2021年北京密云县北庄中学高二数学理期末试题含解析

2021年北京密云县北庄中学高二数学理期末试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据圆心C到直线l的距离正好等于半径，可得直线和圆相切．
【解答】解：由于圆心C（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为=2，正好等于半径，
故直线和圆相切，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
利用利用等中间值区分各个数值大小。

【详解】；
；。

故。

故选A。

【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。

3. 下列函数中，图像的一部分如右上图所示的是（）
A．B．
C． D．
参考答案：
D
略
4. O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（）
A．2 B．2C．2D．4
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于
2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．
【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x
∴2p=4，可得=，得焦点F（）
设P（m，n）
根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，
即m+=4，解得m=3
∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24
∴n==
∵|OF|=
∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2
故选：C
【点评】本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
5. 若且，则的最小值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
6. 用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（）
A．7 B．5 C．4 D．3
参考答案：
B
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样法按等距离的规则，故可转化成一个等差数列，公差为8，第16项为125的等差数列，求首项，然后根据通项公式求出即可．
【解答】解：由系统抽样知按等距离的规则可看成公差为8，第16项为125的等差数列，求首项
a16=a1+15×8=125
∴a1=5
第一组确定的号码是5．
故答案为：B
7. 直线是不互相垂直的异面直线，平面满足，且，则这样的平面：（）
A．不存在 B．只有一对 C．有有限对 D．有无数对
参考答案：
D
8. 袋中有3个红球，7个白球，从中无放回地任取5个，取到1个红球就得1分，则平均得分为（）
A．3.5分 B.2.5分 C.1.5 分 D.0.5分
参考答案：
C
略
9. 已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为( )
A．7 B．15 C．30 D．31
参考答案：
D
【考点】数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解
（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求
【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1
a2=2a1+1=3
a3=2a2+1=7
a4=2a3+1=15
a5=2a4+1=31
（法二）∵a n=2a n﹣1+1
∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31
（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）
∵a1+1=2
∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴a n+1=2?2n﹣1=2n
∴a n=2n﹣1
∴a5=25﹣1=31
故选：D
【点评】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用
10. 一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必定过点（）
A. （4，0）
B. （2，0）
C. （0，2）
D. （0，-2）
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f（x）=，x∈[0，]的最大值为．
参考答案：
【考点】运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数．
【分析】由两角和与差的正弦函数公式化简可得f（x）=，设t=tanx+1，由
x∈[0，]，则t=tanx+1∈[1，2]，f（x）=，从而可求当t=1时，f（x）min 的值．
【解答】解：∵f（x）===，设t=tanx+1，由x∈[0，]，则t=tanx+1∈[1，2]，
∴f（x）==+，
∴当t=1时，f（x）min==．
故答案为：．
12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．
参考答案：
4
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，
它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，
这个几何体的体积：
故答案为4．
【点评】本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．
15. 函数y=x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为
参考答案：
略
14. 设常数．若的二项展开式中项的系数为，则
．
参考答案：
15. 已知都是正实数，函数的图象过点，则的最小值是 .
参考答案：
略
16. 已知函数在区间（）上存在零点，则n= ▲．
参考答案：
3
根据题意，可以判断出是定义在上的增函数，
根据函数零点存在性定理，可以得到其若在区间（）上存在零点，
则有，经验证，，
，
所以函数在上存在零点，故.
17. 如图，直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f（4）+f'（4）的值等于．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．
【分析】根据题意，结合函数的图象可得f（4）=5，以及直线l过点（0，3）和（4，5），由直线的斜率公式可得直线l的斜率k，进而由导数的几何意义可得f′（4）的值，将求得的f（4）与f′（4）的值相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（4）=5，
直线l过点（0，3）和（4，5），则直线l的斜率k==
又由直线l是曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线，则f′（4）=，
则有f（4）+f'（4）=5+=；
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知复数.
(1)若，求；
(2)取什么值时，是纯虚数.
参考答案：
(1)，
解得，
所以.
(2)，
解得，
所以.
19. 如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．
（1）求正四棱锥的体积V（x）；
（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值？
参考答案：
解（1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则
由于切去的是等腰三角形，所以AN=，NO=1﹣x，
在直角三角形AON中，AO===，
所以V（x）=??[2（1﹣x）]2?=（1﹣x）2，（0＜x＜1）．
（不写0＜x＜1扣1分）
（2）V′（x）=[（2x﹣2）+]=（x﹣1），
令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=．
当x∈（0，）时，V′（x）＞0，所以V（x）为增函数；
当x∈（，1）时，V′（x）＜0，所以V（x）为减函数．
所以函数V（x）在x=时取得极大值，此时为V（x）最大值．
答：当x为m时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值．
略
20. 直线:y=kx+1,抛物线：y=4x,当k为何值时，直线与抛物线有
（1）一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点；（12分）
参考答案：
略
21. 已知平面向量.
（1）求证；
（2）若存在不同时为零的实数和，使得向量，且，试求函数解析式；
（3）根据（2）的结论，讨论关于的方程的解的情况.
参考答案：
略
22. 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。

参考答案：
解析：设抛物线的方程为，则消去得
，
则。