【3套试卷】广州市中考一模数学试题及答案

中考一模数学试题及答案
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.-6的倒数是（）
A. 6
B.
C.
D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
4.如图所示的几何体的主视图是（）
A.
B.
C.
D.
5.反比例函数y=的图象经过点（3，-2），下列各点在此图象上的是（）
A. B. C. D.
6.不等式组的整数解的个数是（）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
7.分式方程=1的解是（）
A. B. C. D.
8.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互
垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同
一条直线上）（）
A. B. C. D.
9.如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交
CD于点F，则下列结论中一定正确的是（）
A. B. C. D.
10.甲、乙两人在笔直的公路上问起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人
原地体息已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时向t（分）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（）
A. 甲步行的速度为8米分
B. 乙走完全程用了34分钟
C. 乙用16分钟追上甲
D. 乙到达终点时，甲离终点还有360米
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11.在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列，行程最长，途经城
市和国家最多的一趟专列全程长1300km，将13000用科学记数法表示应为______ 12.函数中，自变量x的取值范国是______．
13.把多项式3x3-6x2+3x分解因式的结果是______．
14.计算的结果是______．
15.笔简中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1-10的号码，若从笔筒中
任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是______．
16.将抛物线y=（x+1）2-2向右平移1单位，得到的抛物线与y轴的交点的坐标是______．
17.一个扇形的面积为4πcm2，弧长为2πcm，则此扇形的圆心角为______度．
18.如图，直线AB与半径为4的⊙O相切于点C，点D在⊙O上，
连接CD，DE，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长为______．
19.已知：在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在直线AD上，连接BE，CE，若BE=AD，则
∠BEC的大小为______度．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，．将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到
△AB'C'（点B，C的对应点分别为点B′，C′），延长C′B′分别交AC，BC于点D，E，若DE=2，则AD的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
21.先化简，再求代数式÷的值，其中a=2cos30°．
四、解答题（本大题共6小题，共53.0分）
22.在6×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上
（1）在图中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点，连
接DE，并直接写出∠BED的度数．
23.为了增强学生的环保意识，某校团委组织了一次“环保知识”考试，考题共10题考试结
束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）“答对10题”所对应扇形的心角为______；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生参加这次“环保知识”考试，请你估计该校答对不少于8题的学生人数．
24.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD
的中点，连接BE，过点A作BC的平行线交BE的延长
线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中
四个三角形，使写出的每个三角形的面积等于△AEF面积的2倍．
25.在运动会前夕，光明中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买6个篮球和8个足球共
花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．
（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元；
（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1150元，则最多可购买多少个？
26.已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O
于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．
（1）如图1，求证：GD=GF；
（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB=PH，求∠ADF的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在上，连接DK，PC，D 交PC点N，连接MN，若AB=12，HM+CN=MN，求DK的长．
27.已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+b与x轴交于点A，与y轴
交于点C．经过点A，C的抛物线y=ax2+3ax-3与x轴的另一个交点为点B．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点D，E分别在线段AC，AB上，且BE=2AD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，且旋转角∠EDF=∠OAC，连接CF，求tan∠ACF的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当∠DFC=135°时，在线段AC的延长线上取点M，过点M作MN∥DE交抛物线于点N，连接DN，EM，若MN=DF，求点N的横坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：-6的倒数是-．
故选：D．
根据倒数的定义求解．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2.【答案】B
【解析】
解：A、（-a2）3=-a6，故此选项错误；
B、a2•a6=a8，正确；
C、4a2-2a2=2a2，故此选项错误；
D、a6÷a2=a4，故此选项错误；
故选：B．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】
解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.【答案】A
【解析】
解：几何体的主视图是：
故选：A．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5.【答案】A
【解析】
解：∵反比例函数y=的图象经过点（3，-2），
∴k=xy=3×（-2）=-6，
只有（-2，3）满足反比例函数y=的关系式，
∴选项A是正确的，
故选：A．
反比例函数y=的图象经过点（3，-2），可以确定k的值，确定反比例函数的关系式，再判断选项中的点的坐标哪一个满足关系式即可．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的关系式，明确反比例函数图象上点的纵横坐标的积等于常数k（定值）．
6.【答案】C
【解析】
解：，
解①得x＞-1，
解②得x≤3，
则不等式的解集是-1＜x≤3．
则整数解为0，1，2，3共有4个．
故选：C．
首先解每个不等式，然后确定两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数值即可．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，
大大小小解不了．
7.【答案】A
【解析】
解：=1，
去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：
（x+1）（x-2）+x=x（x-2），
x2-x-2+x=x2-2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
观察可得最简公分母是x（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
8.【答案】B
【解析】
解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴BC==，
故选：B．
根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EC，
∴△ADF∽△ECF，
∴=，
故选：B．
证明△ADF∽△ECF，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.【答案】D
【解析】
解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故选项A不合题意，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故选项B不合题意，
乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故选项C不合题意，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故选项D符合题意，故选：D．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】1.3×104
【解析】
解：13000=1.3×104，
故答案为：1.3×104
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≠6
【解析】
解：由题意得，x-6≠0，
解得x≠6．
故答案为：x≠6．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】3x（x-1）2
【解析】
解：原式=3x（x2-2x+1）=3x（x-1）2，
故答案为：3x（x-1）2
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】2
【解析】
解：原式=3-×2
=3-
=2．
故答案为：2．
首先化简二次根式进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
15.【答案】
【解析】
解：抽到编号是3的倍数的概率是，
故答案为：．
直接利用概率公式计算可得．∁
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
16.【答案】（0，-2）
【解析】
解：抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，-2），
把点（-1，-2）向右平移1个单位得到点的坐标为（0，-2），
所以平移后抛物线解析式为y=x2-2，
所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2）．
故答案为（0，-2）．
根据顶点式确定抛物线y=（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2），再利用点的平移得到
平移后抛物线的顶点坐标为（0，-2），于是得到移后抛物线解析式为y=x2-2，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，
即可求出解析式．
17.【答案】90
【解析】
解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r，
∵扇形的弧长为2π，面积为4π，
∴4π=×2πr，解得r=4．
∵=2π，
∴n=90°．
故答案为：90．
设扇形圆心角的度数为n，半径为r，再由扇形的面积公式求出r的值，根据弧长公式即可得出结论．
本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握所写的面积公式是解题的关键．
18.【答案】4
【解析】
解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC=30°，
∴∠COE=60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=×4=2，
∵EF=2EM，
∴EF=4．
故答案为4．
连接OC与OE．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知∠EOC的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径，可知OC⊥AB；又EF∥AB，可知OC⊥EF，最后由勾股定理可将EF的长求出．
本题主要考查切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】75或15
【解析】
解：分两种情况：
①当点E在线段AD上时，BE=AD，如图1所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=BE=2AB，∠BAE=90°，AD∥BC，
∴BE=2AB，∠BEC=∠BCE，∠CBE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴∠AEB=30°，
∴∠CBE=30°，
∴∠BEC=∠CBE=（180°-30°）=75°；
②点E在DA延长线上时，BE=AD，
如图2所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=BE=2AB，∠ABC=∠BAE=∠BAD=90°，
∴BE=2AB，∠BEC=∠BCE，
∴AB=BE，
∴∠AEB=30°，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBE=90°+60°=150°，
∴∠BEC=∠BCE=（180°-150°）=15°；
故答案为：75或15．
分两种情况：①当点E在线段AD上时，BE=AD，由矩形的性质得出BC=AD=BE=2AB，∠BAE=90°，AD∥BC，得出BE=2AB，∠BEC=∠BCE，∠CBE=∠AEB，
得出AB=BE，证出∠AEB=30°，得出∠CBE=30°，即可得出结果；
②点E在DA延长线上时，BE=AD，同①得出∠AEB=30°，由直角三角形的性质得出∠ABE=60°，求出∠CBE=90°+60°=150°，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
20.【答案】2
【解析】
解：过点E作EF⊥AC于点F，连接AE，
∵∠ABC=90°，
∴
设AB=x，BC=2x，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB'C'
∴AB=AB'=x，∠C=∠C'，∠BAB'=60°，
∵AB=AB'，AE=AE
∴Rt△ABE≌Rt△AB'E（HL）
∴∠BAE=∠B'AE=30°，且∠B=90°，
∴BA=BE=x，
∴BE=x，
∴EC=x，
∵=，且EC=x，
∴EF=
∵∠AB'D=∠EFD=90°，∠EDF=∠ADB'，
∴△EDF∽△ADB'
∴
∴
∴AD=2
故答案为：2
过点E作EF⊥AC于点F，设AB=x，BC=2x，由旋转的性质可得AB=AB'=x，∠C=∠C'，∠BAB'=60°，由“HL”可得Rt△ABE≌Rt△AB'E，可得∠BAE=∠B'AE=30°，可求BE=x，由锐角三角函数可得EF=，通过证明△EDF∽△ADB'，可得AD的长．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用参数解决问题是本题的关键．
21.【答案】解：原式=，
=，
=．
∵a=2×，
∴原式=．
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题
型．
22.【答案】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴∠BED=45°．
【解析】
（1）将线段AC沿着CB方向平移3个单位，即可得到线段BD；
（2）利用1×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．
本题主要考查了作图以及平行四边形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
23.【答案】108°
【解析】
解：（1）总人数=（5+8+12+15）÷（1-20%）=50，
“答对10题”所对应扇形的心角为；
（2））“答对9题”的人数=50×20%=10，
补全条形统计图如图：
（3）2000×，
所以估计该校答对不少于8题的学生人数为1480人．
故答案为：108°
（1）先得出总人数，进而利用圆心角的计算解答即可；
（2）得出D的人数，画出图形即可；
（3）根据用样本估计总体解答即可．
本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．24.【答案】证明：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，且∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF=DB
∵AD是BC边上的中线，
∴DB=DC
∴AF=DC
（2）△ACF，△ACD，△ADB，△AFB
理由如下：连接DF
∵AF=CD，AF=DB，AF∥BC
∴四边形ADCF是平行四边形，四边形ABDF是平行四边形
∴S△ABF=2S△AEF=S△ABD=S△ACD=S△ACF，
【解析】
（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE，然后利用AAS判定△AFE≌△DBE，可得AF=BD=CD；
（2）由题意可证四边形ADCF是平行四边形，四边形ABDF是平行四边形，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
25.【答案】解：（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元；
（2）设购买a个篮球，根据题意可得：0.9×150a+0.85×100（10-a）≤1150，
解得：a≤6，
答；最多可购买6个篮球．
【解析】
（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元列出方程组解答即可；
（2）设购买a个篮球，根据题意列出不等式解答即可．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据总费用作为不等关系列出不等式求解．
26.【答案】解：（1）证明：∵DE⊥AB
∴∠BED=90°
∴∠A+∠ADE=90°
∵∠ADC=90°
∴∠GDF+∠ADE=90°
∴∠A=∠GDF
∵=
∴∠A=∠GFD
∴∠GDF=∠GFD
∴GD=GF
（2）连接OD、OF
∵OD=OF，GD=GF
∴OG⊥DF，PD=PF
在△DPH和△FPB中
∴△DPH≌△FPB（SAS）
∴∠FBP=∠DHP=90°
∴∠GBH=90°
∴∠DGF=360°-90°-90°-90°=90°
∴∠GDF=∠DFG=45°
∴∠ADF=45°
（3）在Rt△ABH中，∵∠BAH=45°，AB=12
∴AH=BH=12
∴PH=PB=6
∵∠HDP=∠HPD=45°
∴DH=PH=6
∴AD=12+6=18，PN=HM=PH=3，PD=6
∵∠BFE=∠EBF=45°
∴EF=BE
∵∠DAE=∠ADE=45°
∴DE=AE
∴DF=AB=12
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠DAB+∠BCD=180°
∴∠BCD=135°
∴∠BCG=45°=∠CBG
∴GC=GB
又∵∠CGP=∠BGP=45°，GP=GP
∴△GCP≌△GBP（SAS）
∴∠PCG=∠PBG=90°
∴∠PCD=∠CDH=∠DHP=90°
∴四边形CDHP是矩形
∴CD=HP=6，PC=DH=6，∠CPH=90°
令CN=m，则PN=6-m，MN=m+3
在Rt△PMN中，∵PM2+PN2=MN2
∴32+（6-m）2=（m+3）2，解得m=2
∴PN=4
过点N作NS⊥DP于S，
在Rt△PSN中，PS=SN=2
DS=6-2=4
tan∠SDN===
连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F作FR⊥DK交DK的延长线于点R 在Rt△DFQ中，FQ=DQ=12
∴AQ=18-12=6
∴tan∠FAQ===2
∵四边形AFKD内接于⊙O，
∴∠DAF+∠DKF=180°
∴∠DAF=180°-∠DKF=∠FKR
在Rt△DFR中，∵DF=12，tan∠FDR=
∴FR=，DR=
在Rt△FKR中，∵FR=tan∠FKR=2
∴KR=
∴DK=DR-KR==．
【解析】
（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A=∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A=∠GDF，等量代换得∠GDF=∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD=GF；
（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH=90°，由四边形内角和为360°可得：∠G=90°，即可得：∠ADF=45°；
（3）由等腰直角三角形可得AH=BH=12，DF=AB=12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG=45°=∠CBG，GC=GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN=m，利用勾股定理可求得m=2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD 于点Q，过点F作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．
本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．
27.【答案】解：（1）y=ax2+3ax-3，当x=0，y=-3，故点C（0，-3），
将点C的坐标代入直线表达式并解得：b=-3，
则直线AC的表达式为：y=-x-3，则点A（-4，0），
将点A的坐标代入二次函数表达式并解得：a=；
（2）在直线AC上取点G使DG=AE，连接FG，过点F作FH⊥AC，
∵∠FDC+∠FDE=∠BAC+∠AED，而∠BAC=∠EDF，
∴∠FDH=∠AED，
而DG=AE，DF=DE，
∴△ADE≌△GFD，
∴AD=GF，
∵AB=AC=5，BE=2AD，
∴AD=GF=CG，
∵tan∠BAC=，设FH=3m，则HG=4m，FG=5m=GC，
tan∠ACF=；
（3）如图3，过点D作DR⊥FC交FC的延长线于点R，过点F作FH⊥CD交于点H，
由（2）知tan∠ACF=，
在Rt△CDR中，设DR=t，则CR=3t，CD=10t，
∵∠DFC=135°，则△DFR是等腰直角三角形，则FR=DR=t，
CF=CR-CF=2t，
在Rt△FHC中，tan∠ACF=，
则FH=2t，CH=6t，DH=CD-CH=10t-6t=4t，
则tan∠FDH===tan∠AED，
在Rt△ADT中，tan∠BAC=，
设：DT=3n，则AT=4n，AD=5n，
在Rt△DTE中，tan∠AED=，
则ET=2DT=6n，BE=2AD=10n，
∵AT+TE+BE=AB，即4n+6n+10n=5，
解得：n=，
则ET=，DT=；
∵MN=EF=DE，且MN∥DE，
∴四边形MNDE为平行四边形，∴∠DEM=∠DNM，
过点N作x轴的平行线交直线AC于点K，过点M作MS⊥NK于点S，则∠AEM=∠KND，∴∠TED=∠MNS，
而MN=DE，∠ETD=∠MSN=90°，
∴△DET≌△MSN（AAS），
∴MS=DT=，NS=ET=，
设点M（x，-x-3），则点N（x-，--），
将点N的坐标代入二次函数表达式得：
--=（x-）2+（x-）-3，
解得：x=（舍去负值），
故点N的横坐标为：．
【解析】
（1）求出点A（-4，0），将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）证明△ADE≌△GFD，即可求解；
（3）证明△DET≌△MSN（AAS），则MS=DT=，NS=ET=，设点M（x，-x-3），则点N（x-，--），将点N的坐标代入二次函数表达式，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、三角形全等等，其中（3），关键是用几何方法求出ET、DT的长度，进而求解．
中考第一次模拟考试数学试卷含答案(1)
一．选择题（共10小题）
1．有理数﹣2的绝对值是（）
A．2 B．﹣2 C．D．
2．下列运算正确的是（）
A．2x+3y＝5xy B．（x+3）2＝x2+9
C．（xy2）3＝x3y6D．x10÷x5＝x2
3．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）
A．92°B．98°C．102°D．108°
4．下列说法正确的是（）
A．了解“乐山市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查B．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S＞S，则甲的成绩比乙稳定C．一口袋中装有除颜色外其余均相同的红色小球2个，蓝色小球1个，从中随机一次性摸出2个小球，则恰好摸到同色小球的概率是
D．“任意画一个三角形，其内角和是360°”这一事件是不可能事件
5．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（）
A．B．
C．D．＝
6．已知关于x的不等式组只有2个整数解，则m的取值范围为（）
A．m＞4 B．4＜m＜5 C．4≤m＜5 D．4＜m≤5
7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
8．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'＝1，则A'D等于（）
A．2 B．3 C．D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（）
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
10．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（）
A．B．3 C．D．5
二．填空题（共6小题）
11．要使二次根式有意义，则x的取值范围是．
12．地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为km．13．分解因式：x3﹣4x＝．
14．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形（阴影部分），则此扇形的面积为m2．
15．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．
16．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y ＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣a）2+b经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）写出点M（2，3）任意两条特征线为；
（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，则此抛物线的解析式为．
三．解答题（共10小题）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中x的值是方程x2+2x＝0的根．
19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE 的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若BA⊥AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
20．为调查我市民上班时最常用的交通工具的情况随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车；E．其他”中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整计图，请结合统计图回答下列问题：（1）本次一共调查了名市民；扇形统计图中B项对应的圆心角是度；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
22．某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在水平地面上BD 上，在C点测得点A的仰角为30°，斜面EC的坡度为1：，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米，求立柱CD的高（结果保留根号）．
23．如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，且CB⊥AB．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标：
（2）求tan C的值和△ABC的面积．
24．如图所示，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，OG的延长线交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线：
（2）⊙O的半径为10，tan A＝，求BF的长．
25．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
26．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．有理数﹣2的绝对值是（）
A．2 B．﹣2 C．D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：A．
2．下列运算正确的是（）
A．2x+3y＝5xy B．（x+3）2＝x2+9
C．（xy2）3＝x3y6D．x10÷x5＝x2
【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，以及合并同类项的法则解答即可．【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、（x+3）2＝x2+6x+9，错误；
C、（xy2）3＝x3y6，正确；
D、x10÷x5＝x5，错误；
故选：C．
3．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）
A．92°B．98°C．102°D．108°
【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝52°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝98°．
【解答】解：如图，∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝52°，
又∵∠4＝30°，。