【一线教师倾力打造】人教B版数学必修同步练习数零点近似解的一种计算方法——二分法含答案

1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )．
A ．f (0)＞0，f (2)＜0
B ．f (0)·f (2)＜0
C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)＜0
D ．以上说法都不正确
2．函数f (x )的图象如图所示，函数f (x )的变号零点个数为( )．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．函数y ＝x
与y =( )．
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
4．如图所示，下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )．
5．设函数[)()
221,0,()4,,0x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩又g (x )＝f (x )－1，则函数g (x )的零点是________． 6．某方程有一个无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.
7．证明：函数 225()1
x f x x -=+在区间(2,3)上至少有一个零点． 8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．
(1)求m 的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．
9.如图所示，有一块边长为15 c m 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x c m 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150 c m3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精
确到0.1 c m)?
参考答案
1. 答案：D
解析：当f (x )＝|x －1|时，对于x ∈(0,2)恒有f (x )≥0，故A 、B 、C 排除．
2. 答案：D
3. 答案：C
解析：依题意，令()f x x =
(1)10f =<，(2)20f =>，
∴f (1)f (2)＜0，且函数y ＝f (x )的图象在[－1，＋∞)上是连续的，所以函数y ＝x 与
y =(1,2)，故选C.
4. 答案：B
解析：只有变号零点才适合用二分法来求．
5. 答案：1，解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )－1＝2x －2，令g (x )＝0得x ＝1；当x ＜0时，g (x )＝x 2－4
－1＝x 2－5，令g (x )＝0得x =
∴g (x )的零点是1，6. 答案：5
解析：∵310.12
n -≤，得2n ≥20，n ＞4， ∴至少等分5次． 7. 解：∵函数225()1x f x x -=
+的定义域为R ， ∴函数f (x )的图象在区间(2,3)上是连续的．
又∵22251(2)0215f ⨯-==-<+，22351(3)03110
f ⨯-==>+， ∴f (2)·f (3)＜0.
∴函数f (x )在区间(2,3)上至少有一个零点．
8. 解：(1)当m ＋6＝0时，函数为y ＝－14x －5显然有零点．
当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝－36m －20≥0，得59m ≤-. ∴当59
m ≤-且m ≠－6时，二次函数有零点．
综上，59
m ≤-. (2)设x 1、x 2是函数的两个零点，则有
()12216m x x m -+=-
+，1216m x x m +=+. ∵12114x x +=-，∴12124x x x x +=-，即()2141
m m --=-+，解得m ＝－3. 当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0.
∴m ＝－3.
9. 解析：(1)∵底面积为(15－2x )2，高为x ，
又15－2x ＞0且x ＞0，∴ 0＜x ＜7.5.
∴y ＝(15－2x )2x ，x ∈(0,7.5)．
(2)∵容积为150 c m 3，
∴(15－2x )2·x ＝150.
下面用二分法来求方程(15－2x )2x ＝150在(0,7.5)内的近似解．
设f (x )＝(15－2x )2x －150，
∵f (0)·f (1)＜0，f (4)·f (5)＜0，
∴函数f (x )在[0,1]和[4,5]内各有一个零点，
即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内各有一个解．
下面用二分法求出方程在(0,1)内的解，如下表：
∵∴可在区间[0.812 5，0.875]内取0.843 75作为函数零点的近似值．同理可得，在区间[4,5]内的近似值为4.7.
即方程(15－2x )2·x ＝150在[0,1]和[4,5]内解的近似值分别为0.8和4.7.
答：如果做成一个容积为150 c m 3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8 c m 或4.7 c m.。