2023-2024学年陕西省高二下册综合评价数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年陕西省高二下册综合评价数学模拟试题
一、单选题
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若69a =，945S =，则数列{}n a 的公差为（）．
A ．2
B ．－2
C ．6
D ．4
【正确答案】D
【分析】由题可得95945S a ==，即得.【详解】∵95945S a ==，∴55a =，
∴数列{}n a 的公差为654a a -=．故选：D ．
2．在ABC 中，角
A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60A =︒，b =三角形有两个，则a 满足的条件是（）
A
3a <B a <<C ．3a <<D a <【正确答案】C
【分析】为使此三角形有两个，只需满足b sin A ＜a ＜b ，即可求a 范围．【详解】为使此三角形有两个，即b sin A ＜a ＜b ，
∴
2
＜a ＜3＜a ＜故选：C ．
本题考查三角形解的情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
3．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第19项是（
）
A ．200
B ．182
C ．180
D ．181
【正确答案】C
【分析】由已知数列可得n 为偶数时，22n n a =，n 为奇数时，212
n n a -=，然后逐个分析判断即可.
【详解】观察此数列可知，当n 为偶数时，22n n a =，当n 为奇数时，2
1
2
n n a -=.
所以，219191
1802
a -==，所以C 正确，故选：C.
4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足22
383829,0n a a a a a ++=<，则10S 等于（
）
A ．9-
B ．11-
C ．13-
D ．15
-【正确答案】D
【分析】根据等差数列的性质利用11038+=+a a a a ，代入等差数列的求和公式即可.
【详解】222
3838382()9a a a a a a ++=+= ，0n a <，
383a a ∴+=-，110103810()10()
1522
a a a S a +∴=
=-+=，故选：D
5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A =45°，a =6，b
B 的大小为（）
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
【正确答案】A
【分析】先由正弦定理求出sin B =1
2，可得B =30°或B =150°，再由a >b ，得A >B ，从而可求出B =30°.
【详解】由正弦定理得sin sin b a
B A
=，
即
6
sin sin 45B =
︒
，解得sin B =1
2，
又B 为三角形内角，所以B =30°或B =150°，又因为a >b ，所以A >B ，即B =30°.故选：A.
6．在等比数列{}n a 中，5sin15a ︒
=，则28a a =（
）A
B
C
D
【正确答案】A
【分析】根据等比中项性质和二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由等比数列的性质可得2
228511cos30
22sin 152
24
a a a ︒
︒-
-===
==.故选：A.
7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中错误的是（）
A ．1:17:2
a d =-B ．180
S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614
a a >【正确答案】D
【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可
判断选项D ，进而得出正确选项．
【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，
对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=，故选项B 正确；
对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：D
8．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
【正确答案】B
【分析】化简()()3a b c b c a bc +++-=，结合余弦定理可得3
A π
=
，再利用正余弦定理对
sin 2sin cos A B C =化简可得b c =，从而可判断出ABC 的形状
【详解】由()()3a b c b c a bc +++-=，得22()3b c a bc +-=，化简得222b c a bc +-=，
所以由余弦定理得2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
因为()0,A π∈，所以3
A π
=
，
因为sin 2sin cos A B C =，
所以由正余弦定理角化边得222
22a b c a b ab
+-=⋅，化简得22b c =，
所以b c =，
所以ABC 为等边三角形，故选：B
9．已知数列{}n a 的通项公式是()()132n
n a n =--，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=（
）
A ．3028-
B ．3027-
C ．3027
D ．3028
【正确答案】A
【分析】根据数列{}n a 的通项公式，
()()()1220191234201720182019a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++++++ ，利用并项求和法即可得出答
案.
【详解】解：由()()132n
n a n =--，
得()()
122019147106055a a a ++⋅⋅⋅+=-++-+++- ()()()147106055=-++-+++- 3100960553028=⨯-=-.
故选：A.
10．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则b
a
的取值范围是(
)
A ．(－2,2)
B ．(0,2)
C ．
D ．
2)
【正确答案】C
【详解】解：因为B ＝2A ，故
sinB=sin2A,
sin sin 22cos ,02,03sin sin 22cos 2cos 64B b A A A A A a A A A A ππ
θππ===<<<-<∴<<∴<< 故所求的范围是选C
11．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是正项等比数列，若11a b =，77a b =，则（
）
A ．44a b =
B ．55
a b <C ．88
a b >D ．99
a b <【正确答案】D
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，*n ∈N ，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列{}n b 的通项公式是关于n 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，如图所示当0d >
时，如下图所示，
当公差0d <
时，如下图所示，
如图可知当1177,==a b a b 时，44a b >，55a b >，88a b <，99a b <.故选：D
关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
12．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
S ，其中a 、b 、c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的对边.若2b =，
tan
C =
，则ABC 面积S 的最大值为
A ．3
B C
D
【正确答案】C
【分析】将已知等式进行化简并利用正弦定理可得c
，代入“三斜求积”公式即可计算得解．
【详解】∵sin tan
cos C
C C
=
=，则sin C sin B cos C +cos B sin C （B +C ）
A ，由正弦定理得c ，∵b ＝2，
△ABC 的面积S =
，∴当24a =即a ＝2时，△ABC 的面积S 故选C ．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中档题．
二、填空题
13．在ABC 中，60A =︒，2AB =，且ABC 的面积2
ABC
S =
，则边BC 的长为________.
【分析】利用面积公式1
sin 2
ABC
S
AB AC A =
⋅⋅，可求解AC ，再由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，可得解.
【详解】由面积公式：1sin 2ABC
S AB AC A =
⋅⋅=1
AC ∴=由余弦定理：
2221
2cos 4122132
BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=BC ∴=
本题考查了面积公式，余弦定理综合应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
14．已知等比数列{} n a 的前n 和为 n S ，若435,,a a a 成等差数列，且 22k S =，163k S +=-，则
2 k S +的值为_______________．
【正确答案】107
【分析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得234
1112a q a q a q =+，从
而求出2q =-或1q =，再根据163k S +=-，确定2q =-，进而求出212(85)170k k a qa ++==-⨯-=，代入记得.212 =63170107
k k k S S a ++++=-+=【详解】由题意可设等比数列{} n a 的公比为q ，首项为1a ，由435,,a a a 成等差数列可得：3452a a a =+，代入可得：
2341112a q a q a q =+，解得：2q =-或1q =，
又因为163k S +=-，易知2q =-，又因为22k S =，1185k k k a S S ++=-=-，
所以212(85)170k k a qa ++==-⨯-=，212 =63170107k k k S S a ++++=-+=，
故107.
本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了n a和n S的关系，同时考查了计算能力，属于中档题.
15．如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15 ，山脚A处的俯
角为45 ，已知60
BAC
∠= ，则山的高度BC为__________m
.
【正确答案】300m
【分析】首先在AMD
中，求得AM=MAC
△
，利用正弦定理求得
AC=ABC中，利用直角三角形的性质，即可求解.
【详解】在直角AMD中，可得的45,200
MAD MD
∠==
，所以
sin45
MD
AM==
因为MAC
△中，451560,180456075
AMC MAC
∠=+=∠=--=
，
所以18045
MCA AMC MAC
∠=-∠-∠=
，
由正弦定理，可得
sin
sin
MA AMC
AC
MCA
∠
==
∠
，
在直角ABC中，因为60
BAC
∠=
，可得sin300m
BC AC BAC
=∠=.
故300m
16．已知如图的一个数阵，该阵第n行所有数的和记作n a，
123
1111
1,11,11,
2242
a a a
==++=++++ ，数列{}n a的前n项和记作n S，则下列说法正确的是__________.
①1
342n n a -=-
②132n n n
a a +-=③522716
S =
④3462n n
S n =-+
【正确答案】①②③
【分析】根据等比数列的前n 项和公式可求得1342n n a -=-，判断①；利用1
3
42n
n a -=-可求出1n n a a +-，判断②；由1
3
42
n n a -=-可得01111143()222n n S n -=-+++ ，继而化简求得n S ，继而求得5S ，判断③④.【详解】由题意得
1121111(
)11()11111221111242221122
n n n n n a ---⎡⎤⎡
⎤⨯-⨯-⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦=++++++++=+-- 1
342n -=-
，①正确；
11333
4(4)222n n n n n
a a +--=-
--=，②正确；由1
3
42n n a -=-
可得01111143()222n
n S n -=-+++ ，即11
11()3243461212
[]
n n n S n n -⨯-=-⨯=-+-，则543227206216S =-+=，③正确，④错误，故①②③
三、解答题
17．已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2cos 3πsin 02b c A
B a
+⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭，ABC
外接圆的半径为.(1)求A 的值；
(2)若ABC
S
=ABC 的周长.
【正确答案】(1)2π
3
A =(2)
+【分析】（1）根据诱导公式和正弦定理边化角结合两角和的正弦公式即可求得1
cos 2
A =-，
即得答案；
（2）根据三角形外接圆半径和角A 可求得a ，再利用余弦定理求得b c +=答案.
【详解】（1）依题意由
()2cos 3πsin 02b c A
B a
+⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭，可得()2cos cos 0b c A a B ++=，
由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0B C A A B ++=，则()2sin cos sin 0C A A B ++=，故2sin cos sin 0C A C +=，而(0,π),sin 0C C ∈∴≠，故2cos 10A +=，则1
cos 2
A =-，
而()0,πA ∈，故2π3
A =
.
（2）因为ABC 外接圆的半径为R =2π3
A =，
故由正弦定理，得2sin a R A ==，
又12πsin 234
S bc bc ===96bc =，
由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，得222()336b c bc b c bc ++=+-=，
又96bc =，故2()432b c +=，则b c +=，
则ABC 的周长为18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
n S n =，数列{}n b 是等比数列，13b =，7427b b =．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【正确答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()23312
n n T n =+-．【分析】（1）由题意，利用1n n n a S S -=-，求得数列{}n a 的通项公式21n a n =-，设等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意列出方程求得3q =，进而求得数列{}n b 的通项公式；
（2）由（1）知21n a n =-，3n n b =，根据n n n c a b =+，结合等差、等比数列的求和公式，即
可求解.
【详解】（1）由数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，
当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，
当1n =时，111a S ==，适合上式，
所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-，
又由数列{}n b 是等比数列，设等比数列{}n b 的公比为q ，
因为13b =，7427b b =，可得633273q q =⨯，即327q =，解得3q =，
所以数列{}n b 的通项公式为111333n n n n b b q --==⨯=.
（2）由（1）知21n a n =-，3n n b =，又由n n n c a b =+，
数列{}n c 的前n 项和1212()()
n n n T a a a b b b =+++++++ ()2(121)3(13)2133312
n n n n n +--=+=-+-.19．ABC ∆的内角,,A B C
的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,22A A a +===.
（1）求角A 和边长c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.
【正确答案】（1）2
3
π，4；（2
【详解】试题分析：（1
）先根据同角的三角函数的关系求出tan A =从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12
CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果.试题解析：（1
）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=
，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭
，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.
(2)2222cos c b a ab C =+-Q
，1628422cos C ∴=+-⨯⨯
，
2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=
，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
12ABD ABC S S ∆∆∴==.20．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足14a =，12b =，2221a b =-，332a b =+.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前60项和60S .
【正确答案】（1）31n a n =+，2n n b =；（2）5014.
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，
由2242214542221d q d q d q d q +=⋅-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=⋅+=-⎩⎩
，∴2q =，3d =，
∴31n a n =+，2n n b =.
（2）当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前6项时，令71273121283
n n +<=⇒<，此时至多有41748+=项（不符）.
当{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项时，令831225685n n +<=⇒<，
且22，42，62是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前60项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的
前56项，再减去公共的三项.∴35760565556432222484417050142S ⨯⎛⎫=⨯+⨯++++=+= ⎪⎝⎭
.关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列{}n c 是由{}n a 和{}n b 中的哪些选项构成的，还要注意去掉公共项.
21．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13
A =，3cos 5C =
．（1）求索道AB 的长；
（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【正确答案】（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,4314
（单位：m/min ）【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13
A =，4sin 5C =，从而[]sin sin ()
B A
C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565
A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin A
B A
C C B =，得12604sin 104063sin 565
AC AB C B =⨯=⨯=（m ）．（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13
d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+，由于10400130
t ≤≤，即08t ≤≤，
故当35min 37
t =时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理
sin sin BC AC A B =，得12605sin 50063sin 1365
AC BC A B =⨯=⨯=（m ）．乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ．设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314
v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（单位：/min m ）范围内．
正弦、余弦定理在实际问题中的应用.
【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.。