洛伦兹力参与下的物体的几类典型运动

洛伦兹力参与下的物体的几类典型运动
作者：吴秀章
来源：《中学物理·高中》2015年第12期
带电物体垂直于匀强磁场方向进入匀强磁场，带电物体受到洛伦兹力作用，由于洛伦兹力的方向始终和速度的方向垂直，洛伦兹力总是不做功；又因为物体受到的洛伦兹力和物体的速度有关，物体受到的洛伦兹力随物体的速度的变化而变化。

由于洛伦兹力具备这样的特点，所以有关洛伦兹力方面的问题备受命题专家的关注。

以下围绕“洛伦兹力参与下的物体的几类典型运动”进行举例分析。

1 洛伦兹力参与下的直线运动
例1 如图1所示，坐标系xOy在竖直平面内，空间有沿水平方向、垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。

在x>0的空间内有沿x轴正方向的匀强电场，场强为E。

一个带正电荷的小球经过图中x轴上的M点，沿着与水平方向成θ=30°角斜向下做直线运动，且经过y轴上的N点，求此过程小球运动的速度大小。

[TP12GW150。

TIF，BP#]
解析小球在MN段受力如图2所示，由于小球在MN段做直线运动，又由于小球受到的洛伦兹力会随着小球的速度的变化而变化，所以小球在MN段做匀速直线运动。

小球受到的重力、电场力和洛伦兹力三个力的合力为零，即小球受到的电场力和重力的合力和小球受到的洛伦兹力等大反向。

由物体的平衡条件可得qvBsin30°=qE，解得v=[SX（]2E[]B[SX）]。

点拨由于物体做直线运动的条件是物体的速度方向和物体的合力的方向在一条直线上或物体的合力为零。

当物体的速度方向和物体的合力的方向相同，物体做加速直线运动；当物体的速度方向和物体的合力的方向相反，物体做减速直线运动；当物体的合力为零，物体做匀速直线运动，所以物体做直线运动的条件也可以表述为物体在垂直于速度方向上的合力为零。

由于小球受到的洛伦兹力会随着小球的速度的变化而变化且小球受到的洛伦兹力的方向始终和速度方向垂直，所以带电小球在电场力、洛伦兹力和重力三个共同作用下做直线运动，若小球的速度增大或减小，小球受到的洛伦兹力会增大或减小，小球在垂直于速度方向上的合力会变化，即小球在垂直于速度方向上的合力不会始终为零。

进一步可得：带电球在电场力、洛伦兹力和重力三个共同作用下做直线运动，那么带电小球一定做匀速直线运动。

2 洛伦兹力参与下的圆周运动
[TP12GW151。

TIF，Y#]
例2 如图3所示，一带电塑料小球质量为m，用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摆动，最大摆角为60°，水平磁场垂直于小球摆动的平面。

当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大摆角处摆到最低点时悬线上的张力为
A。

0 B。

2mg C。

4mg D。

6mg
解析带电塑料小球在摆动的过程中，由于绳子对小球的拉力的方向和磁场对小球的洛伦兹力的方向始终和小球的速度方向垂直，所以这两个力对小球都不做功，带电塑料小球在摆动的过程中，只有重力对小球做功，小球的机械能守恒，小球左方所达到的最高点和小球右方所达到的最高点在同一个水平面上。

设丝线的长度为L，当小球自左方摆到最低点时，小球的速度大小为v1，由动能定理可得
mgL（1-cos60°）=[SX（]1[]2[SX）]mv21-0（1）
由牛顿第二定律可得 qv1B-mg=[SX（]mv21[]L[SX）]（2）
由（1）、（2）解得 v1=[KF（]gL[KF）]（3）
qv1B=2mg（4）
当小球自右方摆到最低点时，小球的速度大小为v2，由动能定理可得
mgL（1-cos60°）=[SX（]1[]2[SX）]mv20-0（5）
由牛顿第二定律可得 F-qv2B-mg=[SX（]mv22[]L[SX）]（6）
由（4）、（5）解得 v2=v1=[KF（]gL[KF）]（7）
qv2B=qv1B=2mg（8）
由（6）、（7）、（8）解得F=4mg，答案C正确。

点拨由于小球的洛伦兹力的方向和小球的速度方向始终垂直，所以小球的洛伦兹力对小球始终不做功；由于小球通过最低点时速度方向不同，由左手定则可判断小球在最低点受到的洛伦兹力的方向不同。

3 洛伦兹力参与下的类平抛运动
例3 如图4所示，光滑的水平桌面处在方向竖直向下的匀强磁场中，桌面上平放着一根一端开口、内壁光滑的绝缘细管，细管封闭端有一带电小球，小球直径略小于管的直径，细管的中心轴线沿y轴方向。

在水平拉力F作用下，[TP12GW152。

TIF，Y#]试管沿x轴方向匀速运动，带电小球能从细管口处飞出。

带电小球在离开细管前的运动过程中，关于小球运动的加速度a、沿y轴方向的速度vy、拉力F以及管壁对小球的弹力做功的功率P随时间t变化的图象分别如图5所示，其中正确的是
[TP12GW153。

TIF，BP#]
解析带电小球做类平抛运动，带电小球的运动可分解为：带电小球在x轴方向上做速度大小为vx匀速直线运动，带电小球在y轴方向上做匀加速直线运动。

带电小球在y轴方向上做匀加速直线运动的合力为x轴方向上的速度vx对应的洛伦兹力，该方向上由牛顿第二定律可得：qBvx=ma，可得：小球的加速度a为定值，答案A错误；由于vy=at，所以vy-t图象是一次函数图象，答案B错误；小球沿y轴方向的速度vy对应的洛伦兹力为fx=qBvy=qBat，对小球和绝缘细管整体沿x轴方向由物体的平衡条件可得：F=fx，进一步可得：F=qBat，即F-t 图象是一次函数图象，答案C错误；对小球沿x轴方向由物体的平衡条件可得：管壁对小球的弹力N=fx=qBvy=qBat，管壁对小球的弹力做功的功率P=Nvx=qBvxat，P-t图象是一次函数图象，答案D正确。

点拨由左手定则可判断：小球在x轴方向的分速度对应小球在y轴方向上受到的洛伦兹力，小球在y轴方向的分速度对应小球在x轴方向上受到的洛伦兹力。

这样的分解思想同学们要特别记住，这样可以化难为易，方便问题的解决。

例4 如图6所示，一正方形盒子处于竖直向上匀强磁场中，盒子边长为L，前后面为金属板，其余四面均为绝缘材料，在盒左面正中间和底面上各有一小孔（孔大小相对底面大小可忽略），底面小孔位置可在底面中线MN间移动，现有一些带-Q电量的液滴从左侧小孔以某速度进入盒内，由于磁场力作用，这些液滴会偏向金属板，从而在前后两面间产生电压，（液滴落在底部绝缘面或右侧绝缘面时仍将向前后金属板运动，带电液滴达金属板后将电量传给金属板后被引流出盒子），当电压达稳定后，[TP12GW154。

TIF，Y#]移动底部小孔位置，若液滴速度在某一范围内时，可使得液滴恰[HJ1。

5mm]好能从底面小孔出去，现可根据底面小孔到M点的距离d计算出稳定电压的大小，若已知磁场磁感强度为B，则以下说法正确的是
A。

稳定后前金属板电势较低
B。

稳定后液滴将做匀变速曲线运动
C。

稳定电压为U=Bd[KF（][SX（]Lg[]2[SX）][KF）]
D。

能计算出的最大稳定电压为BL[KF（]Lg[KF）]
解析把小球的速度分解到水平方向和竖直方向，由于竖直方向的分速度和匀强磁场方向平行，所以与该方向上的速度对应的洛伦兹力为零；由左手定则可判断：小球水平方向的速度所对应的洛伦兹力水平向后。

再结合题意可得：稳定后后金属板带负电荷，后金属板电势较低，答案A正确；稳定后后金属板带负电荷，前金属板带正电荷，前后金属板形成一个带电的电容器，前后金属板间形成匀强电场，液滴做平抛运动，即稳定后液滴将做匀变速曲线运动，答案B正确；稳定后液滴在水平方向做速度大小为v0的匀速直线运动，液滴受到的电场力和洛伦兹力等大反向，则：QE=Qv0B=[SX（]QU[]L[SX）]，d=v0t；小球在竖直方向上做自由落体运动，则[SX（]L[]2[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]gt2，可解得U=Bd[KF（]gL[KF）]，答案C错误；由题意可得：底面小孔到M点的距离d的最大值为L，所以最大稳定电压为BL[KF （]Lg[KF）]，答案D正确。

综合上面分析可得：本题答案选B、D。

此外带电粒子（不计重力）垂直匀强磁场方向进入匀强磁场在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，是高考命题的热点和重点。

希望同学们在平时的复习备考要重视有关洛伦兹力的问题。