甘肃省甘谷县第四中学2021届高三上学期第一次检测数学(理)试题

甘肃省甘谷县第四中学2021届高三上学期第一次检测数学
（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合}{}{
{
}2
0,1,2,3,4,5,1,2,540U A B x Z x x ===∈-+＜，则
()U
A B =
（ ）
A ．03}1{2，，，
B ．{5}
C ．{124}，，
D ．{045}，
， 2．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．1y x
=
B ．x y e -=
C ．21y x =-+
D ．lg y x =
3．已知函数()2
f x x ln x =-，则函数()y f x =的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知函数y =f （x +1）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ） A ．[0，
52
] B ．[-1，4] C ．[-5，5] D ．[-3，7]
5．函数2y x = ） A ．()1,1- B ．[]1,1-
C ．5,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．5,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
6．设)
()ln 1f x x =+， ()4f a =，则()f a -=（ ）
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
7．已知两个数0.60.4a =， 0.40.6b =则大小比较正确的是（ ） A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．a b ，不能比较
8．已知227x y A ==，且11
2x y
+=，则A 的值是（ ） A ．7
B
．C
．±D
9．已知()y f x =是偶函数，而()1y f x =+是奇函数，且对任意01x ≤≤，都有
()0f x '>，则()2010a f =，(1)b f =，()12
c f
=-的大小关系是（ ）
A ．a c b <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
10．已知函数2(3)4,1
(),1
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上是单调的函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．2,35⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．(),3-∞
D ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
11．若函数()y f x =（x ∈R ）满足(2)()f x f x +=，且(1,1]x ∈-时2
()1f x x =-，
函数()lg ,0
1,0x x g x x ⎧≠=⎨=⎩
，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]510
-，内零点的个数为（ ） A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
12．下列说法中正确的是 （ ）
A ．若命题:p x R ∀∈有20x >，则:p x R ⌝∀∈有20x ≤；
B ．若命题1:01p x >-，则1
:01
p x ⌝≤-； C ．若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；
D ．方程有唯一解的充要条件是
12
a =±
二、填空题
13．函数()12
()log 21f x x =+的定义域是________.
14．若幂函数2
221
(1)m
m y m m x --=--在(0,)+∞上是增函数，则m =__________．
15．已知集合{}{}15,|3|A x x B x a x a =≤<=-<≤+，若()B A B ⊆⋂，则a 的取值范围为________．
16．命题①若2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，其定义域是[]1,2a a -，则()f x 在区
间21,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
是减函数； ②定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且在[10]﹣，上是增函数，则()f x 关
于直线1x =对称；
③已知全集U ，集合A ，B ，若U A C B A ⋂=，则A B φ⋂≠；
④已知集合{}(,)|P x y y k ==，{
(,)1,0x
Q x y y a a ==+且}1a ≠，若P
Q 只有
一个子集，则1k <.
以上四个命题中，正确命题的序号是__________.
三、解答题 17．（1）计算：
12
1
3
1360.008
+-
； （
2. 18．已知命题p ：不等式[]
21,1,0x
m x -+>∈-恒成立 ；命题q ：函数
()2
2log 4421y x m x ⎡⎤=+-+⎣⎦的定义域为(),-∞+∞，
若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求m 的取值范围.
19．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 20．已知函数()f x 是定义在[]1,1-上，若对于任意[],1,1x y ∈-，都有
()()()f x y f x f y +=+且0x >时，有()0f x >.
（1）证明：()f x 在[]1,1-上为奇函数，且为单调递增函数； （2）解不等式1
(1)()02
f x f x ++>； 21．已知函数()2x
f x =，()()1
g x a a R x
=
+∈. （1）当1a =时，解不等式()()
4f g x >； （2）关于x 的方程()()
()1
20f ax a f g x ---=在区间()0,3内恰有一解，求a 的取
值范围.
22．已知函数()2
43,()52f x x x a g x mx m =-++=+-．
（1）若()y f x =在[]1,1-上存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）当0a =时，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈使()12()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．D 【分析】
先求出集合B ，即可求出A B ，进而求出补集.
【详解】
{}}{
{}2540142,3B x Z x x x Z x =∈-+=∈<<=＜,
{}1,2,3A B ∴⋃=， {}()0,4,5U A B ∴=⋃.
故选：D. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，考查并集补集混合运算，属于基础题. 2．C 【详解】
试题分析：因为函数1y x
=
是奇函数，所以选项A 不正确；因为函为函数x
y e -=既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B 不正确；函数2
1y x =-+的图象抛物线开口向下，对称轴是y 轴，所以此函数是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减，所以，选项C 正确；函数
lg y x =虽然是偶函数，但是此函数在区间()0,∞+上是增函数，所以选项D 不正确；故
选C ．
考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象． 3．A 【分析】
根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果． 【详解】
由题意()()2
ln f x x x f x -=--=，
所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ； 又()2
11ln110f =-=>，所以排除B,C ．
故选A ．
已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 4．A 【分析】
根据抽象函数的定义域求法，首先求出114x -≤+≤，再由1214x -≤-≤，解不等式即可. 【详解】
函数y =f （x +1）定义域是[-2，3]，则114x -≤+≤， 所以1214x -≤-≤，解得502
x ≤≤， 所以函数的定义域为[0，52
]. 故选：A 【点睛】
本题考查了抽象函数的定义域求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 5．D 【分析】
本题先用换元法将函数2y x =+2
1y t t =-++（0t ≥），再利用二次函数求值域. 【详解】
0t =≥，则221x t =-（0t ≥）， 所以函数2
1y t t =-++（0t ≥），
由二次函数可得函数2
1y t t =-++（0t ≥）的对称轴1
02
t =
≥，且开口向下， 所以2
max 12
11
5122
4t y y
=
⎛⎫==-++= ⎪⎝⎭，
所以函数2y x =5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 故选：D
本题考查换元法求函数的值域，是基础题. 6．A 【分析】
可证)
ln
x 为奇函数，采用()()f x f x +-即可求解
【详解】
设())ln
=h x x ，定义域为R ，
())
ln -=h x x ，则()()0h x h x +-=，
故()()1=+f x h x ，()()1-=-+f x h x ，()()2f x f x +-=， 故()()2+-=f a f a ，因为()4f a =，故()2f a -=- 故选：A 【点睛】
本题考查由函数的奇偶性求解函数值，当形如()()=+h x f x a ，其中()f x 为奇函数时，可采用()()2+-=h x h x a 来进行求解，属于基础题 7．B 【分析】
利用指数函数和幂函数的单调性求解. 【详解】 由幂函数0.6
y x
=的单调性知：0.60.60.40.6a =<，
由指数函数0.6x
y =的单调性知： 0.40.60.60.6b =>，
所以a b <， 故选：B 【点睛】
本题主要考查指数幂的大小比较，属于基础题. 8．B 【分析】
首先将题中所给的指数式化为对数式，之后应用对数的运算法则，得到log A 98=2，从而求得结果.
由题意可得：log 2A =x ，log 49A =y ， ∴
11
x y
+=log A 2+log A 49=log A 98=2，
∴A 2=98，解得A =舍去负值). 故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关对数式的运算化简求值问题，涉及到的知识点有对数的运算性质，属于基础题目. 9．C 【分析】
根据对任意01x ≤≤，都有()0f x '>，得到()y f x =在[]0,1单调递增，再由()y f x =是偶函数，()1y f x =+是奇函数，推出()f x 是周期函数，然后转化a ，b ，c 再比较大小. 【详解】
因为对任意01x ≤≤，都有()0f x '>， 所以()y f x =在[]0,1单调递增，
因为()y f x =是偶函数，而()1y f x =+是奇函数， 所以()()f x f x =-，(1)(1)f x f x +=--+
所以(1)(1)f x f x +=--，故()()2f x f x +=-， 则()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 的周期为4.
所以()2010(2)(0)a f f f ===-、(1)0b f ==、(
)1
2
c f =-，
因为(
)1(0)(1)02
f f
f <<
=，
所以b c a <<. 故选：C 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，单调性和周期性的综合应用，还考查了转化问题求解的能力，是中档题. 10．B 【分析】
由题意可得函数()f x 在R 上只能单调递增，由分段函数的单调性可得()30
341a a a ->⎧⎨--≤⎩
，即
可得解. 【详解】
当1≥x 时，2
()f x x =，单调递增，
若要使函数()f x 在R 上是单调的函数，则只能使该函数单调递增，
所以()30341
a a a ->⎧⎨--≤⎩，解得2
35a ≤<，
所以a 的取值范围是2
,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查了分段函数的单调性，考查了运算求解能力，属于基础题. 11．B 【分析】
根据题意可判断()f x 周期为2的周期函数，画出(),()f x g x 的图象，根据交点个数即可知道零点个数. 【详解】
函数()y f x =（x ∈R ）满足(2)()f x f x +=，
()f x ∴周期为2的周期函数，
(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-恰好一个周期，
画出()f x 在(1,1]x ∈-的图象，即可画出其他部分的图象，再画出()g x 的函数图象，
则()()()h x f x g x =-在区间[]510
-，内零点的个数等价于()f x 和()g x 在区间[]510-，内
交点个数，
观察图象可知，()f x 和()g x 在区间[]510
-，内交点有14个， 所以()()()h x f x g x =-在区间[]510
-，内零点的个数为14. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用函数的交点个数判断零点个数，属于中档题. 12．C 【解析】
试题分析：:p x R ∀∈有20x >，则
有20x ≤，故A 错；
1
:
01
p x >-，
1
:
01p x ⌝≤-或，故B 错；C 显然正确；D 方程有唯一解的充要条件是
12
a =±或，故D 错
考点：命题的否定、充分条件、必要条件 13．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
由二次根式、分式及对数函数的性质可得不等式组，即可得解. 【详解】
由题意()12
210
log 210210
x x x ⎧
-≥⎪⎪
+≠⎨⎪⎪+>⎩，解得12x ≥，
所以函数()f x 的定义域为1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题考查了具体函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 14．1-. 【解析】
分析：利用幂函数的定义和单调性即可得出. 详解：
幂函数(
)
22
21
1m m y m m x
--=--在()0,+∞上是增函数，
∴2211210
m m m m --=-->，解得1m =-. 故答案为1-.
点睛：熟练掌握幂函数的定义和单调性是解题的关键. 15．(]
,1-∞- 【分析】
由()B A B ⊆⋂得到 B A ⊆．然后分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解，将集合间的包含关系转
化为不等式或不等式组求解，可得所求的范围． 【详解】
因为()B A B ⊆⋂， 所以B ⊆A ．
①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，解得3
2
a ≤－．
②当B ≠∅时，由B ⊆A ，得3135
a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩
，解得3
12a -<≤-．
由①②可知1a ≤-．
所以实数a 的取值范围为(]
,1-∞-． 故答案为(]
,1-∞-． 【点睛】
解答本题时注意两点：
（1）对于已知B A ⊆求参数的取值范围的问题，求解时不要忘了B =∅这一情况． （2）已知集合间的包含关系求参数的取值范围时，需要结合数轴将问题转化为不等式（组）求解，注意转化思想在解题中的应用． 16．①② 【分析】
①先建立方程(1)20a a -+=求a ，再建立方程2
2
1
1()()113
3
x b x b x bx b -+-++=
+++求b ，最后判断()f x 在区间21,33
⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
是减函数；②先判断函数()f x 是周期为2T =的周期
函数得到(1)(12)(1)f x f x f x --=--+=-，再因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数得到(1)(1)f x f x --=+，最后整理得到(1)(1)f x f x -
=+，判断函数()f x 关于直线
1x =对称；③先判断U A C B ⊆，再判断A B φ⋂=，最后判断③错误；④先转化条件得到
函数y k =与函数1x
y a =+（0a >且1a ≠）无交点，再求出1k ≤，最后判断④错误. 【详解】
解：①因为()f x 是偶函数，其定义域是[]1,2a a -，
所以(1)20a a -+=，解得：13
a =
，所以2
1()13f x x bx b =+++，
因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，即2
211()()1133
x b x b x bx b -+-++=+++，
解得：0b =，所以21()13f x x =+，所以()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭
是减函数，故①正确；
②因为函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，
所以(2)(1)[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，所以函数()f x 是周期为2T =的周期函数， 所以(1)(12)(1)f x f x f x --=--+=-，
因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(1)(1)f x f x --=+
所以(1)(1)
(1)(1)
f x f x f x f x --=-⎧⎨--=+⎩，整理得：(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 关于直线1x =对
称，故②正确；
③因为U A C B A ⋂=，所以U A C B ⊆，所以A B φ⋂=，故③错误； ④因为集合{}(,)|P x y y k ==，{
(,)1,0x
Q x y y a a ==+且}1a ≠，且P
Q 只有一个
子集，所以函数y k =与函数1x y a =+（0a >且1a ≠）无交点，所以1k ≤，故④错误. 故答案为：①② 【点睛】
本题考查判断命题的真假、集合的运算与基本关系、函数的基本性质，是中档题. 17．（1
）5+（2）4-. 【分析】
（1）结合指数幂的运算法则、对数的运算法则运算即可得解； （2）由对数的运算法则运算即可得解. 【详解】 （1
）原式211
62log 562450.216
=
++=++-=+ （2）原式()1
3lg 2lg 5(lg 2lg 5)2
4
11lg10lg1022
-+-+=
==-⋅-. 【点睛】
本题考查了指数幂及对数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 18．3m ≥或1 2.m <≤ 【分析】
化简命题p 可得2m >，化简命题q 可得14m <<，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围. 【详解】
对于[]
:12,1,0x
p m x >+∈-恒成立，而当[]
1,0x ∈-时，由指数函数性质知12x +的最大值为2 ，得 2.m > 对于q ：函数
的定义域为(),-∞+∞
()244210,x m x x R 恒成立，∴+-+>∈
()2
162160m ∆=--<即，解得13m <<.
p q ∨为真，p q ∧为假，p ∴为真，q 为假；或p 为假，q 为真.
即2
21313m m m m m >≤⎧
⎧⎨
⎨≤≥<<⎩⎩或或解得31 2.m m ≥<≤或
故m 的取值范围为31 2.m m ≥<≤或 【点睛】
本题通过判断或命题、且命题，综合考查对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 19．（1）{}|23x x <<（2）4
23
a ≤≤ 【分析】
（1）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，解绝对值不等式求得q 中x 的取值范围，根据p q ∧为真，即,p q 都为真命题，求得x 的取值范围.
（2）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】
对于q ：由31x -<得131x -<-<，解24x <<
（1）当1a =时，对于p ：()()2
43310x x x x -+=--<，解得13x <<，由于p q ∧为
真，所以,p q 都为真命题，所以24
13
x x <<⎧⎨
<<⎩解得23x <<，所以实数x 的取值范围是
{}|23x x <<.
（2）当0a >时，对于p ：()()2
2
4303x ax a x a x a =---+<，解得3a x a <<.由于p
⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以234
a a ≤⎧⎨≥⎩，解得4
23a ≤≤.
所以实数a 的取值范围是4
23
a ≤≤. 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值
范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题. 20．（1）证明见解析；（2）2,03x ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
. 【分析】
（1）令0x y ==可得(0)0f =，在令y x =-可得()()0f x f x +-=，即可判断()f x 是奇函数；令12
1
1x x ，可证得()()210f x f x ->，即可判断()f x 在定义域[]1,1-上为
单调递增函数；
（2）不等式等价于1(1)()2f x f x +>-，即可列出不等式组1111112112x x x x ⎧
⎪-≤+≤⎪
⎪
-≤-≤⎨⎪
⎪
+>-⎪⎩
，求出解集.
【详解】
（1）证明：令0x y ==有(0)0f =，
令y x =-，()()()f x x f x f x -=+-，即0(0)()()f f x f x ==+-， 所以()f x 是奇函数. 又令12
1
1x x ，则()()21f x f x -=()()()2121f x f x f x x +-=-，
又当0x >时，有()0f x >，210x x ->， ∴()210f x x ->，即()()210f x f x ->， ∴()f x 在定义域[]1,1-上为单调递增函数；
（2）∵()f x 在[]1,1-上为单调递增的奇函数，有1(1)()02
f x f x ++>，
则
1
(1)()2
f x f x +>-， ∴111
1112112x x x x ⎧
⎪-≤+≤⎪
⎪-≤-≤⎨⎪⎪+>-⎪⎩
，即202223x x x ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪>-
⎩，2,03x ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦，
解得不等式的解集为2,03x ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查抽象函数奇偶性和单调性的证明，考查利用奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.
21．（1）()0,1；（2）{}5,19
a ⎤
∈
-∞⋃⎥⎦
（. 【分析】
（1）1a =时，利用指数函数的单调性可得不等式112
x
+>，解分式不等式即可；
（2）关于x 的方程
()()
()1
20f ax a f g x ---=在区间()0,3内恰有一解，等价于
2210(0)ax x x -+=≠，在区间()0,3内恰有一解，再转化为二次函数在(0,3)内恰有一解，
即可求a 的取值范围． 【详解】
（1）当1a =时，()()
1
124x
f g x +=>，即
1112,0,01x x x x
-+>∴>∴<< 不等式解为()0,1
（2）()()()120f ax a f g x ---=，即2
11120,(2)2ax a
x
a a ax a x +---=∴-+=-- 化简得到：2
210(0)ax x x -+=≠，在区间()0,3内恰有一解，令2
()21h x ax x =-+
当0a =时，方程有解为1
2
x =，满足条件； 当0a ≠时：
当440a ∆=-=，1a =时，方程有唯一解为1x =，满足条件； 当440∆=->a ，即1a <时
()f x 在区间()0,3内恰有一解，由于(0)0h >则(3)0h <，59
a <
， 或(3)0h =，5
9
a =
时根为3(0,3)5x =∈，即59a ≤且0a ≠
综上所述： a 的取值范围{}5,19
a ⎤∈
-∞⋃⎥⎦
（ 【点睛】
本题主要考查了指数函数单调性的应用，考查了分类讨论以及转化思想的应用，同时考查二次函数根的分布，属于中档题．
22．（1）80a -≤≤；（2）3m ≤-或6m ≥． 【分析】
（1）()y f x =在[1,1]-上存在零点，只需(1)0,
{
(1)0
f f ≤-≥即可；
（2）本问是存在性问题，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集即可． 【详解】
（1）()f x 的对称轴为2x =，所以()f x 在[]1,1-上单调递减，且函数()f x 在[]1,1-存在零点，所以(1)0,
{
(1)0,
f f ≤-≥即0,{80,a a ≤+≥解得[]8,0a ∈-． 故实数a 的取值范围为[]8,0-．
（2）由题可知函数()f x 的值域为函数()g x 的值域的子集
[][]2()43,1,4,()1,3f x x x x f x =-+∈∴∈-，
以下求函数()52g x mx m =+-的值域：
①0m =时，()52g x m =-为常函数，不符合题意； ②0m >，[]
()5,52g x m m ∈-+，∴51,{
523,
m m -≤-+≥解得6m ≥；
③0m <，[]
()52,52g x m m ∈+-，∴521,
{53,
m m +≤--≥解得3m ≤-．
综上所述，m 的取值范围为(]
[),36,-∞-+∞．。