高中函数专题讲义

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函数讲义 一、考试内容
二、 映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数的应用举例。

三、主要内容
1. 函数的单调性
单一函数：（1）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2
121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
复合函数：
如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
若函数)(x f y =是偶函数，则ƒ(x)=ƒ(-x),若函数)(x f y =是奇函数，则 ƒ(x)=-ƒ(-x)
注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数
)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.
对称性
对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=。

若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a 对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.
3. 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-
(2)()f a x f x ⇔-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=
对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.
4. 两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=
对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.
25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数
b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =⇔=-)()(1.
27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k y -=
-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f k
y -=的反函数. 6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，
()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
0()(0)1,lim 1x g x f x
→==. 7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；
（2）0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()
(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-
(()0)f x ≠,
或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()
(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=
+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；
(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；
(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.
8. 分数指数幂
(1)m n a =
（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1
m
n m
n a a
-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 9. 根式的性质
（1
）n a =.
（2）当n
为奇数时，a =；
当n
为偶数时，,0||,0
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.
10. 有理指数幂的运算性质
(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈.
(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.
(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.
注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
34.对数的换底公式
log log log m a m N N a
= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m
=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 11. 对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+;
(2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.
注：设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
若0a >,0b >,0x >,1x a
≠
,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a
+∞上log ()ax y bx =为增函数. (2)(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则
（1）log ()log m p m n p n ++<.
（2）2log log log 2
a a a m n m n +<. 三、主要问题
1、定义域
普通函数
1．函数 的定义域是R ，则k 的取值范围是（ ）。

2． A 、k ≤0或k ≥1 B 、k ≥1 C 、0≤k ≤1 D 、0<k ≤1
3．函数)(x f =)13(-x +)21(x -+4，则x 的取值范围是__________
4．函数)(x f =)352(2
1
log -+--x x x ,则x 的取值范围是__________ 5．)(x f =)(1
x x -,则x 的取值范围是__________
抽象函数 1、若函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是（ ）。

A 、
B 、[-1，4]
C 、[-5，5]
D 、[-3，7]
2、已知函数的定义域为[-1，1]，求ƒ（2x-1）的定义域
3、已知)(x f 的定义域是[-2，4]，则g(x)=)(x f +ƒ(-x)的定义域是
_________________
4、已知ƒ（1+x ）的定义域为[0，3]，求)(x f 的定义域
与一元二次函数的联系
1、)(x f =2
41
23+--ax a ax x 的定义域为R ，求a 得取值范围 2、2、)(x f =862++-m mx m x 的定义域为R ，求m 得取值范围
总结：求函数的定义域，就要把含有所求变量的每一个定义域都求出来；注意强化整体意识。

2、值域
配方法：求函数
]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

判别式法 ：1、求函数22
x 1x x 1y +++=的值域。

0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈
0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 2
1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡23,21 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

∵2x 0≤≤
0)x 2(x x y ≥-+=∴
21y ,0y min +==∴代入方程（1）
解得：]
2,0[22222x 41∈-+=
即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+
小tips
用判别式法求定义域时，应首先判断自变量的取值范围
反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数 求函数6x 54
x 3++值域。

函数有界性法 求函数
3x sin x
cos y -=
的值域。

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为： y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即1y y 3)x (x sin 2+=
β+
∵R x ∈
∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即11y y 312≤+≤
- 解得：
42y 42≤≤-
换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥
则1t x 2+= ∵
43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知
当0t =时，1y min =
当0t →时，+∞→y
故函数的值域为),1[+∞ 数形结合法 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。

3、单调性
(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性
1、根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x 3+1在R 上是减函数
2、若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_
3、已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－
3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2
+3x －4(x ∈B )的最大值 4、的最小值试求上的单调性在区间讨论13
1)2(),0(1)()1(+++=+∞+
=x x y x x x f 复合函数
.322的单调区间求函数+--=x x y
.log log 312
31的单调区间求函数x x y +=
定义在R +上的函数f(x)满足①f(2)=1，②f(xy)=f(x)+f(y) ③当x>y 时，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)≤2，求x 的取值范围．
4、奇偶性与周期性
1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）
A ．3
1=
a ，
b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0
2、若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，
则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）
A ．最小值－5
B ．最大值－5
C ．最小值－1
D ．最大值－3
3、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
4、设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．
5、对称性与周期性
1、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2
2、设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，
且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f <<
3、已知函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则
2(log 10)f 的值为
4、设()f x 在R 上是奇函数，当x>0时，()f x =32-x
，则ƒ（-2)=_____
5、已知定义域为R 的偶函数()f x 满足 ƒ（x+1)=ƒ(x-1),x ∈[0,1]时，()f x =x ，则()f x =x log 3
的实数解的个数有————————
6、抽象函数
1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2、设函数()f x 对任意121
,[0,]2
x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x =
已知(1)2f =，求1()2f ,1
()4f 的值.
3、 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.
（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.
4、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

5、函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是
减函数。

证明：(1)0f =；（2）若()(3)2f x f x +-≥成立，求x 的取值范围。

6、函数图象 1、
3、.函数y ＝1－
1
1
-x 的图象是( )
已知函数f (x )=ax 3+bx 2
+cx +d 的图像如图，求b 的范围
7、指数函数与对数函数的考查 1、以下四个数中的最大者是（ ）
A ．（ln2）2
B ．ln （ln2）
C ．ln 2
D ．ln2
2、设2
()lg(
)1f x a x
=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞
3、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341
,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4、函数|1||
|ln --=x e
y x 的图象大致是（ ）
2
1o
y
x
5、将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上
平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。

6、若关于x 的方程m x x =•-+-+-|1||
1|5425
有实根，则实数m 的取值范围是________。

7、根据函数|12|-=x y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x =-|12|无解有一解有两解
8、函数图象的变换
1、要得到函数y ＝sin (2x －π
3
)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )
(A)向左平移 π3 个单位 (B)向右平移π
3 个单位
(C)向左平移π6 个单位 (D)向右平移π
6 个单位
2、设函数f (x )＝1－1－x 2 (-1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是( )
3、将y ＝2x 的图象( )
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位
再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y ＝log 2(x +1)的图象。

4、已知函数y ＝f(x)的图象如图2(甲)所示，y ＝g(x)的图象如图2(乙)所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图3中的 ( )
5、已知图4(1)中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图4(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )
(A)y ＝f(|x|) (B)y=|f(x)| (C)y ＝f(-|x|) (D)y ＝-f(|x|) 6、：已知函数f(x)＝ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图5，则 ( ) (A)b ∈(-∞，0) (B)b ∈(0，1) (C)b ∈(1，2) (D)b ∈(2，+∞)
9、函数综合大题
1、已知12)(-=x
x f 的反函数为)(1
x f -，)13(log )(4+=x x g .
(1)若)()(1
x g x f
≤-，求x 的取值范围D ；
(2)设函数)(2
1
)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求函数)(x H 的值域.
2、设二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足下列条件：
①当x ∈R 时，()f x 的最小值为0，且f (x －1)=f (－x －1)成立； ②当x ∈(0,5)时，x ≤()f x ≤21x -+1恒成立。

（1）求(1)f 的值； （2）求()f x 的解析式；
（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x ∈[]1,m 时，就有
()f x t x +≤成立。

3、对于函数f (x )= a -
2
21
x +(a ∈R )： （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？
4、设a 为实数，函数2
()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值
范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算 步骤)不等式()1h x ≥的解集.
5、已知定义域为R 的函数a
b x f x x ++-=+122)(是奇函数.
（1）求a,b 的值；
（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.。