立体几何内容剖析与学生存在的问题及分析
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立体几何
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立体几何知识结构图
分类 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球
空间几 三视图及直观图 画及还原
何体 面积与体积 7个面积3个体积
线 线
立 体 几 何
点线 面位 置关 系
平面 线线
线面 面面
4公理3推论 平行与垂直 平行与垂直（2判定+2性质） 平行与垂直（2判定+2性质）
线 面 面
面
线线角
c os s1 s2
s1 s2
空间角 线面角
sin s n
sn
空间 向量
面面角
c os n1 n2
n1 n2
概念与运算
全国考试大纲和考试说明，要点如下. 立体几何初步（文理要求相同）： （1）空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； 三视图与直观图； 球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（公式要求记忆）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题. 空间向量与立体几何（理科要求）： 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理及夹角 的计算问题.
高中立体几何课程的核心内容（必备知识）： 认识空间图形 了解表面积与体积的计算方法 直观认识和理解空间点、线、面的位置关系 学会运用空间向量解决有关直线、平面位置关系问题
学科核心价值（关键能力、学科素养）： 空间想象能力（直观想象） “想” 推理论证能力（逻辑推理、数学运算）“证、算”
（一）平行与垂直的证明
（二）空间角及点面距离的计算
• 复习定位：中等偏难；理科解答题求空间角一般使用建系法解题， 建系写坐标、耐心演算、有信心得高分；用几何定义来研究空间 角的题目如果是选填题的压轴题一般难度大．
• 复习策略：理科解答题中求角，关键在合理建系、并准确计 算．要及时检查、确保步步准确，忌盲目书写演算．小题若处压 轴题位置，解题时都必须根据已知条件，通过想象将文字语言和 符号语言转化为图形语言，从而得到图形中几何元素的位置关系 和数量关系。文科不要涉及空间角和繁琐的推理证明，不要拔高 也不必讲解空间向量处理问题；理科倾向于空间向量的应用，必 要的逻辑推理是需要的!
ห้องสมุดไป่ตู้
（五）三视图
这部分内容主要考查以下两个方面的内容： 一是几何体三视图的识别与判断； 二是简单几何体（包括简易组合体）的三视图与几何体的表面 积、体积的求解问题。
复习定位：线面位置关系的研究是立体几何的基础，是人人需要 过关的． 复习策略：难度中等，题（Ⅰ）一定要得分；对平面几何知识的 要求较高，认识空间图形，想象出空间图形中线面的位置关系， 线面位置关系的研究方法有几何法、（基底）向量法，尤其是向 量法，学生比较不熟悉，要多引导和练习.
（二）空间角及点面距离的计算
（三）多面体与球的切接
●教材对球体的介绍比较简单，和以前相比也删减了 一些内容，降低了要求。但近几年的高考对球体的 考查出现频率比较高，而且有一定的综合性，我们 对球体的学习要适当补充，包括球体的截面性质、 球体与柱体和锥体的组合等。
模型研究 ——以长方体为基础的特殊几何体的外接球的球心
DD''
加强利用模型化、向量化、坐标化解决问题的意识。
（四）几何作图问题
【 2015 年课 标卷 Ⅱ 理 19 】如 图， 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中， AB=16 ， BC=10 ， AA1 8 ，
D1 F
点 E ，F 分别在 A1B1 ，C1D1 上，A1E D1F 4 ．过 点 E ，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成
C'C' A' A'
A'
A'A'
BB' '
D
D
CA
D
C
C
B
D
AD
B CA
BA
B
A
AB'
A'
18:58:35
D A
C D
A
C B
（三）多面体与球的切接
● 一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算。 ● 二是考查球与多面体的相切接，较好地考查了学生的空间想象能力、
推理论证能力和运算求解能力。
● 复习定位：变数大，选择前8的位置、填空前2的位置有信心拿下。 ● 复习策略：努力画出图形，联系以往的解题经验探索解题路径，
• 新课标Ⅰ卷对立体几何解答题的考查，一般分成两部分，前一 部分主要考查空间中点、线、面的位置关系。后一部分理科主 要考查空间角的计算问题，全国新课标Ⅰ卷特别青睐二面角的 考查，理科2011—2017这七年中有5年都考查了二面角问题, 这两年才考线面角。而文科第（2）问一般研究几何体的体积 或点面距，通过计算发现垂直关系、进而证明线面垂直找到几 何体的高，当然也注意高、底面、等积的转换．
（五）三视图
2019年以前新课标卷每年都考查三视图问题，从考查形式 来看,以选择题、填空题为主。对有关三视图试题进行分析，可 以感受到全国新课标卷重视对空间想象能力的考查。这部分内 容主要考查以下两个方面的内容： 一是几何体三视图的识别与判断； 二是简单几何体（包括简易组合体）的三视图与几何体的表面 积、体积的求解问题。
点评：这是信息丰富、很重基础的好题 。 据已知，侧面是腰长为 6 全等的等腰 直角三角形，底面是边长 6 2 的 等边三角形，点 D 底面中心， 侧棱垂直于相对侧面。
（四）几何作图问题
• 复习定位：以作图、说明作法和理由的命题方式值得我们关注， 它丝毫没有降低学生对直观想象素养的考查。
• 复习策略：从学以致用、多思少算这个角度看，几何作图题是有 生命力的，有必要加强这方面的训练：一是作图；二是说明作法； 三是说明理由。
A1
E
一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法
D
和理由）；
A
（Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值．
C1 B1
C B
分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面 与长方体的面的交
线，难点是要通过一定的计算知道平面 与长方体的面的交线是落在哪
个面上．
18:58:35
2016 课标 1 文 18.如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角 形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的 正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明 G 是 AB 的中点； （II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由）， 并求四面体 PDEF 的体积．
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立体几何知识结构图
分类 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球
空间几 三视图及直观图 画及还原
何体 面积与体积 7个面积3个体积
线 线
立 体 几 何
点线 面位 置关 系
平面 线线
线面 面面
4公理3推论 平行与垂直 平行与垂直（2判定+2性质） 平行与垂直（2判定+2性质）
线 面 面
面
线线角
c os s1 s2
s1 s2
空间角 线面角
sin s n
sn
空间 向量
面面角
c os n1 n2
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概念与运算
全国考试大纲和考试说明，要点如下. 立体几何初步（文理要求相同）： （1）空间几何体 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； 三视图与直观图； 球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（公式要求记忆）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题. 空间向量与立体几何（理科要求）： 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理及夹角 的计算问题.
高中立体几何课程的核心内容（必备知识）： 认识空间图形 了解表面积与体积的计算方法 直观认识和理解空间点、线、面的位置关系 学会运用空间向量解决有关直线、平面位置关系问题
学科核心价值（关键能力、学科素养）： 空间想象能力（直观想象） “想” 推理论证能力（逻辑推理、数学运算）“证、算”
（一）平行与垂直的证明
（二）空间角及点面距离的计算
• 复习定位：中等偏难；理科解答题求空间角一般使用建系法解题， 建系写坐标、耐心演算、有信心得高分；用几何定义来研究空间 角的题目如果是选填题的压轴题一般难度大．
• 复习策略：理科解答题中求角，关键在合理建系、并准确计 算．要及时检查、确保步步准确，忌盲目书写演算．小题若处压 轴题位置，解题时都必须根据已知条件，通过想象将文字语言和 符号语言转化为图形语言，从而得到图形中几何元素的位置关系 和数量关系。文科不要涉及空间角和繁琐的推理证明，不要拔高 也不必讲解空间向量处理问题；理科倾向于空间向量的应用，必 要的逻辑推理是需要的!
ห้องสมุดไป่ตู้
（五）三视图
这部分内容主要考查以下两个方面的内容： 一是几何体三视图的识别与判断； 二是简单几何体（包括简易组合体）的三视图与几何体的表面 积、体积的求解问题。
复习定位：线面位置关系的研究是立体几何的基础，是人人需要 过关的． 复习策略：难度中等，题（Ⅰ）一定要得分；对平面几何知识的 要求较高，认识空间图形，想象出空间图形中线面的位置关系， 线面位置关系的研究方法有几何法、（基底）向量法，尤其是向 量法，学生比较不熟悉，要多引导和练习.
（二）空间角及点面距离的计算
（三）多面体与球的切接
●教材对球体的介绍比较简单，和以前相比也删减了 一些内容，降低了要求。但近几年的高考对球体的 考查出现频率比较高，而且有一定的综合性，我们 对球体的学习要适当补充，包括球体的截面性质、 球体与柱体和锥体的组合等。
模型研究 ——以长方体为基础的特殊几何体的外接球的球心
DD''
加强利用模型化、向量化、坐标化解决问题的意识。
（四）几何作图问题
【 2015 年课 标卷 Ⅱ 理 19 】如 图， 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中， AB=16 ， BC=10 ， AA1 8 ，
D1 F
点 E ，F 分别在 A1B1 ，C1D1 上，A1E D1F 4 ．过 点 E ，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成
C'C' A' A'
A'
A'A'
BB' '
D
D
CA
D
C
C
B
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AD
B CA
BA
B
A
AB'
A'
18:58:35
D A
C D
A
C B
（三）多面体与球的切接
● 一是考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算。 ● 二是考查球与多面体的相切接，较好地考查了学生的空间想象能力、
推理论证能力和运算求解能力。
● 复习定位：变数大，选择前8的位置、填空前2的位置有信心拿下。 ● 复习策略：努力画出图形，联系以往的解题经验探索解题路径，
• 新课标Ⅰ卷对立体几何解答题的考查，一般分成两部分，前一 部分主要考查空间中点、线、面的位置关系。后一部分理科主 要考查空间角的计算问题，全国新课标Ⅰ卷特别青睐二面角的 考查，理科2011—2017这七年中有5年都考查了二面角问题, 这两年才考线面角。而文科第（2）问一般研究几何体的体积 或点面距，通过计算发现垂直关系、进而证明线面垂直找到几 何体的高，当然也注意高、底面、等积的转换．
（五）三视图
2019年以前新课标卷每年都考查三视图问题，从考查形式 来看,以选择题、填空题为主。对有关三视图试题进行分析，可 以感受到全国新课标卷重视对空间想象能力的考查。这部分内 容主要考查以下两个方面的内容： 一是几何体三视图的识别与判断； 二是简单几何体（包括简易组合体）的三视图与几何体的表面 积、体积的求解问题。
点评：这是信息丰富、很重基础的好题 。 据已知，侧面是腰长为 6 全等的等腰 直角三角形，底面是边长 6 2 的 等边三角形，点 D 底面中心， 侧棱垂直于相对侧面。
（四）几何作图问题
• 复习定位：以作图、说明作法和理由的命题方式值得我们关注， 它丝毫没有降低学生对直观想象素养的考查。
• 复习策略：从学以致用、多思少算这个角度看，几何作图题是有 生命力的，有必要加强这方面的训练：一是作图；二是说明作法； 三是说明理由。
A1
E
一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法
D
和理由）；
A
（Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值．
C1 B1
C B
分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面 与长方体的面的交
线，难点是要通过一定的计算知道平面 与长方体的面的交线是落在哪
个面上．
18:58:35
2016 课标 1 文 18.如图，在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角 形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的 正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明 G 是 AB 的中点； （II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由）， 并求四面体 PDEF 的体积．