河北省石家庄市第一中学高二数学下学期期末考试试题

石家庄市第一中学2015—2016学年第二学期高二年级期末考试数学（文）
试题
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U R =，集合2
{|20},{|1}A x x
x B x x =--≥=≥，则()R C A B =I ( )
A ．{|11}x x -<<
B ．{|12}x x ≤≤
C ．{|11}x x -≤<
D ．{|12}x x ≤< 2.在复平面内，复数431i
z i
+=
+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3.某年级有1000名学生，随机编号为0001,0002,,1000L ，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是 （ ）
A ．0116
B ．0927
C ．0834
D ．0726
4.先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为 （ ） A ．
112
B ．
1
6
C ．14
D ．
1
3
5．执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是
（ ）
A ．6k ≤
B ．7k ≤
C ．8k ≤
D ．9k ≤
6.已知等比数列{}n a 满足11352,14a a a a =++=， 则
135
111
a a a ++= （ ） A ．78 B ．74 C ．139 D ．1318
7.已知()cos 12a f x b x x π⎛⎫
=
+ ⎪-⎝⎭
，()221=-f ，则()
=+21f （ ） A ．0 B ．2- C ．4- D ．6-
8．若实数x ,y 满足010x y x x y +≥⎧⎪
≥⎨⎪-≥⎩
，则下列不等式恒成立的是 （ ）
A ．1y ≥
B ．2x ≥
C ．220x y ++≥
D ．210x y -+≥ 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．33 B ．60 C ．66 D ．54
10．设函数)102)(3
6
sin(
2)(<<-+
=x x x f π
π
的图像与x 轴交于
点A ，过点A 的直线l 与函数)(x f 的图像交于另外两点C B ,.则=+OA OC OB ).(( ) A ．16 B ．16- C ．32 D ．32-
11.设21,F F 为双曲线1:22
22=-b
y a x C 的左，右焦点，P ，Q 为双曲线C 右支上的两点，
若Q F PF 222=，且01=⋅PQ Q F ，则该双曲线的离心率是（ ） A ．
15
3
B ．173
C ．52
D ．72
12. 函数()(sin cos ),(02016)x
f x e x x x π=-≤≤的各极小值之和为（ ）
A ． 220162(1)1e e e πππ---
B ． 21008(1)
1e e e πππ
--- C ．210082(1)
1e e e πππ
--- D ．220142(1)1e e e πππ---
第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC AA ===，点,,M N P 分别是棱
1AB BC CC 、、的中点，则三棱锥1C MNP -的体积为 .
14.若圆2
2
2
:(0)C x y r r +=>的周长被直线2
2
(1)2(1)0()t x ty t t R -+-+=∈分为1:3两部分，则r 的值是 .
15．设()21,f x x =+1()(),f x f x =1()(())n n f x f f x +=，*n N ∈若()n f x 的图象经过点
(,1)n a ，则n a =__ ．
16．锐角三角形ABC 中，三个内角为,,A B C ，对应的三边为,,a b c ，
5cos 2
c b A
b c +=
，则 tan tan tan tan A A
B C
+= . 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的第一项11a =，且1()1n
n n
a a n N a *+=∈+． （Ⅰ）设1
n n
b a =
，求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）数列{}n c 的前n 项和记为n T ，若1n n n c a a +=⋅，求n T 的取值范围． 18．(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间
[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．
质量指标值
0.012
0.004
0.019
0.030 15 25 35 45 55 65 75 85 0
频率
组距
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间
[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从
中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[)45,65内的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，
23AB =，090BAD ∠=，,M O 分别为CD 和AC 的中点，PO ⊥平面ABCD .
（Ⅰ）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）是否存在线段PM 上一点N ，使用//ON 平面PAB ，若存在，求PN
PM
的值；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知21,F F 分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左，右焦点，B A ,分别为椭圆的上，下顶点．过椭
圆的右焦点2F 的直线在y 轴右侧．．交椭圆于C ，D 两点．CD F 1∆的周长为8，且直线BC AC ,的斜率之积为4
1
-
. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设四边形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围．
x
y O
A
B
C
D
F 1
F 2
21．（本小题满分12分） 已知函数3
21()2,()()3
x f x x x ax b g x e cx d =
+++=+，且函数()f x 的导函数为()f x '，若曲线()f x 和曲线()g x 都过点(0,2)A ，且在点A 处有相同的切线42y x =+.
（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；
（Ⅱ）若2x ≥-时，()()2,mg x f x '≥-求实数m 的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分） 选修4—1:（几何证明选讲）
如图，ABC ∆是直角三角形，0
90ABC ∠=．以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ,点D 是BC 边的中点．连OD 交圆O 于点M .
（Ⅰ）求证：O ，B ，D ，E 四点共圆； （Ⅱ）求证：22DE DM AC DM AB =⋅+⋅.
23．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆:C 1212x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数)和直线1cos :1sin x t l y t αα=-+⎧⎨=+⎩ (其中t 为参数，α为直线l 的
倾斜角)．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）如果直线l 与圆C 有公共点，求α的取值范围.
E
C
D
O
B
A
M
24. （本小题满分10分） 选修4-5不等式证明选讲
已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-=． （Ⅰ）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；
（Ⅱ）当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围．
石家庄市第一中学
2015—2016学年第二学期高二年级期末考试数学（文）试题答案
一、选择题：每小题5分，共60分．
1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D 9．B 10．C 11．B 12．D 二、填空题：每小题5分，共20分． 13．
1
8
14．2 15．121n -- 16．12
三、解答题：共6小题，共70分． 17．（本小题满分12分） 解：（1）11
,1n n n n n
a a
b a a +==
+Q ，11n n b b +∴-=，11b ={}n b ∴是等差数列． （2）1,n n n b b n a =
=Q ，1n a n
∴=； 111(1)1n c n n n n =
=-++g ，111n T n ∴=-+，1,12n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭1,12n T ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设区间
[]75,85内的频率为x ，
则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．依题意得
()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =．
所以区间[]75,85内的频率为0.05．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1． 用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，
则在区间[)45,55内应抽取0.3
630.30.20.1⨯
=++件，记为1A ，2A ，3A ．
在区间[)55,65内应抽取0.2
620.30.20.1
⨯=++件，记为1B ，2B ．
在区间[)65,75内应抽取0.1
610.30.20.1
⨯=++件，记为C ．设“从样本中任意抽取2件产品，这2
件产品都在区间[)45,65内”为事件M ，
则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，{}21,A B ，
{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共15种． 事
件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A
B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为
102
153
=．
19．（本小题满分12分）
（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，
(23,0,0)B ，(23,2,0)C ，(0,4,0)D ，所以CD 中点(3,3)M ，则(3,3,0)BM =-u u u u r
，
(23,2,0)AC =u u u r ，则(3)(23)320BM AC ⋅=-⨯+⨯=u u u u r u u u r
，
所以BM AC ⊥.
又PO ⊥平面ABCD ，所以BM PO ⊥，由AC PO O =I ， 所以BM ⊥平面PAC ，
又BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAC .
（2）法一：设OP h =，则3,1,0)O ，(3,1,)P h ，则(0,2,)PM h =-u u u u r
，
设平面PAB 的一个法向量为000(,,)n x y z =r ，(3,1,)AP h =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r
，
所以00
n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r
，则00003020x y hz x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，令01z =， 得(0,,1)n h =-r
，
设(0,2,)PN PM h λλλ==-u u u r u u u u r
(01)λ≤≤，则 (0,2,)ON OP PN h h λλ=+=-u u u r u u u r u u u r
，
若//ON 平面PAB ，则20ON n h h h λλ⋅=-+-=u u u r r ，解得1
3
λ=.
法二：（略解）：连接MO 延长与AB 交于点E ，连接PE ，若存在//ON 平面PAB ，则//ON PE ， 证明
1
3
OE EM =即可.
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设),(),,(2211y x D y x C ，由题意得),0(),,0(b B b A -，且2,84==a a 由41
2
2212211111-=-=-=+⨯-=⋅a
b x b y x b y x b y k k BC
AC ， 得14
12
2
==a b ，∴椭圆的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)0,3(2F ，故设直线3:+=my x CD ，
代入14
22
=+y x 得0132)4(22=-++my y m ， 则41
,432221221+-=+-=+m y y m m y y 4142
221++=-m m y y ， ,0,021>>x x 得302<≤m 4
3
832)(22121+=
++=+m y y m x x
∴面积=++=∆∆∆OCD BOC AOD S S S S 21⨯⨯++⨯321
4382m 4
142
2++m m =4)21(3222+++m m 令)4,3[,212∈++=
t m t ，则473
23
)2(322-+=
+-=
t
t t t
S 在)4,3[∈t 上递减 所以]2
3
3,738(
∈S . 21．（本小题满分12分）
（1）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''==== 而2
()4,()()x
f x x x a
g x e cx d c ''=++=++ 故2,2,4,2b d a c ==== （2）令2
()2(1)42x
x me x x x ϕ=+---， 则()2(2)242(2)(1)x
x
x me x x x me ϕ'=+--=+- 因(0)0ϕ≥，则1m ≥
令()0x ϕ'=得12ln ,2x m x =-=-
(1)若21m e <≤，则120x -<≤，从而1(2,)x x ∈-时()0x ϕ'<；当1(,)x x ∈+∞时()0,x ϕ'>即
()x ϕ在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()x ϕ在[2,)-+∞的最小值1()x ϕ
1
22211111111111()2(1)4222422(2)0x x me x x x x x x x x x x ϕ=+---=+---=--=-+≥
故当2x -≥时()0,x ϕ≥即()()2mg x f x '+≥恒成立。

(2)若2m e =，则22
()2(2)()x x e x e e ϕ-'=+-，从而当2x -≥时()0x ϕ'≥，即()x ϕ在[2,)-+∞单调递增，而(2)0ϕ-=，故当2x -≥时()0,x ϕ≥即()()2mg x f x '+≥恒成立。

(3)若2m e >，则2
22(2)222()0me e m e ϕ---=-+=--<，从而当2x -≥时，()()2
mg x f x '+≥不可能恒成立
综上：m 的取值范围是2
[1,]e
考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22解：（1）连接BE ，则EC BE ⊥
又的中点是BC D BD DE =∴ 又OD OD OB OE ==∴, ODB ODE ∆∆∴≌
090=∠=∠∴OED OBD
B O E D ,,,∴四点共圆。

（2）延长DO 交圆于点H
OH
DM DO DM OH DO DM DH DM DE ⋅+⋅=+⋅=⋅=)(2Θ
11 )21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴
AB DM AC DM DE ⋅+⋅=∴22
23解：（Ⅰ）22(1)(1)2x y -+-= 即22220x y x y +--=
所以22sin()4π
ρθ=+
（Ⅱ）当2π
α=时，直线与圆没有公共点
当2π
α≠时，直线方程为1tan (1)y x α-=+ 即tan (tan 1)0
x y αα⋅-++= 当直线与圆有公共点时，22tan 1α≤+，解得1tan 1α-≤≤
∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是3[0,][,)44ππ
πU ．
24.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域
即解05|5||1|>--+-x x 不等式 …2分
解得：或 ,所以定义域为21
|{<x x 或}211
>x
（Ⅱ）设函数)(x f 的定义域为A ，因为函数)(x f 的值域为R ，所以A ⊆+∞),0(
由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1| 所以04≤-a 所以4≥a。