八年级初二数学平行四边形单元测试附解析

八年级初二数学平行四边形单元测试附解析
一、解答题
1．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．
（1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．
2．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．
（1）求证：CG 平分∠DCB ；
（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；
（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．
3．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．
（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；
（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．
4．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ．
（1）求证：AB＝AF；
（2）连BF并延长交DE于G．
①EG＝DG；
②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．
5．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝2，求CE的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA 的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
7．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为t秒．
（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．
（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
8．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；
（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；
②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.
9．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．
10．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：
（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）
（2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？
（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
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一、解答题
1．（1）见解析；（23；（3）2
【分析】
（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；
（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF 的长；
（3）过点D 作BC 的垂线，垂足为H ，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH 的长度，再利用底乘高得出结果．
【详解】
解：证明：（1）∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠DBC ，
∵EF 垂直平分BD ，
∴BE=DE ，BF=DF ，
∵∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，
∴∠EBD=∠BDF ，∠EDB=∠DBF ，
∴BE ∥DF ，DE ∥BF ，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，
∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=1
2
DF=1，FH=3DH=3，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH=3+1；
（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，
∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，
∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，
∴∠DFH=∠ABC=30°，
∵DE=DF=2，
∴DH=1，
∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
2．（1）见解析；（2）HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y
33 42
x
=-．
【分析】
（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠DCG＝∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；
（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG＝DG，根据全等直角三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH＝HD，再根据线段间的关系即可得出
HG＝HD+DG＝OH+BG；
（3）根据（2）的结论即可找出当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标，设H点的坐标为（x，0），由此可得出
HO＝x，根据勾股定理即可求出x的值，即可得出点H的坐标，结合点H、G的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式．
【详解】
（1）∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∴CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90°．在Rt△CDG和Rt△CBG中，
∵
CG CG
CD CB
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴∠DCG＝∠BCG，即CG平分∠DCB．
（2）由（1）证得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，
∵
CH CH
CO CD
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．
（3）假设四边形AEBD可为矩形．
当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，如图所示．
∵G点为AB中点，∴BG＝GA1
2
=AB，由（2）证得：BG＝DG，则
BG＝GA＝DG
1
2
=AB
1
2
=DE＝GE，又AB＝DE，∴四边形AEBD为矩
形，∴AG＝EG＝BG＝DG．
∵AG1
2
=AB＝3，∴G点的坐标为（6，3）．
设H点的坐标为（x，0），则HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．
在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，
得：
20
63
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
3
4
3
2
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，∴直线DE的解析式为：y33
42
x
=-．
故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y
33 42
x
=-．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出
BG ＝DG 、OH ＝HD ；（3）求出点H 、G 的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．
3．（1）见解析；（2）MON 为等腰直角三角形，见解析
【分析】
（1）如图1，由正方形的性质得CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，再证明∠BCN ＝∠CDM ，然后根据“AAS”证明△CDM ≌△CBN ，从而得到DM ＝CN ；
（2）如图2，利用正方形的性质得OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，再利用∠BCN ＝∠CDM 得到∠OCN ＝∠ODM ，则根据“SAS”可判断△OCN ≌△ODM ，从而得到ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，所以∠MON ＝∠DOC ＝90°，于是可判断△MON 为等腰直角三角形．
【详解】
（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，
∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ，
∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，
∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°，
∴∠BCN ＝∠CDM ，
在△CDM 和△CBN 中
DMC CNB CD CB
CDM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△CDM ≌△CBN ，
∴DM ＝CN ；
（2）解：△OMN 为等腰直角三角形．
理由如下：
如图2，∵四边形ABCD 为正方形，
∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，
∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ，
在△OCN 和△ODM 中
CN DM OCN ODM OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OCN ≌△ODM ，
∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，
∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质．
4．（1）见解析；（2）①见解析；②2+2
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合角平分线的定义可证明△ABE ≌△AFD （AAS ），进而证得结论；
（2）①通过求解∴∠EFG=∠AED=67.5°，∠DFG=∠FDG=22.5°，进而可得EG=FG=DG ； ②AB=x ，则2x ，DF=AF=x ，2x-x ，利用勾股定理可求解x 值，再根据矩形ABCD 的面积=△AED 面积的2倍可求解．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，∠DAB=∠ABE=90°，
∴∠DAE=∠AEB ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=EB ，
∵DF ⊥AC
∴∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD=90°，
∵AE=AD ，
∴△ABE ≌△AFD （AAS ），
∴AB=AF ；
（2）①证明：∵AE=AD ，∠EAD=45°，
∴∠AED=∠ADE=67.5°，
∴∠FDG=22.5°，
∵AB=AF ，∠BAF=45°，
∴∠AFB=67.5°，
∴∠EFG=67.5°，
∴∠EFG=∠AED ，
∴FG=EG ，∠DFG=22.5°，
∴∠DFG=∠FDG ，
∴FG=DG ，
∴EG=DG ；
②∵EG=1，
∴DG=2，
设AB=x ，则x ，DF=AF=x ，
∴x-x ，
x-x ）2+x 2=22，
解得x 2，
∴矩形ABCD 的面积=2×
12
×AE×DF x 2． 【点睛】
本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，灵活运用定理是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）30°；（3）2
【分析】
（1）利用正方形的性质，得到AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，进而判断△ADE ≌△CDE 得到结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB ＝OE ，∠OBE ＝∠OEB ＝15°，再利用外角和定理求得；
（3）连接OC ，与（2）同理得到∠POC ＝60°，则△EOC 为直接三角形，再应用勾股定理求
得.
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，
在△ADE 和△CDE 中，
AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SAS ），
∴AE ＝CE ；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DBC ＝45°，
∵∠PBC ＝30°，
∴∠PBE ＝15°，
∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，
∴EO ＝BO ＝PO ，
∴∠OBE ＝∠OEB ＝15°，
∴∠EOP ＝∠OBE ＋∠OEB ＝30°；
（3）如图，连接OC ，
∵点O 是BP 的中点，∠BCP ＝90°，
∴CO ＝BO ，
∴EO ＝CO 2，∠OBC ＝∠OCB ＝30°，
∴∠POC ＝60°，
∴∠EOC ＝∠EOP ＋∠POC ＝90°，
∵EC 2＝EO 2＋CO 2＝4，
∴EC ＝2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合.
6．（1）B （12，4）；（2）52t s =
；（3）58,4,3,4,2,4,,42 【分析】 （1）由四边形OABC 是平行四边形，得到OA BC =，//OA BC ，于是得到 10OA =，2OE AF ，可求出点B 的坐标；
（2）根据四边形PCDA 是平行四边形，得到PC AD =，即1025t -=，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当5PD OD 时，②当5PO OD 时，③当 PD OP =时分别讨论计算即可．
【详解】
解：如图1，过C 作CE OA ⊥于E ，过B 作BF OA ⊥于 F ，
四边形OABC 是平行四边形，
OA BC ，//OA BC ， A ，C 的坐标分别为(10,0)， (2,4)， 10OA ∴=，2OE
AF
， 10BC ∴=，
(12,4)B ； （2）设点P 运动t 秒时，四边形PCDA 是平行四边形，
由题意得：102PC t =-，
点D 是OA 的中点，
152OD BC AD OA ，
四边形PCDA 是平行四边形，
PC AD ，即1025t -=，
52
t ∴=， ∴当52
t =秒时，四边形PCDA 是平行四边形； （3）如图2，①当5PD
OD 时，过1P 作1PE OA 于 E ，
则14PE ，
3DE ∴=，
1(8,4)P ，
又D ，C 的坐标分别为()5,0，(2,4)， ∴225245CD ,
即有，当点P 与点C 重合时，5PD OD ，
2,4P ； ②当5PO
OD 时，过2P 作2P G OA 于 G ， 则24P G ，
3OG ∴=，
2(3,4)P ；
③当PD OP =时，过3P 作3P F
OA 于 F ， 则34P F ，52
OF =， 35(2
P ，4)； 综上所述：当ODP ∆是等腰三角形时，点P 的坐标为(8,4)， 5(2
，4)，(3,4)，(2,4)． 【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（1）214
t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ≅时，22t =3（见解析），当ADE AHE ≅时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ≅时，722
t = 【分析】 （1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =
，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=︒，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122
AH AB ==，然后与（1）所求的
2
AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ≅；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ≅；③当EG HB =时，EGQ HBF ≅三种情况，分别求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：2AP t =，
点Q 为AP 的中点，
12
AQ AP t ∴==， 四边形ABCD 是矩形，
90B D BAD ∴∠=∠=∠=︒，
AE ∵是BAD ∠的角平分线，
1452
HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=︒， QH AB ⊥，
AQH ∴是等腰直角三角形，
22
AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为
21124AH HQ t ⋅=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，
//HQ MP ∴，
点M 在BC 边上，
//HQ BP ∴，
点Q 为AP 的中点，
HQ ∴是ABP △的中位线，
122
AH BH AB ∴===，
由（1）知，2AH =
，
则22
t =，
解得t =；
（3）由题意，有以下三种情况：
①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AH
HB =，
四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，
HAQ BHM ∴∠=∠，
在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
()AHQ HBM ASA ∴≅，
由（2）可知，此时2
2t =；
②如图3，当点Q 与点E 重合时，
在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
()ADE AHE AAS ∴≅，
3AD AH ∴==， 则232
=，
解得
32t =；
③如图4，当EG HB =时，
四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，
//,//CD AB HM PQ ∴，
,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=︒=∠，
在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
()EGQ HBF ASA ∴≅， 2,42
AH AB ==， 242
HB AB AH ∴=-=-， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=︒=，
Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==
32EQ AQ AE t ∴=-=-，
在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=︒， Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -=
=， 则由EG HB =2624t -=-， 解得722
t =
综上，如图2，当AHQ HBM ≅时，22t =；如图3，当ADE AHE ≅时，32t =；如图4，当EGQ HBF ≅时，722
t =
． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．
8．（1）作图见解析；（2）①见解析；②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =．理由见解析；
【分析】
（1）按照题意，尺规作图即可；
（2）连接PE ，先证明PQ 垂直平分BE ，得到PB=PE ，再证明60APE ∠=︒，得到30AEP ∠=︒，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答； （3）NQ=2MQ 或NQ=MQ ，分两种情况讨论，作辅助线，证明ABE FQP ∆≅∆，即可解答.
【详解】
（1）如图1，分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ；
图1
（2）①连接PE ，如图2，
图2
点M 是BE 的中点，PQ BE ⊥
∴PQ 垂直平分BE ．
∴PB PE =，
∴90906030PEB PBE AEB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=︒，
∴90906030AEP APE ∠=︒∠=︒-︒=︒，
∴60APE PBE PEB ∠=∠+∠=︒，
∴90906030AEP APE ∠=︒∠=︒-︒=︒，
∴2BP EP AP ==．
②数量关系为：2NQ MQ =或NQ MQ =．
理由如下，分两种情况：
I 、如图3所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．
图3
正方形ABCD 中，AB BC =，
∴FQ AB =．
在Rt ABE △和Rt FQP 中，
BE PQ AB FQ
=⎧⎨=⎩ ∴()ABE FQP HL ≌．
∴30FQP ABE ∠=∠=︒． 又
60MGO AEB ∠=∠=︒，
∴90GMO ∠=︒， CD AB ．∴30N ABE ∠=∠=︒．
∴2NQ MQ =．
Ⅱ、如图4所示，过点Q 作QF AB ⊥于点F 交BC 于点G ，则QF CB =．
图4
同理可证ABE FQP ≌．
此时60FPQ AEB ∠=∠=︒． 又FPQ ABE PMB ∠=∠+∠，30N ABE ∠=∠=︒．
∴30EMQ PMB ∠=∠=︒．
∴N EMQ ∠=∠，∴NQ MQ =．
【点睛】
本题为正方形和三角形变化综合题，难度较大，熟练掌握相关性质定理以及分类讨论思想是解答本题的关键.
9．（1）63；（2）见详解．
【分析】
（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；
（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．
【详解】
解：（1） 如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ．
∵60ABC ∠=︒，6AB AE ==
∴△ABE 为等边三角形，
∴AB=BE=AE=6
即：AN=33 ∵:5:2BC CE =
∴:5:3BC BE =
∵BE=6
∴BC=10
∴EC=4
∴113346322
ACE S AN EC ==⨯⨯= 即：ACE △的面积为63．
（2）
如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ，
∵AH=AF ，
∴∠AFH=∠AHF
即：∠AFB=∠AHD ，
又∵AF=AH ，BF=DH ，
∴ABF ≌ADH
∴AB=AD
又∵180ABG ADG ∠+∠=︒，180ADP ADG ∠+∠=︒，
∴∠ABG=∠ADP
∵BG=DP ，
∴ABG ≌ADP △
∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP
∵∠ABC=60°
∴∠BAD=120°
即：∠GAP=120°
∴∠AGP=∠APG=60°，
又∵AM ⊥GD
∴
，
∵BG=GP
∴BG+GD=GD+DP=GP
即：
．
【点睛】
本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．
10．（1）(10﹣2t )；（2）t ＝2.5；（3）2.4或2
【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；
（2）当t ＝2.5时，△ABP ≌△DCP ，根据三角形全等的条件可得当BP ＝CP 时，再加上AB ＝DC ，∠B ＝∠C 可证明△ABP ≌△DCP ；
（3）此题主要分两种情况①当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得
△ABP ≌△QCP ；②当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△PCQ ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．
【详解】
解：（1）点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，点P 的运动时间为t 秒时，BP ＝2t ，
则PC ＝（10﹣2t ）cm ；
故答案为：（10﹣2t ）；
（2）当t ＝2.5时，△ABP ≌△DCP ，
∵当t ＝2.5时，BP ＝2.5×2＝5，
∴PC ＝10﹣5＝5，
∵在△ABP 和△DCP 中，
90AB DC B C BP CP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABP ≌△DCP （SAS ）；
（3）①如图1，当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，再由∠B ＝∠C ，可得△ABP ≌△QCP ，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝1
2
BC＝5，
2t＝5，
解得：t＝2.5，
BA＝CQ＝6，
v×2.5＝6，
解得：v＝2.4（秒）．
②如图2，当BP＝CQ，AB＝PC时，再由∠B＝∠C，可得△ABP≌△PCQ，
∵AB＝6，
∴PC＝6，
∴BP＝10﹣6＝4，
2t＝4，
解得：t＝2，
CQ＝BP＝4，
2v＝4，
解得：v＝2；
综上所述：当v＝2.4秒或2秒时△ABP与△PQC全等．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．。