤-+=Q ，
223a a ∴-≥，即2230a a --≥，
解得1a ≤-或3a ≥，
故实数a 的取值范围是1a ≤-或 3.a ≥
【点睛】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，难度中档．。