2020年湖北省襄阳市枣阳市阳光中学中考数学模拟试卷(含解析)

2020年湖北省襄阳市枣阳市阳光中学中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号填在题后括号内． 1.在0，−1，2，−3这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A.0 B.−1C.2D.−32.如图，已知l 1 // l 2，∠A ＝40∘，∠1＝60∘，则∠2的度数为（ ）A.40∘B.60∘C.80∘D.100∘3.下列等式成立的是（ ） A.2+√2=2√2 B.(a 2b 3)2＝a 4b 6 C.(2a 2+a)÷a ＝2a D.5x 2y −2x 2y ＝34.如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）A.B.C.D.5.下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.6.若关于x的不等式组{2x>3x−33x−a>5有实数解，则a的取值范围是（）A.a<4B.a≤4C.a>4D.a≥47.如图，在ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件是（）A.OM=12AC B.MB＝MOC.BD⊥ACD.∠AMB＝∠CND8.一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是()A.平均数B.中位数C.众数D.方差9.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）A.2米B.3米C.4米D.5米10.如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为（）A.32B.23√2 C.75D.√2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请把答案填在题后横线上．11.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210 000 000用科学记数法表示为________．12.若分式方程x−mx−2=1x−2无解，则m等于________．13.在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是________．14.如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为6πcm．15.某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价________元．16.如图，矩形ABCD中，AB＝3√6，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是________．三、解答题（本大题共9小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内． 17.先化简，再求值：(1−1m−1)÷m 2−4m+4m 2−m，其中m ＝2+√2．18.4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：（一）数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min ）：（二）整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：（三）分析数据：补全下列表格中的统计量： （四）得出结论：（1）表格中的数据a ＝________，如果该校现有学生400人，估计等级为“B ”的学生有________人；（2）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为________；（3）假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读________本课外书．19.某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接待第四个月的进馆人次，并说明理由．20.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31∘，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45∘，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31∘≈0.52，cos31∘≈0.86，tan31∘≈0.60．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=m的图象交于A(2, 3)，B(−3, n)两点．x（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）请直接写出，当x取何值时，y1>y2？（3）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，请直接写出OP的长．22.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，CG⊥AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和BC^所围成的弓形的面积．23.一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示：其中A种蔬菜的5%，B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？（3）由于受市场因素影响，公司进货时调查发现，A种蔬菜每吨可多获利100元，B种蔬菜每吨可多获利m(200<m<400)元，但B种蔬菜销售数量不超过90吨．公司设计了一种获利最大的进货方案，销售完后可获利179000元，求m的值．24.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．的值是________，直线BD与直线（1）猜想观察：如图1，当α＝60∘时，BDCPCP相交所成的较小角的度数是________．（2）类比探究：如图2，当α＝90∘时，请写出BD的值及直线BD与直线CP相CP交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题：如图3，当α＝90∘时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在FE的延长线上，P，D，C三点在同一直线上，AC与BD相交于点M，DM＝2−√2，求AP的长．x2+bx+c经过点25.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49A(−5, 0)和点B(1, 0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．2020年湖北省襄阳市枣阳市阳光中学中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号填在题后括号内．1.在0，−1，2，−3这四个数中，绝对值最小的数是（）A.0B.−1C.2D.−3【解答】∵|−1|＝1，|0|＝0，|2|＝2，|−3|＝3，∴这四个数中，绝对值最小的数是0；2.如图，已知l1 // l2，∠A＝40∘，∠1＝60∘，则∠2的度数为（）A.40∘B.60∘C.80∘D.100∘【解答】∵l1 // l2，∴∠3＝∠1＝60∘，∴∠2＝∠A+∠3＝40∘+60∘＝100∘．3.下列等式成立的是（）A.2+√2=2√2B.(a2b3)2＝a4b6C.(2a2+a)÷a＝2aD.5x2y−2x2y＝3【解答】A、2+√2，无法计算，故此选项错误；B、(a2b3)2＝a4b6，正确；C、(2a2+a)÷a＝2a+1，故此选项错误；D、故5x2y−2x2y＝3x2y，此选项错误；4.如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（）A. B. C. D.【解答】左视图有2层3列，第一层有3个正方形，第二层有一个正方形；每列上正方形的分布从左到右分别是2，1，1个．5.下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A.B.C.D.【解答】A 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意． 6.若关于x 的不等式组{2x >3x −33x −a >5 有实数解，则a 的取值范围是（ ）A.a <4B.a ≤4C.a >4D.a ≥4【解答】解不等式2x >3x −3，得：x <3， 解不等式3x −a >5，得：x >a+53，∵不等式组有实数解， ∴a+53<3，解得：a <4，7.如图，在ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是菱形，这个条件是（ ）A.OM=12AC B.MB＝MOC.BD⊥ACD.∠AMB＝∠CND【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB−BM＝OD−DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵BD⊥AC，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是菱形．8.一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是()A.平均数B.中位数C.众数D.方差【解答】解：A，原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B，原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C，原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D，原来数据的方差为(1−2)2+2×(2−2)2+(3−2)24=12，添加数字2后的方差为(1−2)2+3×(2−2)2+(3−2)25=25，故方差发生了变化.故选D.9.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）A.2米B.3米C.4米D.5米【解答】设抛物线解析式：y＝a(x−1)2+403，把点A(0, 10)代入抛物线解析式得：a=−103，∴抛物线解析式：y=−103(x−1)2+403．当y＝0时，x1＝−1（舍去），x2＝3．∴OB＝3米．10.如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为（）A.32B.23√2 C.75D.√2【解答】延长AE交DF于G，如图：∵AB＝5，AE＝3，BE＝4，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，∵△ABE≅△CDF，∴∠BAE＝∠DCF，∵∠FCD+∠CDF＝90∘，∴∠BAE+∠CDF＝90∘，∵∠BAD＝∠ADC＝90∘，∴∠DAG+∠ADG＝90∘，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，∴∠GAD＝∠EBA，同理可得：∠ADG＝∠BAE，在△AGD和△BAE中，{∠EAB=∠GDA AD=AB∠ABE=∠DAG，∴△AGD≅△BAE(ASA)，∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，∴EG＝4−3＝1，同理可得：GF＝1，∴EF=√12+12=√2，二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请把答案填在题后横线上．11.“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210 000 000用科学记数法表示为________．【解答】将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．12.若分式方程x−mx−2=1x−2无解，则m等于________．【解答】方程去分母得：x−m＝1，解得：x＝m+1，当x＝2时分母为0，方程无解，即m+1＝2，m＝1时方程无解．13.在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是________．【解答】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的有6种情况，∴抽到的都是合格品的概率是：612=12．14.如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为6πcm．【解答】该莱洛三角形的周长＝3×60×π×6180=6π(cm)．15.某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价________元．【解答】故答案为：4．16.如图，矩形ABCD中，AB＝3√6，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是________．【解答】如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90∘，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3√6，∵E为AD中点，∴AE＝DE=12AD＝6由翻折知，△AEF≅△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90∘＝∠D，∴GE ＝DE ， ∴EC 平分∠DCG ， ∴∠DCE ＝∠GCE ，∵∠GEC ＝90∘−∠GCE ，∠DEC ＝90∘−∠DCE ， ∴∠GEC ＝∠DEC ，∴∠FEC ＝∠FEG +∠GEC =12×180∘＝90∘， ∴∠FEC ＝∠D ＝90∘， 又∵∠DCE ＝∠GCE ， ∴△FEC ∽△EDC ， ∴FEDE =ECDC ，∵EC =√DE 2+DC 2=√62+(3√6)2=3√10， ∴FE 6=√103√6， ∴FE ＝2√15，三、解答题（本大题共9小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内． 17.先化简，再求值：(1−1m−1)÷m 2−4m+4m 2−m，其中m ＝2+√2．【解答】原式=m−2m−1÷(m−2)2m(m−1) =m −2m −1⋅m(m −1)(m −2)2=mm−2，当m ＝2+√2时， 原式=√22+√2−2=√2√2=√2+1．18.4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：（一）数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min ）：（二）整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：（三）分析数据：补全下列表格中的统计量：（四）得出结论：（1）表格中的数据a＝________，如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有________人；（2）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为________；（3）假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读________本课外书．【解答】由已知数据知a＝5，b＝4，∵第10、11个数据分别为80、81，=80.5，∴中位数c=80+812=160（人），估计等级为“B”的学生有400×820故答案为：80.5，160；用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B，故答案为：B；估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读课外书80320×52＝13（本），故答案为：13．19.某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接待第四个月的进馆人次，并说明理由．【解答】设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：128 (1+x)2＝288解得x1＝0.5；x2＝−2.5（舍去）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．第四个月进馆人数为288(1+12)＝432（人次），由于432<500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．20.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31∘，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45∘，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31∘≈0.52，cos31∘≈0.86，tan31∘≈0.60．【解答】在Rt△CAD中，tan∠CAD=CDAD，则AD=CDtan31≈53CD，在Rt△CBD中，∠CBD＝45∘，∴BD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴53CD ＝CD +30， 解得，CD ＝45，21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 1＝kx +b 的图象与反比例函数y 2=mx 的图象交于A(2, 3)，B(−3, n)两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出，当x 取何值时，y 1>y 2？（3）若P 是y 轴上一点，且满足△PAB 的面积是5，请直接写出OP 的长． 【解答】，B(−3, n)在反比例函数y 2=mx 的图象上， ∴{3=m 2,n =m−3.，解得{m =6,n =−2.∴反比例函数的解析式为y 2=6x ，B(−3，- ． ∵A(2，，B(−3, −(1)在一次函数y 1＝kx +b 的图象上， ∴{2k +b =3,−3k +b =−2,解得，{k =1,b =1. ∴一次函数的解析式为y 1＝x +1． ((2)当−3<x <0或x >2时，y 1>y 2； ((3)对于一次函数y ＝x +1，令x ＝0求出y ＝1，即C(0,（4），OC ＝1， 根据题意得：S △ABP =12PC ×2+12PC ×3＝5， 解得：PC ＝2，当点P在y轴的正半轴上时，OP＝PC+OC＝3，当点P在y轴的负半轴上时，OP＝PC−OC＝1，综上所述，OP的长为3或1．22.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，CG⊥AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和BC^所围成的弓形的面积．【解答】证明：连接OC．∵CD⊥AB，CG⊥AE，CG＝CF，∴∠CAG＝∠BAC，∠AFC＝∠G＝90∘，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC．∴∠CAG＝∠ACO，∴OC // AG，∴∠OCG＝180∘−∠G＝90∘，∴CG是⊙O的切线；过点O作OM⊥AE，垂足为M，AE＝1，∠OMG＝∠OCG＝∠G＝90∘．则AM＝ME=12∴四边形OCGM为矩形，∴OC＝MG＝ME+EG＝2．在Rt △AGC 和Rt △AFC 中{CG =CF,AC =AC,∴Rt △AGC ≅Rt △AFC(HL)， ∴AF ＝AG ＝AE +EG ＝3， ∴OF ＝AF −OA ＝1，在Rt △COF 中，∵cos∠COF =OFOC =12．∴∠COF ＝60∘，CF ＝OC ⋅sin∠COF ＝2×√32=√3，∴S 弓形BC =60⋅π⋅22360−12×2×√3=23π−√3．23.一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A ，B 两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示：其中A 种蔬菜的5%，B 种蔬菜的3%须运往C 市场销售，但C 市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W 元（不计损耗），购进A 种蔬菜x 吨． （1）求W 与x 之间的函数关系式；（2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？（3）由于受市场因素影响，公司进货时调查发现，A 种蔬菜每吨可多获利100元，B 种蔬菜每吨可多获利m(200<m <400)元，但B 种蔬菜销售数量不超过90吨．公司设计了一种获利最大的进货方案，销售完后可获利179000元，求m 的值． 【解答】根据题意得：W ＝1200x +1000(140−x)＝200x +140000． 根据题意得，5%x +3%(140−x)≤5.8， 解得x ≤80． ∴0<x ≤80．又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200>0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000．∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．根据题意，得W＝(1200+100)x+(1000+m)(140−x)＝(300−m)x+ 140000+140m．∵140−x≤90，∴x≥50，∴50≤x≤80．①当300−m<0，即300<m<400时，W随x的增大而减小，∴当x＝50时，W取最大值，此时W＝50(300−m)+140000+140m＝179000，，解得m=8003<300，∵8003∴这种情况不符合题意；②当300−m＝0，即m＝300时，W＝182000>179000，这种情况不符合题意；③当300−m>0，即200<m<300时，W随x的增大而增大，∴当x＝80时，W取最大值，此时W＝80(300−m)+140000+140m＝179000，解得m＝250．综上可知m＝250．24.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）猜想观察：如图1，当α＝60∘时，BD的值是________，直线BD与直线CPCP相交所成的较小角的度数是________．（2）类比探究：如图2，当α＝90∘时，请写出BD的值及直线BD与直线CP相CP交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题：如图3，当α＝90∘时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在FE的延长线上，P，D，C三点在同一直线上，AC与BD相交于点M，DM＝2−√2，求AP的长．【解答】如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD＝∠CAB＝60∘，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≅△BAD(SAS)，∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60∘，=1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60∘，∴PDPC故答案为：1，60∘．=√2，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45∘；当α＝90∘时，BDCP理由如下：如图2，假设BD与AC相交于点M，与PC交于点N，∵线段AP绕点P逆时针旋转90∘得到线段DP，∴△PAD是等腰直角三角形，∴∠APD＝90∘，∠PAD＝∠PDA＝45∘，∴PAAD =cos∠PAD＝cos 45∘=√22．∵CA＝CB，∠ACB＝90∘，∴∠CAB＝∠PAD＝45∘，∴ACAB =cos∠CAB＝cos45∘=√22，∠PAD+∠CAD＝∠CAB+∠CAD，∴PAAD =ACAB，∠PAC＝∠DAB，∴△PAC∽△DAB，∴PCBD =PAAD=√22，∠PCA＝∠DBA，∴BDPC=√2．∵∠BMC＝∠BNC+∠PCA＝∠ABD+∠BAC，∠PCA＝∠DBA，∴∠BNC＝∠BAC＝45∘，即直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45∘．如图3，∵点E，F分别是CA，CB的中点，∴EF // AB，AE＝EC，∴∠PEA＝∠BAC＝45∘．∵P，D，C三点在同一直线上，∠APD＝90∘，∴∠APC＝90∘，PE＝AE＝EC，∴∠EPC＝∠ECP∵∠EPC+∠ECP＝∠PEA＝45∘，∠DAC+∠ECP＝∠PDA＝45∘，∴∠EPC＝∠ECP＝∠DAC，∴AD＝DC．设AP＝x，则PD＝x，在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD=√PA2+PD2=√2x，∴PC＝PD+CD＝(√2+1)x．由（2）知BDPC=√2，∴BD=√2PC＝(2+√2)x．∵∠ECP＝∠DAC，∠PCA＝∠DBA，∴∠DAC＝∠DBA，又∵∠ADM＝∠BDA，∴△ADM∽△BDA，∴ADBD =DMAD，即AD2＝DM⋅BD，∴(√2x)2＝(2−√2)(2+√2)x．解得x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去），∴AP＝1．25.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+bx+c经过点A(−5, 0)和点B(1, 0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．【解答】抛物线的表达式为：y=−49(x+5)(x−1)=−49x2−169x+209，则点D(−2, 4)；设点P(m, −49m2−169m+209)，则PE=−49m2−169m+209，PG＝2(−2−m)＝−4−2m，矩形PEFG的周长＝2(PE+PG)＝2(−49m2−169m+209−4−2m)=−89(m+174)2+252，∵−89<0，故当m=−174时，矩形PEFG周长最大，此时，点P的横坐标为−174；∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180∘−∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180∘−∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，ANBM =AMBD，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM时，∴△BDM≅△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM=256，而ANBM =AMBD，即AN6−256=2565，解得：AN=5536；③当DN＝DM时，∵∠DNM>∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM>∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1或5536．。