辽宁省葫芦岛市2021届新高考第二次大联考数学试卷含解析

辽宁省葫芦岛市2021届新高考第二次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(),A A A
x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23
π
到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2A
B y
y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C D 【答案】C 【解析】 【分析】
设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3
B y πα=+
，
2A B y y +=3sin 2αα+，利用辅助角公式计算即可.
【详解】
设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，
22cos(),sin()33B B x y ππαα=+
=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3
π
α+=
1
2sin sin cos 22ααα-+=3sin )226
π
ααα+=+≤，
当3
π
α=
时，取得等号.
故选：C. 【点睛】
本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.
2．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红
C ．小金
D ．小金或小明
【答案】B 【解析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示： 1 2 3 4 5 6 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路
小金
小红
小明
小金
小明
小红
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.
3．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A ．5.45
B ．4.55
C ．4.2
D ．5.8
【答案】B 【解析】
如图，已知10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -== ∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -= ，
∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨
=⎩
. ∴折断后的竹干高为4.55尺
4．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+= A ．177
-
B ．717
- C ．177
D ．
7
17
【答案】B 【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =
1213
知：5cos 13θ==-，5
t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457
tan()4
1tan tan 4517
π
θθθ+︒+
=
=--︒．
5．已知函数1
,0()ln ,0x x
f x x x x
⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为
（ ） A ．1
(0,)e
B ．1(0,
)2e
C ．1(,
)2e
-∞ D ．11(
,)2e e
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()
f x k x
=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k x
x
=
=，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()
f x k x
=
有一个零点， 当0x >时，()2
ln f x x
k x
x
=
=
，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==
当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x
在上单调递增，
当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x
在)+∞上单调递减，
所以当x =
()h x 取得最大值
12e
， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，
所以当0x >时，
()
f x k x
=有2个零点， 如图所示：
所以实数k 的取值范围为1(0,
)2e
综上可得实数k 的取值范围为1
(0,)2e
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 6．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3
π+
），则f （x ）的最小值为（ ） A ．
12
B ．
14
C 3
D ．
22
【答案】A 【解析】 【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，再求最值. 【详解】
已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3
π
+
）， =21cos 21cos 2322
x x π⎛
⎫
-+
⎪-⎝⎭
+
， =1cos 23sin 2111cos 22223x x x π⎛⎛
⎫-
=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
因为[]cos 21,13x π⎛⎫
+
∈- ⎪⎝
⎭
， 所以f （x ）的最小值为12
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．已知双曲线22
22:1(0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且
212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方
程为( )
A ．1
3y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是
12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】
根据题意，点P 一定在左支上.
由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，
又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.
在2OMF △中222
24cos 2a c a
MOF ac
+-∠=
.——① 由2tan b MOF a ∠=
，得2cos a
MOF c
∠=. ——② 由①②，解得2
25c a
=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
8．已知||
2
3
z
z i
=-（i为虚数单位，z为z的共轭复数），则复数
z在复平面内对应的点在（）. A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
设i,(,)
z a b a b R
=+∈，由
||
2
3
z
z i
=-，得
22
2i=(2)i=
3
a b
z a b
+
--+，利用复数相等建立方程组即可.
【详解】
设i,(,)
z a b a b R
=+∈，则
22
2i=(2)i=
3
a b
z a b
+
--+，所以
22
3
20
a b
a
b
⎧+
⎪=
⎨
⎪+=
⎩
，
解得
2
2
2
a
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，故
2
2i
2
z=-，复数z在复平面内对应的点为
2
(,2)
2
-，在第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
9．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(,)
DE AB AD R
λμλμ
=+∈
u u u v u u u v u u u v
，则λμ
+等于（）．
A．
1
2
-B．
1
2
C．1D．1-
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量基本定理，化简得
13
DE AB AD
44
u u u v u u u v u u u v
=-，所以
13
λ,μ
44
==-，即可求解，得到答案．【详解】
由平面向量基本定理，化简()
11
DE DA AE DA AC AD AB AD
44
=+=+=-++
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
13AB AD 44=
-u u u v u u u v ，所以13λ,μ44==-，即1λμ2
+=-， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到
13DE AB AD 44
u u u v u u u v u u u v
=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．
10．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23
C π
=，1c =．当,a b 变化时，若z b a
λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2
D ．(1,3)
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为23
C π=
，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以3a A =，3b B =，所以sin()])sin 323333
z b a B A B B B λλλπ=+=
=
+-=-+
22
323](1)())223
B B λλλφ=-++，其中3tan λφ=
，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62
k k k φππ
π+<<π+∈Z ， 所以3tan φ>
33
λ>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2
，故选C ． 11．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能
【答案】B 【解析】 【分析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】
Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，
∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离2
2
|1|1d a b
-=
<+，
即221a b +>．
也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外． 故选：B 【点睛】
本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题． 12．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )
A ．12π
B ．16π
C ．24π
D ．48π
【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算． 【详解】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2， 底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：
ABC ∆∴的外接圆的圆心为斜边AC 的中点D ，OD AC ⊥，且OD ⊂平面SAC ，
2SA AC ==Q ，
SC ∴的中点O 为外接球的球心，
∴半径3R
=，
∴外接球表面积4312S ππ=⨯=．
故选：A 【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在菱形ABCD 中，AB=3，o
60BAD ∠=，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2,2CE EB CF FD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，
若线段EF 上存在一点M ，使得56
AM xAB AD =+u u u u r u u u r u u u r
()x R ∈，则x =____________，
AM BD ⋅=u u u u r u u u r
____________．
（本题第1空2分，第2空3分）
【答案】12 3
2
【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，设EM EF λ=u u u u r u u u r
，则
1133
AM AB BE EM AB AD EF AB AD λ=++=++=++
u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22125()(1)()33336AD AB AB AD xAB AD λλλ-=-++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213125336x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12
34
x λ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以
1526AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r ，从而有22151151()()3263263
AM BD AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-⋅-+=-⨯u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
1533cos6099262
⨯⨯︒-⨯+⨯=.
14．已知点F 是抛物线2
2y x =的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若17
||||4
MF NF +=
，则线段MN 中点的纵坐标为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】
运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果. 【详解】
抛物线2
2y x =的标准方程为：2
12
x y =
，则抛物线的准线方程为1
8y =-，设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，
则1117
||||884M N MF NF y y +=+++=，所以4M N y y +=，则线段MN 中点的纵坐标为22
M
N y y +=. 故答案为：2 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.
15．已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且2469a a a ++=,则()15793
log a a a ++=______.
【答案】5- 【解析】 【分析】
数列{}n a 满足13n n a a +=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得
15793
log ()a a a ++的值即可.
【详解】 13n n a a +=Q ，
∴数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
又2469a a a ++=，
35579933a a a ∴++=⨯=，
5157933
log ()35a a a log ∴++=-=-．
故答案为：5-． 【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题． 16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，
()()*3N ,n n S n m a n m R =+∈∈，且1n n a b n =+.若任意*N n ∈，2n n T T λ≤-成立，则实数λ的取值范
围为__________. 【答案】12
λ≤ 【解析】 【分析】
当2n …
时，1n n n a S S -=-，可得到11
1
n n a n a n -+=-，再用累乘法求出n a ，再求出n b ，根据定义求出n T ，再借助单调性求解． 【详解】
解：当1n =时，1113(1)3S m a a =+=，则2m =，3(2)n n S n a =+，
当2n …
时，113(1)n n S n a --=+， 13(2)(1)n n n a n a n a -∴=+-+，
∴
111
n n a n a n -+=-， 3211213451
2(1)12321n n n a a a n n a a n n a a a n n -+∴=⋯=⨯⨯⨯⋯=+--g g g ，
11n n n b a n
+∴=
=， 211111222
n n T T n n n ∴-=++⋯+++…（当且仅当1n =时等号成立）， 12
λ∴„
， 故答案为：1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
．
【点睛】
本题主要考查已知n S 求n a ，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()||f x x a =-
（1）当1a =-时，求不等式()|21|1f x x ≤+-的解集；
（2）若函数()()|3|g x f x x =-+的值域为A ，且[2,1]A -⊆，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x ≤-或1}x ≥（2）(,5][1,)-∞-⋃-+∞ 【解析】 【分析】
（1）分类讨论去绝对值即可；
（2）根据条件分a ＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A 建立关于a 的不等式，然后求出a 的取值范围. 【详解】
（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝|x+1|.
∵f （x ）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x ﹣1≤﹣2x ﹣2，∴x≤﹣1；
当1
12
x -<<-时，原不等式可化为x+1≤﹣2x ﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解； 当2
1
x ≥-
时，原不等式可化为x+1≤2x ，∴x≥1， 综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.
（2）当a ＜﹣3时，()323333a x a g x x a a x a x +≤⎧⎪
=-+<<-⎨⎪--≥-⎩
，，，，
∴函数g （x ）的值域A ＝{x|3+a≤x≤﹣a ﹣3}.
∵[﹣2，1]⊆A ，∴32
31a a +≤-⎧⎨--≥⎩，∴a≤﹣5；
当a≥﹣3时，()3323333a x g x x a x a x a +≤-⎧⎪
=-+-<<-⎨⎪--≥⎩
，，
，， ∴函数g （x ）的值域A ＝{x|﹣a ﹣3≤x≤3+a}. ∵[﹣2，1]⊆A ，∴32
31
a a --≤-⎧⎨
+≥⎩，∴a≥﹣1，
综上，a 的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t
y t =⎧⎨
=-⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积. 【答案】（1）:230l x y +-=，2
2
:40C x y y +-=；（2
）5
. 【解析】 【分析】
（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，
结合222
sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩
可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）计算出直线l 截圆C 所得弦长AB ，并计算出原点O 到直线l 的距离d '，利用三角形的面积公式可求得OAB ∆的面积.
（1）由32x t
y t =⎧⎨
=-⎩
得32y x =-，故直线l 的普通方程是230x y +-=.
由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，代入公式222
sin x y y
ρρθ⎧=+⎨=⎩得224x y y +=，得22
40x y y +-=，
故曲线C 的直角坐标方程是22
40x y y +-=；
（2）因为曲线2
2
:40C x y y +-=的圆心为()0,2，半径为2r =，
圆心()0,2到直线230x y +-=的距离为2355
5
d -=
=
， 则弦长2
2225295
2225AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
. 又O 到直线:230l x y +-=的距离为3355
d -'=
=
， 所以1129535319
22OAB S AB d ∆'=⨯=⨯⨯=
. 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
19．如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.
（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？
（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；
（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？
【答案】（1）6种；（2）
11
64
；（3）I F C B A →→→→.
【分析】
（1）从4条街中选择2条横街即可；
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，
I F E D A →→→→，I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率； （3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免. 【详解】
（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为2
4
6C =条.
（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线：
①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率11313
124432p =⨯⨯⨯=；
②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率213113
2444128p =⨯⨯⨯=；
③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111
124432p =⨯⨯⨯=；
④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率411313
2444128p =⨯⨯⨯=.
所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率
1234331311321283212864
p p p p p =+++=
+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则
①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()134E X =；
②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫
→→→→ ⎪⎝⎭
，则()239344E X =⨯=；
③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→；
3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫
→→→→= ⎪⎝⎭，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==
综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→. 【点睛】
本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，
10PC =，E 为线段AD 的中点．
()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；
()2是否存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r
的点F ，使得34
B PAE D PFB V V --=？若存在，求出λ的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】()1证明见解析；()2 2. 【解析】 【分析】
()1利用面面垂直的判定定理证明即可；
()2由PF FC λ=u u u r u u u r ，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，
34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324
λλ+=，继而得出λ的值.
【详解】
解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点， 所以PE AD ⊥．
因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，
所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=， 所以AD ⊥平面PBE ． 又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ．
()2由PF FC λ=u u u r u u u r
，知()1FC PC λ+=．
所以，111222
B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+=
==， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．
因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324
λλ+=， 所以，2λ=．
即存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得3
4
B PAE D PFB V V --=，此时2λ=．
【点睛】
本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题． 21．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛
⎫
=-> ⎪
⎝
⎭
的图象向左平移2
π
后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛
⎫
=+<
⎪⎝
⎭
图象重合.
（1）求ω和ϕ的值； （2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，求()h x 的单调递增区间及图象的对称轴方程. 【答案】（1）2ω=，3
π
ϕ=；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦，212
k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．
（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】
（1）由题意得2ω=，
5sin 2cos 2263f x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=+
=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
π
ϕ<
Q ，3
π
ϕ∴=
（2）()sin 2cos 2881212h x f x g x x x ππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
由23
2
x k π
π
π+
=+
，解得212
k x ππ
=
+， 所以对称轴为212
k x ππ
=
+，k Z ∈. 由222232k x k πππ
ππ-≤+≤+，
解得51212
k x k ππππ-≤≤+， 所以单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
.,
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
22．已知ABC V 中，2BC =，45B =︒，D 是AB 上一点． （1）若1BCD S =△，求CD 的长； （2）若30A =︒，3BD AD =，求
sin sin ACD
DCB
∠∠的值．
【答案】（1）2CD =
（2）
2
6
【解析】 【分析】
（1）运用三角形面积公式求出BD 的长度，然后再运用余弦定理求出CD 的长. （2）运用正弦定理分别表示出sin ACD ∠和sin DCB ∠，结合已知条件计算出结果. 【详解】 （1）由12sin 45122BCD S BC BD BD BD =
⋅⋅︒==⇒=△ 在BDC V 中，由余弦定理可得
2222cos4542422CD BC BD BC BD CD =+-⋅⋅︒=+-=⇒=
（2）由已知得3BD AD = 在ADC V 中，由正弦定理可知sin sin sin sin 2CD AD A AD AD
ACD A ACD CD CD
⋅=⇒∠==∠ 在BDC V 中，由正弦定理可知
sin 2sin sin sin CD BD B BD BD
BCD B BCD CD ⋅=⇒∠==
∠ 故
sin 22sin 2232
AD
ACD CD BCD BD BD ∠====∠ 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型，能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.
23．如图，正方形ABCD 所在平面外一点满足PE PF =，其中E F 、分别是AB 与AD 的中点.
（1）求证：EF PC ⊥；
（2）若4,26AB PE PF ===，且二面角P EF C --的平面角的余弦值为
311
11
，求BC 与平面PEF 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）11
11
【解析】 【分析】
（1）先证明EF ⊥平面POC ，即可求证EF PC ⊥；
（2）根据二面角P EF C --的余弦值，可得PC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可. 【详解】
（1）连接AC ，交EF 于点O ，
连结PO .则,,EF PO EF AC PO AC O ⊥⊥⋂=， 故EF ⊥面POC . 又PC ⊂面POC ， 因此EF PC ⊥.
（2）由（1）知POC ∠即为二面角P EF C --的平面角， 且2,22,32FO PO OC =
==.
在POC △中应用余弦定理，得222cos 2PC PO OC PO OC POC =+-⋅⋅∠=，
于是有222PC OC PO +=，
即PC OC ⊥，从而有PC ⊥平面ABCD . 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,
则(0,0,0), (0,0,2), (0,4,0), (2,4,0), (4,2,0)C P B E F ，
于是(2,4,2),(4,2,2)PE PF =-=-u u u r u u u r ，(0,4,0)CB =u u u r
，
设平面PEF 的法向量为(,,)m x y z =r
，
则00
m PE m PF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即2420
4220x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩，解得x y =
于是平面PEF 的一个法向量为(1,1,3)m =r
.设直线BC 与平面PEF 所成角为θ
，因此
sin cos ,11||||CB m CB m CB m θ⋅=<>===⋅u u u r r u u u r r u u u r r
. 【点睛】
本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.。