山东省青岛市初级中学学业水平考试数学试题

山东省青岛市初级中学学业水平考试
数学试题
座号
（考试时间： 120 分钟；满分： 120 分）
三
四
共计 复核
共计
题号
一 二
人
人
15
16 17 18 19 20 21 22 23 24
得分
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
1．请务必在指定地点填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．
2．本试题共有 24 道题．此中 1— 8 题为选择题，请将所选答案的标号填写在第 8 题后
面给出表格的相应地点上； 9— 14 题为填空题，请将做出的答案填写在第 14 题后边给出表
格的相应地点上； 15— 24 题，请在试题给出的此题地点上做答．
得 分
评卷人
复核人
24 分，共有 8 道小题，每题 3 分）
一、选择题（此题满分
以下每题都给出标号为 A 、B 、 C 、 D 的四个结论，此中只有一个是正确的．每题选
对得分；不选、选错或选出的标号超出一个的不得分．请将 1—8 各小题所选答案的标号填
写在第 8 小题后边给出表格的相应地点上．
1．以下各数中，相反数等于
5 的数是（
）．
A ．－ 5
B ． 5
C ．－ 1
D ．
1
5
5
2．以下图的几何体的俯视图是（
）．
A ．
B ．
C ．
D ．
第2题图
3．由四舍五入法获取的近似数8.8 ×10
3
，以下说法中正确的选项是（
）．
A ．精准到十分位，有 2 个有效数字
B ．精准到个位，有 2 个有效数字
C ．精准到百位，有 2 个有效数字 D
．精准到千位，有 4 个有效数字
4．以下图形中，中心对称图形有（
）．
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
5．某外贸企业要出口一批规格为
150g 的苹果，现有两个厂家供给货源，它们的价钱相同，
苹果的质量也邻近 .
质检员分别从甲、 乙两厂的产品中随机抽取了
50 个苹果称重， 并将
所得数据办理后，制成以下表格 . 依据表中信息判断，以下说法错误的选项是（
）．
A ．本次的检查方式是抽样检查 个数
均匀 质量的方差
质量（ g ） B ．甲、乙两厂被抽取苹果的均匀质量相同
甲厂 50
150
2.6 C ．被抽取的这 100 个苹果的质量是本次检查的样
乙厂
50
150
3.1
本
D ．甲厂苹果的质量比乙厂苹果的质量颠簸大 6．如图，在 Rt △ 中，∠ C = 90°，∠ B = 30°， BC = 4 cm ，以点 C 为圆心，以 2 cm 的
ABC
长为半径作圆，则⊙ C 与 AB 的地点关系是（ ）．
A ．相离
B ．相切
C ．订交
D ．相切或订交
7 y
A
A
6
5 4
3
B
2
B
C
第6题图
1
C
-5 -4 -3 -2 -1O
1 2 3 4 5 x
第7题图
7．如图，△ ABC 的极点坐标分别
为
A （ 4，6）、
B （ 5， 2）、
C （ 2， 1），假如将△ ABC 绕点 C
按逆时针方向旋转 90°，获取 △ A'B'C ，那么点 A 的对应点 A'的坐标是（ ）．
A ．（－ 3， 3）
B ．（3，－ 3）
C ．（－ 2， 4）
D ．（ 1， 4）
8．函数 y ax a 与 y
a
（ a ≠ 0）在同向来角坐标系中的图象可能是（
）．
x
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O x
A ．
B ．
C ．
D ．
请将 1— 8 各小题所选答案的标号填写在下表的相应地点上：
题 1
2
3
4
5
6
7
8
号
答 案
得 分
评卷人
复核人
二、填空题（此题满分 18 分，共有
6 道小题，每题 3 分） 请将 9—14 各小题的答案填写在第 14 小题后边给出表格的
相应地点上． 9．化简： 48 3
．
B
C
10．如图，点 A 、B 、C 在⊙ O 上，若∠ BAC = 24°，则∠ BOC =
°．
A
·
O
第 10题图
11．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，此后每日的工效比原计划增添20%，结果共用 30 天达成这一任务．求原计划每日铺设管道的长度．假如设原计划每日铺设x m 管道，那么依据题意，可得方程．
12．一个口袋中装有10 个红球和若干个黄球．在不一样意将球倒出来数的前提下，为预计口
袋中黄球的个数，小明采纳了以下的方法：每次先从口袋中摸出10 个球，求出此中红球数与 10 的比值，再把球放回口袋中摇匀．不停重复上述过程20 次，获取红球数与
10 的比值的均匀数为0.4 ．依据上述数据，预计口袋中大概有个黄球．13．把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使极点 B 和点D 重合，折痕为．若
ABCD EF AB = 3 cm， BC = 5 cm，则重叠部分△ DEF的面积是cm 2．
A'
A E D（B'）
B F C
第 13题图第 14题图
14．如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要7 枚棋子，摆第 2 个图案需要19 枚棋子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，依据这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要枚棋子，摆第n 个图案需要枚棋子．
请将 9— 14 各小题的答案填写在下表的相应地点上：
题号9 10 11
答案
题号12 13 14
答案
得分评卷人复核人
三、作图题（此题满分 4 分）
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保存作图印迹．
15．如图，有一块三角形资料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
解：
A
B C
结论：
四、解答题（此题满分74 分，共有9 道小题）
得分评卷人复核人
16．（本小题满分8 分，每题 4 分）
3x 4 y 19
；（ 2）化简：2a 1
．
（1）解方程组：
2
x y 4 2 a
a 4
解：解：原式＝
得分评卷人复核人
17．（本小题满分6 分）
配餐企业为某学校供给A、 B、C 三类午饭供师生选择，三类午饭每份的价钱分别是：A
餐 5元，B餐6 元， C餐8元．为做好下阶段的营销工作，配餐企业依据该校上周A、B、C 三类午饭购置状况，将所得的数据办理后，制成统计表（以下左图）；依据过去销售量与平
均每份收益之间的关系，制成统计图（以下右图）.
过去销售量与均匀每份收益之间的关系统计图该校上周购置状况统计表均匀每份的收益（元）
种类数目（份）
4 A 3.5
B
A 1000
3
2.5 C
B 1700 2
1.5
C 400 1
0.5
300 ～800 800～1200 1200 及一周销售量（份）
( 不含 800) (不含 1200) 1200 以上
请依据以上信息，解答以下问题： （ 1）该校师生上周购置午饭花费的众数是 元；
（ 2）配餐企业上周在该校销售 B 餐每份的收益大概是
元；
（ 3）请你计算配餐企业上周在该校销售午饭约盈余多少
元？解：（3）
得 分评卷人复核人
18．（本小题满分 6 分）
“五·一”时期，某书城为了吸引读者，建立了一个能够自
由转动的转盘（如图，转盘被均匀分红12
份），并规定：读者每
绿
红
购置 100 元的书，便可获取一次转动转盘的时机，假如转盘停止
后，指针正好瞄准红色、黄色、绿色地区，那么读者就能够分别
绿
获取 45 元、 30 元、 25 元的购书券，凭购书券能够在书城持续购 绿
书．假如读者不肯意转转盘，那么能够直接获取
10 元的购书券．
黄 黄
（ 1）写出转动一次转盘获取 45 元购书券的概率；
（ 2）转转盘和直接获取购书券，你以为哪一种方式对读者更合
第 18题图
算？请说明原因． 解：（1）
（ 2）
得 分 评卷人 复核人
19．（本小题满分 6 分）
小明家所在居民楼的对面有一座大厦
AB ， AB ＝ 80米．为丈量这座居民楼与大厦之间的
距离，小明从自己家的窗户
C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37°，大厦底部 B 的俯角为 48°．求
小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度．（结果保存整数）
A
（参照数据： sin37
o
3
， tan37o
3
， sin 48o
7
， tan48o 11 ）
5
4 10 10
解：
37°
D
48°
C
B
第19题图
得分评卷人复核人
20．（本小题满分8 分）
某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若独自租用35 座客车若干辆，则恰巧坐满；若独自租用55 座客车，则能够少租一辆，且余45 个空座位．
（ 1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（ 2）已知 35 座客车的租金为每辆320 元， 55 座客车的租金为每辆400 元．依据租车资本不超出1500 元的估算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（能够坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
解：（1）
（2）
得分评卷人复核人
21．（本小题满分8 分）
已知：如图，在正方形ABCD中，点 E、 F 分别在 BC和 CD上， AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连结AC交EF于点O，延伸OC至点M，使OM= OA，连结EM、FM．判断四边形AEMF 是什么特别四边形？并证明你的结论．
证明：（ 1）（2）A D
F
O
B E C
第 21题图
M
得分评卷人复核人
22．（本小题满分10 分）
某市政府鼎力扶助大学生创业．李明在政府的扶助下投资销售一种进价为每件20 元的
y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的
护眼台灯．销售过程中发现，每个月销售
量
看作一次函数：y10x500 ．
w（元），当销售单价定为多少元时，每个月可获取最大利（ 1）设李明每个月获取收益
为
润？
（ 2）假如李明想要每个月获取2000 元的收益，那么销售单价应定为多少元？
（ 3）依据物价部门规定，这类护眼台灯的销售单价不得高于32元，假如李明想要每个月获取的收益不低于 2000 元，那么他每个月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
解：（1）
（2）
（3）
得分评卷人复核人
23．（本小题满分10 分）
问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面以致于服饰面料设计中随地可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，关于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形
的镶嵌问题．今日我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出此中几个问题，共同
．．．．
来研究 .
我们知道，能够独自用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用
正方形镶嵌平面，能够发此刻一个极点O四周环绕着4个正方形的内角. O 试想：假如用正六边形来镶嵌平面，在一个极点四周应当环绕着个
正六边形的内角．
问题提出
假如我们要同时用两种不一样的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不一样的组合方案？
问题解决
猜想 1：能否能够同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
剖析：我们能够将此问题转变为数学识题来解决．从平面图形的镶嵌中能够发现，解决
问题的重点在于剖析能同时用于完好镶嵌平面的两种正多边形的内角特色．详细地说，就是在镶嵌平面时，一个极点四周环绕的各个正多边形的内角恰巧拼成一个周角．
考证 1：在镶嵌平面时，设环绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角能够拼成一个周角．依据题意，可得方程：
8 2 180
3 y 8 ，
90x
8
y 360 ，整理得： 2 x
我们能够找到唯一一组合适方程的正整数解为x 1
．y 2
结论 1：镶嵌平面时，在一个极点四周环绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角能够拼成一个周角，因此同时用正方形和正八边形两种正多边形组合能够进行平面镶嵌．猜想 2：能否能够同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，
请依据上述方法进行考证，并写出全部可能的方案；若不可以，请说明原因．
考证 2：
结论 2：
．
上边，我们研究了同时用两种不一样的正多边形组合镶嵌平面的部分状况，
部分组合方案，相信同学们用相同的方法，必定会找到其余可能的组合方案．
问题拓广
只是获取了一
请你模仿上边的研究方式，研究出一个同时用三种不一样的正多边形组合进行平面镶嵌
的方案，并写出考证过程．
猜想3：.
考证 3：
结论 3：
.
得分评卷人复核人
24．（本小题满分12 分）
已知：把 Rt△ABC和 Rt△DEF按如图（ 1）摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、C（ E）、F 在同一条直线上．∠ACB =∠ EDF = 90°，∠ DEF = 45°， AC = 8 cm， BC = 6 cm， EF = 9 cm．
如图（ 2），△DEF从图（ 1）的地点出发，以 1 cm/s 的速度沿CB向△ABC匀速挪动，在△挪动的同时，点P 从△的极点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿BA 向点 A 匀速挪动 .
DEF ABC
当△ DEF的极点 D挪动到 AC边上时，△ DEF停止挪动，点P也随之停止挪动．DE与 AC订交
于点 Q，连结 PQ，设挪动时间为 t （s）（0＜ t ＜4.5）．解答以下问题：
（ 1）当t为什么值时，点A 在线段 PQ的垂直均分线上？
2
（ 2）连结PE，设四边形APEC的面积为y（ cm），求y与t之间的函数关系式；能否存在某一时辰 t ，使面积 y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明原因．（ 3）能否存在某一时辰t ，使 P、Q、 F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明原因．（图（ 3）供同学们做题使用）
A A
D D
P
Q
B C（ E） F B E
C F
图（ 1）图（ 2）
解：（1）
（2）
（3）
A
B C
图（ 3）
（用圆珠笔或钢笔绘图）真情提示：亲爱的同学，请仔细检查，不要漏题哟！
二○一○年山东省青岛市初级中学学业水平考试
数学试题参照答案及评分标准
说明：
1．假如考生的解法与本解法不一样，可参照本评分标准拟订相应评分细则．
2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，假如这一步此后的解答未改
变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后边部分的给分，但不得超事后边部分应给分数的一半；假如这一步此后的解答有较严重的错误，就不给分．
3．为阅卷方便，本解答中的计算步骤写得较为详尽，但同意考生在解答过程中，合理
省略非重点性的计算步骤．
4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（此题满分24 分，共有8 道小题，每题 3 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C D B A D 二、填空题（此题满分18 分，共有 6 道小题，每题 3 分）
题号9 10 11
120 300 120 x 1 30
答案 3 3 48
20% x
或 120 180 30
x 1.2 x
题号12 13 14
答案15 5.1 127 3n2 3n 1
三、作图题（此题满分 4 分）
15．正确画出两条角均分线，确立圆心；········ 2 分确立半径；········ 3 分正确画出圆并写出结论．········ 4 分
四、解答题（此题满分
16．（本小题满分 8 分）
74 分，共有9 道小题）
3x 4 y 19 ①
（ 1）
y
4
x ②
解：②× 4 得： 4x 4y 16 ，③ ①＋③得： 7x = 35 ，
解得： x = 5.
把 x = 5 代入②得， y = 1.
∴原方程组的解为
x 5
········· 4 分
y .
1
（2）解：原式 =
2a
1
2 a
2 a 2
a
2a
a 2 a 2 a 2 a 2
a 2
2a a 2 a
2 a 2
a 2 a 2 a 2
1
.
········ 4 分
a 2
17．（本小题满分 6 分）
解：（1） 6 元；
········ 2 分 （2）3 元；
········ 4 分
（ 3）1.5 ×1000＋ 3×1700＋ 3× 400 = 1500 ＋5100＋ 1200 = 7800 （元） .
答：配餐企业上周在该校销售午饭约盈余 7800 元．
········ 6 分
18．（本小题满分 6 分）
解：（1） P （获取 45 元购书券） = 1 ；
········ 2 分
12
（2） 45
1
2
25
3 （元） .
30
12 15
12
12
∵ 15 元＞ 10 元， ∴转转盘对读者更合算．
········ 6 分
19．（本小题满分 6 分）
A
解：设 CD = x ．
在 Rt △ACD 中， tan37
AD ，
CD
37° D
则
3
AD ， 48° 4 x C
∴ AD 3
x .
4
B
第 19题图
在 Rt △ BCD 中， tan48 ° =
BD
，
CD
则11 BD ， 10 x
11 ∴
BD
x . 4
10
分
∵ AD ＋ BD = AB ， ∴ 3
x 11 x 80 ．
4 10 解得： x ≈ 43．
答：小明家所在居民楼与大厦的距离
CD 大概是 43 米．
6
分
20．（本小题满分 8 分）
解：（1）设独自租用 35 座客车需 x 辆，由题意得：
35 x 55( x 1) 45 , 解得： x 5 .
∴ 35x 35 5 175（人） .
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为
175 人． ········· 3 分 （ 2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（ 4
y ）辆，由题意得：
35y 55(4 y) ≥ 175
，
320 y
400(4 y) ≤ 1500
解这个不等式组，得 1 1
≤ y ≤ 2 1 ．
4 4
∵ y 取正整数，
∴ y = 2.
∴ 4－ y = 4 － 2 = 2.
∴ 320× 2＋ 400×2 = 1440 （元） .
因此本次社会实践活动所需车辆的租金为
21．（本小题满分 8 分 )
证明：（ 1）∵四边形
ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ AD , ∠B = ∠ D = 90°． ∵AE = AF ，
∴ Rt △ABE ≌ Rt △ADF ． ∴ BE ＝ DF ．
（ 2）四边形 AEMF 是菱形．∵
四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ BCA = ∠ DCA = 45 °， BC = DC ． ∵ BE ＝DF ，
∴ BC －BE = DC －DF . 即 CE CF ．
∴ OE OF ． ∵ OM = OA ，
∴四边形 AEMF 是平行四边形．
∵ AE = AF ，
·······
6 分
1440 元．
········ 8 分
········ 4 分
A D F
O
B E
C
第 21题图
M
∴平行四边形AEMF是菱
形．········8 分
22．（本小题满分 10 分）
解：（1）由题意，得：w = ( x－ 20) ·y
=( x－ 20) · ( 10x 500)
2
10000
10x 700 x
b
x 35 .
2a
答：当销售单价定为35 元时，每个月可获取最大收益．········ 3 分（ 2）由题意，得：10x2 700 x 10000 2000
解这个方程得： x1= 30， x2= 40．
答：李明想要每个月获
取2000 元的收益，销售单价应定为30 元或 40 元.
(6)
分法二：∵ a 10 ，
（ 3）法一：∵ a 10 ，∴抛物线张口向下 .
∴抛物线张口向下 . ∴当 30≤x≤ 40 时， w≥ 2000．
∴当 30≤x≤ 40 时，w≥ 2000．∵ x≤ 32，
∵ x≤32，
∴当 30≤x≤ 32 时，w≥ 2000．设成本为 P（元），由题意，得：P 20( 10x500) ∴30≤ x≤32 时， w≥ 2000．
∵ y10x 500 ，k 10 0
，∴y 随 x 的增大而减小 .
∴当 x = 32 时， y 最小＝ 180.
200x 10000 ∵ 当进价一准时，销售量越小，∵ k 200 ，
成本越小，
∴ P随 x 的增大而减小.
∴ 20 180 3600 （元）.
∴当 x = 32 时， P 最小＝3600.
答：想要每个月获取的收益不低于2000 元，每个月的成本最少
为3600 元．
·········10 分
23．（本小题满分 10 分）
解：3个；········ 1 分考证 2：在镶嵌平面时，设环绕某一点有 a 个正三角形和 b 个正六边形的内角能够
拼
成一个周角．依据题意，可得方程：
60a 120b360 ．
整理得： a 2b 6 ，
能够找到两组合适方程的正整数解为a 2 和 a 4
．·······3分b 2b 1
结论 2：镶嵌平面时，在一个极点四周环绕着 2 个正三角形和 2 个正六边形的内角
或
者环绕着 4 个正三角形和 1 个正六边形的内角能够拼成一个周角，因此同
时
用正三角形和正六边形两种正多边形组合能够进行平面镶嵌．···· 5 分猜想 3：能否能够同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面
镶
嵌？········ 6 分考证 3：在镶嵌平面时，设环绕某一点有m个正三角形、 n 个正方形和 c 个正六边
形
的内角能够拼成一个周角.依据题意，可得方程：
60m 90n 120c360 ，
整理得： 2m 3n 4c 12，
m 1
能够找到唯一一组合适方程的正整数解为
n 2 .········ 8 分
c
1
结论 3：镶嵌平面时，在一个极点四周环绕着
1 个正三角形、
2 个正方形和 1 个正
六边形的内角能够拼成一个周角， 因此同时用正三角形、 正方形和正六边形三种正多边形组
合能够进行平面镶嵌 . （说明：此题答案不唯一，切合要求即可
. ） (10)
分
24．（本小题满分 12 分）
解：（1）∵点 A 在线段 PQ 的垂直均分线上，
∴ AP = .
AQ
∵∠ DEF = 45 °，∠ ACB = 90°，∠ DEF ＋∠ ACB ＋∠ EQC = 180 °， ∴∠ EQC = 45 °.
∴∠ DEF =∠ EQC . ∴ CE = CQ .
由题意知： CE = t ， BP =2 t ，
∴ CQ = t .
∴ AQ = 8 － t .
在 Rt △ ABC 中，由勾股定理得： AB = 10 cm . 则 AP = 10 － 2 t . ∴ 10－2 t = 8 － t . 解得： t = 2.
答：当 t = 2 s
时，点 A 在线段 PQ 的垂直均分线上 .
(4)
分
（2）过 P 作 PM
BE ，交 BE 于 M ，
A
∴ BMP 90 .
在 Rt △
和 Rt △
中， sin
AC PM ，
D ABC
BPM
B
BP P
AB
∴ PM
8 ∴PM = 8 t .
Q
2t . 5
10 B
MEC
F
∵ BC = 6 cm ，CE = t ， ∴ BE = 6 － t .
∴ y = S △ ABC －S △ BPE = 1 BC AC － 1
BE
1
8 －
1
图（ 2）
8 t PM =
6 6 t = 4 t 2 2 4 t 3
2 2 2
5
24 t 24 =
84 .
2
5 5
5
5
4
0 ，∴抛物线张口向上 .
∵ a
5
∴当 t = 3 时， y 最小 =
84
.
5
答：当 t = 3s 时，四边形 APEC 的面积最小，最小面积为 （3）假定存在某一时辰 t ，使点 P 、 Q 、F 三点在同一条直线上
过 P 作 PN AC ，交
于 ，
AC N
∴ ANP ACB PNQ 90 .
∵
PAN
BAC ，∴△ PAN
∽△.
BAC
∴
PN AP AN .
BC AB
AC
∴ PN
10 2t
AN .
P
6 10
8
B
84
2
cm .
····
8 分
5 .
A
D
N Q
E C F
图（ 3）
∴
PN 6
6
t ， AN 8
8
t .
5 5
∵ NQ = AQ － AN ， ∴ NQ = 8 － t －( 8
8
t ) =
3
t ．
5 5
∵∠ ACB = 90°， B 、 C （E ）、 F 在同一条直线上， ∴∠ QCF = 90°，∠ QCF = ∠ PNQ . ∵∠ FQC = ∠ PQN ，
∴△ QCF ∽△ QNP .
PN NQ 6 6 t 3 t
∴
∴ 5
5 .
FC .
t t
CQ
9
6 6 t 3 ∵ 0 t
∴ 5
9 t
5
解得： t = 1.
答：当 t = 1s ，点 P 、 Q 、F 三点在同一条直线上 . 12 分。