高中数学 21 等比数列的前n项和试题必修5 试题

21. 等比数列的前n 项和
【教学•建构】
阅读材料 HPM 〔International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics ，简称HPM 〕视角下的等比数列求和问题：
1. 数学史上，等比数列或者许比等差数列出现得更早. 约在公元前3000年，巴比伦人 就已经总结出等比数列1，2，22，32， (9)
2的求和公式： 1-222222199932+=+++++ ；
2. 在古埃及的莱因德纸草上，我们见到这样一张表：
1 2801 房屋 7
2 5602 猫 49
4 11204 老鼠 343
19607 麦穗 2401
容积 16807
总数 19607
3. 直到今天，英国童谣还有类似的问题： 我赴圣地伊夫斯，路遇一男携七妻；一妻各把七袋负，一袋各装七猫咪；猫咪生子数又七，几多同去伊夫斯？
4. 15­17世纪的俄国数学家手稿中也有同样性质的问题：有40个城，每个城有40条，每条有40座房子，每座房子里有40根柱子，每根柱子有40个圆环，每个圆环上有40匹马，每匹马上坐着40个人，每个人手中拿着40根马鞭，统统算在一起一共有多少？
一般地，假如{}n a 是等比数列，且公比为q ，如何计算它的前n 项和n S 呢？
探究1 以古巴比伦的案例作为切入点，如何计算13222221-+++++=n n S ？
猜测 1321-+++++n q
q q q 的结果是什么？并验证你的猜测
建构数学
一般地，等比数列{}n a 前n 项和公式为______________________________
探究2 〔1〕由前面的证明过程，分析n n qS S -这一思路正是用等比数列的重要性质，出现众多公一共项，我们把这种方法叫错位相减法．那么1n n S S q
-与2n n S q S -是否可以起到同样的化简效果？
〔2〕错位相减法的本质是什么？
探究3 对于公比不为1的等比数列的前n 项求和，有没有其他的证明方法？
阅读材料
〔1〕埃及人的证明方法：
)(1211112211--++++=++++=n n n a a a q a q a q a q a a S
)()(111111---+=-+=+=n n n n n q a S q a a S q a qS a ，故⎪⎩
⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q q q a q na s n n 〔2〕欧几里得?几何本来?的证明方法：
设有等比数列1321,,,,+n n a a a a a 的公比
1≠q ，那么可得q a a a a a a n n ====-1
2312 ，由分比定律： n
n n a a a a a a a a a -==-=-+1223112 再由合比定律，我们有
1112111-=-=+++-++q S a a a a a a a n n n n ，故⎪⎩
⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q q q a q na s n n .
探究4 〔1〕等比数列前n 项求和公式的函数意义是什么？
〔2〕一般地，假如一个数列{}n a 的前n 项和为B Aq S n
n +=〔其中r q p ,,为常数〕，那么这个数列一定是等比数列吗？
例1 在等比数列{}n a 中，
〔1〕41-=a ，2
1=q ，求10S ； 〔2〕11=a ，243=k a ，3=q ，求k S .
例2 在等比数列{}n a 中，2
63,2763==
S S ，求n a .
变式 在等比数列{}n a 中，2
63,2763==
S S ，那么.______9=S
考虑 能否类比等差数列中的相关性质得到更为一般性的结论？
【复习•考虑】整理笔记，稳固记忆课堂教学内容.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。