最新常微分53
53微积分基本公式
一、引言
积分学 要解决 两问题
①不定积分的求法问题 找原函数； 方法比较成熟.
②定积分的计算问题 积分和的极限. 按定义来计算定积 分,是十分困难的.
微积分基本定理
牛顿-莱布尼茨 公式
二、积分上限函数及其导数
定义 设函数 f ( x) 在区间[a,b]上连续, x 为[a,b]
例3
求 lim x→ 0
cos x
x2
.
分析:
这是
0 0
型不定式,
应用洛必达法则.
∫ ∫ 解
d dx
1 e −t 2 dt
cos x
=
−
d dx
cos x e −t 2 dt
1
= −e−cos2x⋅ (cos x)′
= sin x ⋅ e−cos2x ,
∫ ∴
lim
x→0
1 e −t 2 dt
cos x
注:本例的结论是对积分中值定理的改进. 从其证明 中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.
x 0
cos2
tdt
⎤ ⎥⎦
= cos2 x.
﹟
∫ 例2
求
d dx
⎡ ⎢⎣
x 1
3
e
t
2
dt
⎤ ⎥⎦
.
∫ 解
∵
d dx
ϕ(x)
a
f (t)dt
=
f [ϕ ( x)]ϕ'( x).
∫ ∴
d⎡ dx ⎣⎢
x 1
3
e
t
2
dt
⎤ ⎥⎦
= e( x3 )2 ⋅ ( x3 )′
= 3x2e x6 ⋅ ﹟
常微分方程二阶线性微分方程习题课
二阶线性微分方程
例7 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
解： y
0,
y
yy y2
y2
ln
y,
y
ln yx
y ,方程改写为： y
ln y
ln y,
令 z ln y z z 0，二阶常系数齐次线性方程
特征方程 2 1 0， 特征根 1.
通解 z C1e x C2e x ln y C1e x C2e x .
(3n 1)!
y( x)
x
x4
x7
x3n2
4! 7!
(3n 2)!
20
二阶线性微分方程
解 (2) 相应的齐次微分方程
y y y ex y(0) 1，y(0) 0
y y y 0, 特征方程 2 1 0
特征根
1,2
1 2
3 i, 2
非齐次方程的特解： y Ae x
将y, y, y 代入方程 A 1 ,
特征根的情况
通解的表达式
实根 1 2
实根 1 2
复根 1，2 i
y C1e1x C2e2 x y (C1 C2 x)e1x y e x (C1 cos x C2 sin x)
2
二阶线性微分方程
例2 求方程 y 4 y 4 y 0 的系数线性非齐次方程
f ( x) 2e x . 1.
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2 3 2 0,
特征根 1 1，2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x
14
二线性微分方程
例10 设函数 y y( x)满足微分方程 y 3 y 2 y 2e x ,
例6 求 y(5) y(4) 2 y 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程 5 4 2 3 2 2 1 0
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常微分方程第三版全文
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
〈常微分方程》填空题及答案
填 空 题（每小题4分）1、()2x x y x e xe --=+ （是，否）方程"2'0y y y ++=的一个解。
2、22(sin 1ty t y t y '''+-=-的阶数为 。
3、初值问题(1),(0)1dyy y y dx=-=的解为 。
4、方程(cos )cos 0y yx y dx x dy x x -+=的通解为 。
5、方程ln ,(1)1y yy y x x'==的特解为 。
6、二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解。
7、已知方程12()()()(()0)y a x y a x y f x f x '''++=≠的三个解为212sin ,sin y x y x x ==+，23sin x y e x =+，则此方程的一般解为 。
8、微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。
9、微分方程dy dyxy xy dx dx+=的通解为 。
10、方程2369x y y y x e '''-+=的一个特解形式是 。
11、微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为 。
12、在微分方程3sin xy y e x ''+=+中，用待定系数法，可设特解形式为 。
13、微分方程27(1)2(1)x y y x '+-=+的通解为 。
14、微分方程2()0x y dx xdy +-=的通解 。
15、微分方程2(1)0(0)y dx xy dy y +-=>的通解为 。
16、方程230y y y '''++=的通解为 。
17、方程251y y y '''-+=的通解为 。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
线性常微分方程组
(t
)
1211((tt))
n1 (t )
12 (t) 22 (t)
n2 (t)
1n (t) 2n (t)
nn (t)
为齐次方程组(2)的一个基本解矩阵.
Remark:已知(2)的一个基本解矩阵(t),则(2)的通解 可以表示为x(t) (t)c.其中c n为常向量.
1
0
1 1 x
的一个基本解矩阵.由常数变易法得初值问题的解
x(t) (t)1(0) (t) t 1(s) f (s)ds 0
et
0
tet 1 et
et
1
0
tet
et
t 0
es
1 0
s es
1
0
ds
et tet et
et
0
tet
et
t 0
a21(t
)
am1(t)
a12 (t) a22 (t)
am2 (t)
a1n (t)
a2n
(t
)
可简
amn (t)
记为A(t)
aij (t)
.分别定义其导数和积分为
mn
dA(t) A(t) dt
aij (t)
,
mn
t
t0
A(s)ds
t t0aij源自(s)dsmn.
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(2)
的解集合是一个n维线性空间. Proof: 我们要找出(2)的n个线性无关的解,并证明(2)的 任意一个解都可以由这n个解线性表出.
设k
(t)是初值问题
dx dt
A(t ) x,
x(t0 )
第五章 常微分方程初值问题数值解法
则有
yn 1 yn hf ( xn , yn )
( 5.2 ) Euler格式
例5.1 用Euler格式解初值问题
2x y y y y (0) 1
取步长h=0.1.
(0 x 1)
Euler格式的具体形式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1 yn yn
计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析，假定yn是准确的，即在 yn y ( xn ) 的前提下估计误差 y ( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而 局部截断误差
f ( xn , yn ) f ( xn , y ( xn )) y '( xn ) y ( xn 1 ) yn 1 y ( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn )
y ( xn ), y ( xn 1 ), 的近似值 y1 , y2 , , yn , yn 1 ,
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步 长可以相等，也可以不等.本章总是假定h为定数， 称为定步长，这时节点可表示为
xn x0 nh , n 0,1, 2,
由f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) y '( xn 1 )（在xn点Taylor展开） h2 y '( xn ) hy ''( xn ) y '''( xn ) ... 2 3 2 h h 因此yn 1 y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 4 h f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) 2 h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 3!
《常微分方程》题库计算题
故方程的通解为 y Y y1 c1ex c2e-2x e-x
8、解：由方程解出 y，得 y x 2 1 p x ， 代入 dx 1 dy 得 dx dp 即 p cx
2x 2p
p
xp
故通解为 y c (x2 1) 1
2
2c
9、解：方程化为 y 2 y 2x3 x
对应的齐次方程 y 2 y 0 的通解为 y=cx2 (4¹) x
6、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过点(1,0)的第二次近似解。 dx
7、求解方程 y y 2y 2ex 的通解
8、求方程组
dx dt dy dt
2x y 3x 4y
的通解
9、求解微分方程 xy 2y 2x4
10、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过(0,0)的第三次近似解. dx
75、利用代换 y u 将方程 ycos x 2ysin x 3y cos x ex 化简，并求出原方程的 cos x
通解。
76、求下列线性微分方程组
dx
dt dy
2x 2x
4y 2y
4e2t
(1) (2)
dt
dy1
dx
2 y1
2 y2
77、解下列微分方程组
dy2 dx
y2
58、 x x sin at, a 0
59、 2y 5y cos2 x
60、 y 4y xsin 2x
61、 y 2y 3 4sin 2x
62、 y 2y 2y 4ex cos x
63、 y 9y 18cos3x 30sin 3x
64、 x x sin t cos 2t
11、求解方程 y y 2y 4ex 的通解
《常微分方程》(第三版)
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123 yxy dx dyxy 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y ydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln s in ln 07ln s gn arcs in ln s gn arcs in 1s gn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x ar ctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
拉普拉斯变换法.. /Laplace Transform /
1
拉普拉斯变换 ..
含义：..
简称拉氏变换 .. 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换， 并在复数域中进行运算， 再将运算结果作拉普拉斯反变换 来求得实数域中的相应结 果，往往比直接在实数域计算容易得多。
s2
s 1
19
例 7 求 x 3x 3x x 1 满足初始条件
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn
X
(s)
sn1x0
s n2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
17
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合…
2
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： ..
对常微分方程进行拉氏变换法， 得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解 ..
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程….
常微分方程(王高雄)第三版 3.3
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 (3.1) '
的解y ( x, x0 , y0 )都在区间 [a, b]上存在, 并且 ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) , x [a, b] 则称初值问题(3.1) '的解y ( x, x0 , y0 )在点( x0 , y0 )
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
证明 在(3.1)满足y ( x0 ) y0的解存在区间内任取一值x1 ,
y1 ( x1 , x0 , y0 ), 则由解的唯一性知, (3.1)过点( x1 , y1 )与过点( x0 , y0 )的解是同一条积分曲线 , 即此解也可写成: y ( x, x1 , y1 ), 且显然有: y0 ( x0 , x1 , y1 ),
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理)
方程 条件: I. f ( x , y ) 在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件;
dy f ( x, y) , dx ( x, y) G R2 (1)
II. y ( x , x0 , y0 ) 是(1)满足( x0 , y0 ) G 的解,定义
C 时,有 S G G 覆盖定理,存在N,当G i i 1 对 0 ,记 y , S ), min , / 2 d (G
N
Ci
G
L max L1,, LN 则以 为半径的圆,当其圆心从S的
G
左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D
0
义, 其中 a x0 b, 则对 0, ( , a, b) 0, 使当
(完整版)常微分方程第三版课后习题答案
习题 1.21． dy=2xy, 并满足初始条件： x=0,y=1 的特解。
dx2特解为 y= e x.22. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解。
2dy 1 解： y dx=-(x+1)dy 2 dy=- dx y x 11两边积分 : -=-ln|x+1|+ln|c|y特解： y=ln |c(x 1)|2 3．dy 1 y 2 3dx1 y 2dy=dy=4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 y x 1 解：原方程为： dy=- dxyx两边积分： ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。
5．( y+x ) dy+(x-y)dx=0y x解： 原方程为：dy =1 y2 dxy两边积分： x(1+x 2)(1+y 2)= 2cx解： dy =2xdxy2 两边积分有： ln|y|=x 2+cx 2cy=e +e =cex另外 y=0 也是原方程的解， c=0 时， y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1y=ln |c(x 1)|另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e3xy x y 13 dxx解：原方程为：dx x yu 1 1- 2du= dxu2 1 x22ln(u +1)x =c-2arctgu即ln(y 2+x 2)=c-2arctg y2.x2dy du=u+ xdx dx1du=sgnx dxxyarcsin =sgnx ln|x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0两边积分：1siny=ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.y2 3xdy e8 + =0dx y解：原方程为：dy=dx e y y3x e3x y22 e -3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dy=y ln y令y =u 则dy=u+x dudx dx 代入有：6. x dydx-y+ x2y2=0解：原方程为：dy=y+|x|dx x x 1 ( y)x则令y=u x11 u2解: 原方程为：dy dxtgy ctgxln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|c另外y=0 也是原方程的解，而c=0 时，y=0.dx x xduu+ x =ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx|y1+ln =cy.x10. dy=e x y dx解：原方程为：e y=cexdu 2-1=udx12du=dx1 u2arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c解：令x+y=u, 则dy=du-1 dx dx du 1-1=dx -1=u2u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13.dy=2x y 1 dx x 2y 1解: 原方程为： ( x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 22 dxy-d(y -y)-dx +x=c22xy-y +y-x -x=cdy x y 5dx x y 2解：原方程为： (x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0令y=u ,则dyx dxdu=u+ xdx12.dy=1dx =(x y) 2dy x y=e edx11 dy 2ddyx=(x+y)解：令x+y=u, 则dy du= -1dx dx14:1 2 1 2 dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02222y +4y+x +10x-2xy=c.15: dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 dx解：dy 2原方程为：=( x+4y ) +3dx令x+4y=u 则dy= 1 du- 1dx 4 dx 4 1 du 1 2- =u +34 dx 4du 2=4 u 2+133u= 2tg(6x+c)-12tg(6x+c)= (x+4y+1).316: 证明方程x dy=f(xy), 经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：y dx221) y(1+x y )dx=xdyx dy 2 x 2y2 y dx 2-x 2 y2证明：令 xy=u, 则 x dy+y=du dx dx 则dy=1 du- u2，有：dx x dx x2 x du =f(u)+1 u dx11 du= dx u( f(u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程课件
常微分方程课件常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在物理、生物、经济等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到高阶导数。
二、解的存在唯一性对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，解的存在唯一性定理告诉我们，在一定条件下，该方程存在唯一的解。
这一定理的证明通常基于柯西-利普希茨定理，该定理表明如果f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么解是存在且唯一的。
三、常见的解法方法1. 可分离变量法：当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，我们可以通过分离变量的方式将方程化简成两个可积分的方程，然后分别对x和y进行积分得到解。
2. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程可以通过积分因子法求解。
通过找到一个合适的积分因子，将方程变换为(d(xy)/dx) = r(x)，然后对两边进行积分得到解。
3. 齐次方程：对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量替换y =vx将方程转化为可分离变量的形式，然后进行积分得到解。
4. 变量代换法：当方程形式复杂或者无法直接求解时，我们可以通过适当的变量代换将方程化简为更简单的形式，然后再进行求解。
四、应用举例常微分方程在各个领域都有着广泛的应用。
以生物学为例，常微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律，从而帮助我们研究生物种群的动态变化。
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济模型中的供需关系、市场价格等因素的变化规律，从而帮助我们预测和分析经济现象。
常微分填空题及解答
填 空 题（每小题4分）1、()2xx y x exe --=+ （是，否）方程"2'0y y y ++=的一个解。
2、22(sin 1ty t y t y '''+-=-的阶数为 。
3、初值问题(1),(0)1dyy y y dx=-=的解为 。
4、方程(cos )cos 0y yx y dx x dy x x -+=的通解为 。
5、方程ln ,(1)1y yy y x x'==的特解为 。
6、二阶常系数线性微分方程32xy y y e '''-+=有一个形如 的特解。
7、已知方程12()()()(()0)y a x y a x y f x f x '''++=≠的三个解为212sin ,sin y x y x x ==+，23sin x y e x =+，则此方程的一般解为 。
8、微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。
9、微分方程dy dyxy xy dx dx+=的通解为 。
10、方程2369xy y y x e '''-+=的一个特解形式是 。
11、微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为 。
12、在微分方程3sin x y y e x ''+=+中，用待定系数法，可设特解形式为 。
13、微分方程27(1)2(1)x y y x '+-=+的通解为 。
14、微分方程2()0x y dx xdy +-=的通解 。
15、微分方程2(1)0(0)y dx xy dy y +-=>的通解为 。
16、方程230y y y '''++=的通解为 。
17、方程251y y y '''-+=的通解为 。
18、设非齐次线性方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-有三个特解，13,y =22233,3x y x y x e =+=++，则此方程的通解为 。
常微分方程第三版课本 (2)
常微分方程第三版课本概述“常微分方程第三版课本”是一本由X编写的教材，主要介绍了常微分方程的基本概念、理论和解析方法。
本教材内容丰富、结构清晰，适用于高等院校的常微分方程课程教学，也可以作为自学的参考资料。
目录1.基本概念– 1.1 常微分方程的定义– 1.2 解的定义及存在唯一性定理– 1.3 初值问题和边值问题2.一阶常微分方程– 2.1 可分离变量方程– 2.2 齐次线性方程– 2.3 一阶线性常微分方程– 2.4 Bernoulli 方程和 Riccati 方程– 2.5 可降阶的高阶微分方程3.高阶线性常微分方程– 3.1 高阶常微分方程的一般理论– 3.2 同解、通解和特解– 3.3 常系数齐次线性方程– 3.4 常系数非齐次线性方程及其特解– 3.5 变系数线性方程4.线性常微分方程组– 4.1 二阶齐次线性方程组– 4.2 二阶非齐次线性方程组和线性常系数方程组– 4.3 三阶及三阶以上线性方程组内容简介基本概念本章介绍了常微分方程的基本概念，包括常微分方程的定义、解的定义及存在唯一性定理、初值问题和边值问题。
通过对这些概念的学习，读者可以对常微分方程有一个基本的认识。
一阶常微分方程本章主要介绍了一阶常微分方程的解析方法，包括可分离变量方程、齐次线性方程、一阶线性常微分方程、Bernoulli方程和 Riccati 方程、可降阶的高阶微分方程等。
通过对这些解析方法的学习，读者可以熟练地解决一阶常微分方程的问题。
高阶线性常微分方程本章主要介绍了高阶线性常微分方程的理论和方法。
包括高阶常微分方程的一般理论、同解、通解和特解、常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程及其特解、变系数线性方程等。
通过对这些理论和方法的学习，读者可以掌握高阶线性常微分方程的解法。
线性常微分方程组本章主要介绍了线性常微分方程组的解法。
包括二阶齐次线性方程组、二阶非齐次线性方程组和线性常系数方程组、三阶及三阶以上线性方程组等。
常微分方程系统
常微分方程系统常微分方程系统指的是包含多个常微分方程的方程组。
常微分方程是描述一个未知函数及其导数与自变量之间关系的方程。
常微分方程系统通常涉及多个未知函数，每个未知函数都与自变量的导数有关。
在常微分方程系统中，我们通常使用向量形式来表示方程组。
假设我们有n个未知函数y₁(t), y₂(t), ..., yₙ(t)，那么常微分方程系统可以表示为如下形式：dY/dt = F(t, Y) (1)其中，Y = [y₁(t), y₂(t), ..., yₙ(t)]是一个n维向量，F(t, Y) = [f₁(t, Y), f₂(t, Y), ..., f ₙ(t, Y)]是一个n维向量函数，它描述了各个未知函数与自变量的关系。
接下来，我们将详细解释如何求解常微分方程系统。
首先，我们需要找到方程组的初值条件。
初值条件是在某一时刻t₀给出的未知函数的值，即Y(t₀) = [y₁(t₀), y₂(t₀), ..., yₙ(t₀)]。
通过给定的初值条件，我们可以得到方程组的特解。
对于常微分方程系统，我们可以使用数值方法进行求解。
常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将时间t分割成若干个小的时间步长，然后逐步计算未知函数在每个时间步长上的值。
具体而言，我们可以从初始时刻t₀开始，根据方程组(1)和给定的初值条件，通过数值方法计算得到未知函数Y(t₁)的估计值。
然后，我们将t₁作为新的初始时刻，再次使用数值方法计算得到Y(t₂)的估计值。
重复这个过程，直到达到我们所需的时间范围。
在每个时间步长上，数值方法会根据方程组(1)中的导数项来更新未知函数的估计值。
这个过程包括计算导数项的值，并与已知的未知函数值相结合，从而得到未知函数在下一个时间步长上的估计值。
最后，需要注意的是，常微分方程系统的求解可能涉及到数值误差的问题。
数值方法的精度取决于时间步长的选择以及数值计算的精确度。
因此，为了获得更准确的解，我们需要选择合适的时间步长，并尽可能提高数值计算的精确度。
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常微分53习题5.31、假设A是n«Skip Record If...»n矩阵，试证：a)对任意常数«Skip Record If...»、«Skip Record If...»都有exp(«Skip Record If...»A+«Skip Record If...»A)=exp«Skip Record If...»A·exp«Skip Record If...»Ab)对任意整数k,都有(exp A)«Skip Record If...»=exp k A(当k是负整数时，规定(exp A)«Skip Record If...»＝[(exp A)«Skip Record If...»]«Skip Record If...»)证明：a) ∵（«Skip Record If...»A）·（«Skip Record If...»A）＝（«Skip Record If...»A）·（«Skip Record If...»A）∴ exp(«Skip Record If...»A+«Skip Record If...»A)= exp«Skip Record If...»A·exp«Skip Record If...»Ab) k>0时，(exp A)«Skip Record If...»＝exp A·exp A……exp A＝exp（A+A+……+A）＝exp k Ak<0时，-k>0(exp A)«Skip Record If...»＝[(exp A)«Skip Record If...»]«Skip Record If...»=[exp(-A)]«Skip Record If...» = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)＝exp[(-A)(-k)]＝exp k A故«Skip Record If...»k，都有(exp A)«Skip Record If...»=exp k A2、试证：如果«Skip Record If...»是«Skip Record If...»=A x满足初始条件«SkipRecord If...»＝«Skip Record If...»的解，那么«Skip Record If...»＝[exp A(t-t«Skip Record If...»)]«Skip Record If...»证明：由定理8可知«Skip Record 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