秋北京市海淀区九年级上期中数学试题及答案

海淀区九年级第一学期期中测评
数学试卷
（分数：120分时间：120分钟） .11
班级姓名学号 成绩
试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上做答无效. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．一元二次方程2
230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A. 1,2,3--
B. 1,-2,3
C. 1,2,3
D. 1,2,3-
2．在角、等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A ．角B ．等边三角形 C ．平行四边形 D ．圆 3．函数2y x =
-中，自变量x 的取值范围是
A ．2≠x
B ．2≤x
C ．2>x
D ．2≥x
4．如图，点A 、B 、C 在O ⊙上，若110AOB ∠=，则ACB ∠的大小是 A ．35B ．
45 C ．55D ．110
5．用配方法解方程09102
=++x x ,配方正确的是 A ．16)5(2
=+x B ．34)5(2
=+x C ．16)5(2
=-x D ．25)5(2
=+x
6．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是 A ．
60B ．
72 C ．90D ．120 7．若
230a b ++-=，则a b +的值为
A ．-1
B ．1
C ．5
D ．6
O
C
B
A
8．如图，⊙O 的半径为5，点P 到圆心O
的距离为
10，如果过点P 作弦，
那么长度为整数值的弦的条数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如图，将ABC △绕点C 顺时针旋转至''A B C △的位置，若 15ACB ∠=，120B ∠=，则'A ∠的大小为________．
10．已知一元二次方程有一个根是0，那么这个方程可以是
（填上你认为正确的一个方程即可）．
11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为⊙O 上的两点，若 40=∠ABD ，则BCD ∠的大小为．
12．下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
第1行
2 3 2
第2行 5 6 7 22 3
第3行 10
11 23 13 14
15 4
第4行
根据数阵排列的规律，则第5行从左向右数第5个数为，第n （3≥n ，且n 是整数）行从左向右数第5个数是（用含n 的代数式表示）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：36324⨯+÷．
14．用公式法解一元二次方程：241x x +=．
15．如图，ABC △与AED △均是等边三角形，连接BE 、CD ．请在图中找出一条与CD 长度相等的线段，并证明你的结论．
结论：CD =． 证明：
O
D
C
A
P
O E
D C
B
A
16．当15-=x 时，求代数式522-+x x 的值．
17．如图，两个圆都以点O 为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．
求证：AC =BD ． 证明：
18．列方程（组）解应用题：
如图，有一块长20米，宽12米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小路，剩余的草坪面积是原来的3
4
，求小路的宽度．
解：
四、解答题（每小题5分，共20分）
19．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -++=的一个根为2. (1) 求m 的值及另一根；
（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长．
20．如图，DE 为半圆的直径，O 为圆心，DE =10，延长DE 到A ，使得EA =1，直线AC 与半圆交于B 、C 两点，且 30=∠DAC ． （1）求弦BC 的长； （2）求AOC △的面积．
21．已知关于x 的方程0)1(22
2
=++-k x k x 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）求证：1-=x 不可能是此方程的实数根．
D
C
B
A O E
C
A
D
B
O
22．阅读下面的材料：
小明在研究中心对称问题时发现：
如图1，当点1A 为旋转中心时，点P 绕着点1A 旋转180°得到1P 点，点1P 再绕着点
1A 旋转180°得到2P 点，这时点P 与点2P 重合.
如图2，当点1A 、2A 为旋转中心时，点P 绕着点1A 旋转180°得到1P 点，点1P 绕着点2A 旋转180°得到2P 点，点2P 绕着点1A 旋转180°得到3P 点，点3P 绕着点2A 旋转180°得到4P 点,小明发现P 、4P 两点关于点2P 中心对称.
（1）请在图2中画出点3P 、4P ， 小明在证明P 、4P 两点关于点2P 中心对称时，除了说明P 、
2P 、4P 三点共线之外，还需证明；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，当)3,0(1A 、)0,2(2 A 、)0,2(3A 为旋转中心时，点
)4,0(P 绕着点1A 旋转180°得到1P 点；点1P 绕着点2A 旋转180°
得到2P 点；点2P 绕着点3A 旋转180°得到3P 点；点3P 绕着点1A 旋转180°得到点4P 点
. 继续如此操作若干次得到点
56P P 、、，则点2P 的坐标为，点2017P 的坐为．
图 3
图2
图1
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知关于x 的一元二次方程02)12(2
=++-x m mx ． （1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值； （3）若此方程的两个实数根分别为1x 、2x ，
求代数式5)(2))(12()(212
22
13
23
1+++++-+x x x x m x x m 的值．
24．已知在ABC △中，
90=∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上，
CD DE 2
1
=
，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关
系：___________，___________；
（2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证：
45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得
45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由．
D
C
B
A
N
M F
E
D C
B
A 图1
备用图
25．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且10=AB ，点M 为线段AB 的中点．
（1）如图1，线段OM 的长度为________________；
（2）如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ACB ，当点C 在第一象限时，求直线OC 所对
应的函数的解析式； （3）如图3，设点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上，且10=DE ，以DE 为边在第三象
限内作正方形DGFE ，请求出线段MG 长度的最大值，并直接写出此时直线MG 所对应的函数的解析式．
G
F
E
D
x
y O A
B
M
图1
图2
C
x
y
O
A
B
M B
A
O
y
x
图3
海淀区九年级第一学期期中练习
.11
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知:
1.为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.
2.若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.
3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A D D C A
B B C
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．45°；10．20x x -=(二次项系数不为0,且常数项为0均正确)；11．50°；12．21，
622+-n n (每空2分)．
三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13．（本小题满分5分）
解：36324⨯+÷
8182分
2322+=…………………………………………………………………4分 25=.……………………………………………………………………………5分
14．（本小题满分5分）
解：原方程可化为2+410x x -=，……………………………………………………1分
141a ,b ,c ===-,
2441(1)=20>0,∆=-⨯⨯-…………………………………………………………2分
方程有两个不相等的实数根,
2442025b b ac x -±--±===-4分
即122525x =-=-．……………………………………………………5分
15．（本小题满分5分）
结论:CD BE =．……………………………………………………………………1分 证明： △ABC 与△AED 是等边三角形，
∴AE AD =，AB AC =，60CAB DAE ∠=∠=．…2分
∴CAB DAB DAE DAB ∠-∠=∠-∠，
即CAD BAE ∠=∠．………………………………3分 在△CAD 和△BAE 中，
E D
C
B
A
AC AB,CAD BAE,AD AE,=⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAD ≌△BAE ．…………………………………………………………4分 ∴CD =BE ．…………………………………………………………………5分
16．（本小题满分5分）
解： 15-=x ，
∴15x +
∴5)1(2=+x ．………………………………………………………………1分
∴2215x x ++=．………………………………………………………………2分 ∴224x x +=．…………………………………………………………………3分 ∴225451x x +-=-=-．……………………………………………………5分
17．（本小题满分5分）
证明：过点O 作AB OM ⊥于M ， (1)
分
由垂径定理可得DM CM BM AM ==,．……………3分
∴DM BM CM AM -=-．…………………………4分 即BD AC =．…………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
解：设小路的宽度是x 米．………………………………………………………1分
由题意可列方程，3
(20)(12)20124
x x --=⨯⨯．……………………………2分
化简得, 232600x x -+=．
解得, 12302x ,x ==．………………………………………………………3分
由题意可知3020x =>不合题意舍去，2x =符合题意.…………………4分 答：小路的宽度是2米.……………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）
解：（1）∵关于x 的一元二次方程210x mx m -++=的一个根为2，
∴22210m m -++=.……………………………………………………1分 ∴5m =.……………………………………………………………………2分
∴一元二次方程为2560x x -+=.
解得1223x ,x ==.…………………………………………………………3分
∴5m =，方程另一根为3.
（2）当长度为2的线段为等腰三角形底边时，则腰长为3，此时三角形的周长为
2+3+3=8；………………………………………………………………4分
当长度为3的线段为等腰三角形底边时，则腰长为2，此时三角形的周长为2+2+3=7. ………………………………………………………………5分
M
O
D
C
B
A
20．（本小题满分5分）
解：（1）过点O 作OM ⊥BC 于M .
由垂径定理可得：BM=CM .…1分
∵30DAC ∠=, ∴12
OM OA =.
∵直径DE =10， EA =1，
∴=5OD OC OE ==.
∴516OA OE EA =+=+=. ∴3OM =.…………………2分
在R t △COM 中，222225316CM OC OM =-=-=. ∴4CM =. ∴4BM =.
∴+8BC BM CM ==.……………………………………………………3分 (2)在R t △AOM 中，222226327AM OA OM =-=-=.
∴33AM =.……………………………………………………………………4分 ∴+334AC AM CM ==. ∵OM ⊥AC , ∴119(334)336222
AOC
S
AC OM =
⋅=⨯⨯=.……………………………5分
21．（本小题满分5分）
解：(1)∵关于x 的方程0)1(222=++-k x k x 有两个不相等的实数根,
∴224(1)4=8+4>0k k k ∆=+-.………………………………………………2分 ∴1
>2
k -
.…………………………………………………………………3分 (2)∵当1-=x 时，左边=222(1)x k x k -++
22(1)2(1)(1)k k =--+⨯-+
223k k =++…………………………………………4分 2(+1)20k =+>．
而右边=0,
∴左边≠右边．
∴1-=x 不可能是此方程的实数根．……………………………………5分
22.（本小题满分5分）
（1）正确画出34P P 、点（图略）．………………………………………………1分
224=P P P P ．……………………………………………………………………2分
（2）（-4，-2）．…………………………………………………………………3分
（0,2）．……………………………………………………………………5分
M
E
C
D B O
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23.（本小题满分7分）
解：（1）由题意可知0m ≠．
2(21)42m m ∆=+-⨯⨯
22=441(21)0m m m -+=-≥．……………………………………………2分
∴此方程总有两个实数根．
（2）方程的两个实数根为2
(21)(21)m m x +±-=，
∴121
2x ,x m
==
．…………………………………………………………4分 ∵方程的两个实数根都是整数，且m 为整数，
∴1m =±．…………………………………………………………………5分
（3）∵原方程的两个实数根分别为1x 、2x ，
∴211(21)20mx m x -++= 222(21)20mx m x -++=．……………………………………………………6分
∴5)(2))(12()(2122213231+++++-+x x x x m x x m
=1
3232
11222[(21)2]+[(21)2]+5mx m x x mx m x x -++-++
=1
2211222[(21)2]+[(21)2]+5x mx m x x mx m x -++-++
=12005x x ⨯+⨯+
=5．…………………………………………………………………………7分
24.（本小题满分8分）
（1）AE ⊥CM ，AE =CM ．……………………………………………………2分
（2）如图，过点A 作AG ⊥AB ,且AG =BM,，连接CG 、FG ,延长AE 交CM 于H .
∵ 90=∠ACB ,26==CB CA ,
∴∠CAB =∠CBA =45°，2212CA CB +. ∴∠GAC =∠MBC =45°. ∵AB CD ⊥,
∴CD=AD=BD =162
AB =. ∵M 是DB 的中点, ∴3BM DM ==. ∴3AG =. ∵2AF FD =,
∴4 2.AF DF ==，
∴+2+3=5.FM FD DM == ∵AG ⊥AF , ∴2222+3+4FG AG AF =
F
H
N
E
C
A
∴.FG FM =……………………………………………………………………3分 在△CAG 和△CBM 中， CA CB CAG CBM AG BM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，，
， ∴△CAG ≌△CBM ．
∴CG =CM ,ACG BCM ∠=∠．
∴++90MCG ACM ACG ACM BCM ∠=∠∠=∠∠=．………………………4分 在△FCG 和△FCM 中， CG CM FG FM CF CF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，，
， ∴△FCG ≌△FCM ．
∴FCG FCM ∠=∠．………………………………………………………5分 ∴45FCH ∠=.
由（1）知AE ⊥CM ， ∴90CHN ∠=
∴ 45=∠CNE .………………………………………………………………6分 （3）存在.
AF =8.…………………………………………………………………………8分
25.（本小题满分7分）
（1）5;…………………………………………………………………………………1分 （2）如图1, 过点C 分别作CP ⊥x 轴于P ，CQ ⊥y 轴于Q ．
∴∠CQB =∠CPA =90°，
∵∠QOP =90°，
∴∠QCP =90°． ∵∠BCA =90°，
∴∠BCQ =∠ACP ． ∵BC=AC ，
∴△BCQ ≌△ACP ．
∴CQ=CP ．………………………………3分 ∵点C 在第一象限,
∴不妨设C 点的坐标为(a ，a )(其中0a ≠)．
设直线OC 所对应的函数解析式为kx y =，
∴a ka =，解得k =1，
∴直线OC 所对应的函数解析式为x y =．…………………………………4分 （3）取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM .
∵∠AOB=90°，
∴OM =
1
52AB =．
同理ON =5．
F
y O
B
D
G
N
E
A
M
x
图2
Q C x
y O A B
P 图1
∵正方形DGFE ，N 为DE 中点，DE=10， ∴NG =2222+10555DN DG +=．
在点M 与G 之间总有MG ≤MO +ON +NG (如图2)，
由于∠DNG 的大小为定值，只要1
2
DON DNG ∠=∠,
且M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线,此时等号成立（如图3）.………………………5分
∴线段MG 取最大值10+55．………………6分
此时直线MG 的解析式x y 25
1+-=．……………………………………7分
N
M B A
O y
x
D
E
G
图3。