2025届浙江省杭州市采荷中学八年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

2025届浙江省杭州市采荷中学八年级数学第一学期期末综合测
试试题
试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．4的算术平方根为（ ）
A ．2±
B ．2
C ．2±
D ．2 2．若m+
1m =5，则m 2+21m 的结果是（ ） A ．23 B ．8 C ．3 D ．7
3．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
4．将数据0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A ．72510-⨯
B ．80.2510-⨯
C ．72.510-⨯
D ．62.510-⨯
5．若等腰三角形的周长为26cm ，底边为11cm ，则腰长为（ ）
A ．11cm
B ．11cm 或7.5cm
C ．7.5cm
D ．以上都不对
6．根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误．．
的是（ ）
A ．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B ．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C ．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D ．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
7．一次函数y kx k =+的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若2
92(1)16x k x --+是完全平方式，则k 的值为（ ）
A ．－5或7
B ．7±
C ．13或－11
D ．11或－13 9．下列四个图形中，与图1中的图形全等的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：
(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；(3)CG EG ；(4) BF BC =中，一定成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( )．
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
12．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于（ ）
A ．12
B ．12或15
C ．15
D ．15或18
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若点(,1)M m -关于y 轴的对称点是(2,)N n ，则m n +的值是__________．
14．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产___台机器．
15．如图，在扇形BCD 中，∠BCD=150°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧交BD 于点A ，连接AC ，若BC=8，则图中阴影部分的面积为________
16．式子21
x x -在实数范围内有意义的条件是__________． 17．在△ABC 中，∠A=60°，∠B=∠C ，则∠B=______．
18．已知2100x x +-=，则()()()2
213121x x x --+--的值为_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，点G 为AD 的中点，连接BG 并延长交CD 的延长线于点F ，连接AF ．
（1）求证：DF DC =；
（2）当DG DC =，120ABC ∠=︒时，请判断四边形ABDF 的形状，并证明你的结论．
（3）当四边形ABDF 是正方形时，请判断FBC ∆的形状，并证明你的结论．
20．（8分）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍.
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若租用甲、乙两车各运12趟需支付运费4800元，且乙车每趟运费比甲车少200元.求单独租用一台车，租用哪台车合算？
21．（8分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 例如：某三角形三边长分别是2，4，10，因为()22224210+=⨯
，所以这个三角形是奇异三角形．
（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是______命题（填“真”或“假命题”）；
（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，且b a >，若Rt ABC ∆是奇异三角形，求::a b c ；
（3）如图，以AB 为斜边分别在AB 的两侧作直角三角形，且AD BD =，若四边形ADBC 内存在点E ，使得AE AD =，CB CE =．
①求证：ACE ∆是奇异三角形；
②当ACE ∆是直角三角形时，求DBC ∠的度数．
22．（10分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（﹣
4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；并写出B 点坐标；
（2）请作出△ABC 关于y 轴对称的△A'B'C'；
（3）请作出将△ABC 向下平移的3个单位，再向右平移5个单位后的△A 1B 1C 1；则点A 1的坐标为_____；点B 1的坐标为______，
23．（10分）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？
24．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°．
（1）如图1，若直线AD 与BC 相交于M ，过点B 作AM 的垂线，垂足为D ，连接CD 并延长BD 至E ，使得DE ＝DC ，过点E 作EF ⊥CD 于F ，证明：AD ＝EF +BD ． （2）如图2，若直线AD 与CB 的延长线相交于M ，过点B 作AM 的垂线，垂足为D ，连接CD 并延长BD 至E ，使得DE ＝DC ，过点E 作EF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，探究：AD 、EF 、BD 之间的数量关系，并证明．
25．（12分）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m 元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n 元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x 吨（x>14），应交水费为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式；
26．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式：________； （2）利用（1）中的结论．计算：2a b +=，34
ab =，求-a b 的值； （3）根据（1）的结论．若2310x x -+=．求21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
=2，
而2，
，
故选B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
2、A
【解析】因为m+1
m
=5，所以m2+
2
1
m
=(m+
1
m
)2﹣2=25﹣2=23，故选A．
3、D
【分析】轴对称图形的概念是：某一图形沿一直线折叠后的两部分能够完全重合，这样的图形是轴对称图形，根据这一概念对各选分析判断，利用排除法求解即可．
【详解】A．不是轴对称图形，所以本选项错误；
B．不是轴对称图形，所以本选项错误；
C．不是轴对称图形，所以本选项错误；
D．是轴对称图形，所以本选项正确．
故选D
【点睛】
本题考查的知识点是轴对称图形的概念，利用轴对称图形的特点是“对折后两部分能够完全重合”逐条进行对比排除是关键．
4、D
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：60.0000025 2.510-=⨯．
故选：D ．
【点睛】
此题考查科学记数法，解题关键在于掌握其一般形式.
5、C
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵11cm 是底边， ∴腰长＝12（26﹣11）＝7.5cm ， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.
6、C
【解析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
【详解】解：A ．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确； B ．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为
，超过，此选
项正确；
C .每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占，此选项错误；
D .每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是
，此选项正确；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
7、A
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可
【详解】解：当k>0时，函数图象经过一、二、三象限；当k<0时，函数图象经过二、
三、四象限，故A 正确.
故选A.
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b （k ≠0）中，当k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限是解答此题的关键.
8、C
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵9x2-2（k-1）x+16=（3x）2-2（k-1）x+42，
∵9x2-2（k-1）x+16是完全平方式，
∴-2（k-1）x=±2×3x×4，
解得k=13或k=-1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9、C
【分析】直接利用全等形的定义解答即可．
【详解】解：只有C选项与图1形状、大小都相同．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了全等形的定义，形状、大小都相同图形为全等形．
10、B
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD；只有△ABC是等腰直角三角形时AD=CD，CG=EG；利用“角角边”证明△BCE和△BFE全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC．【详解】∵EF∥AC，∠BCA=90°，
∴∠CGE=∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠CEG=90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，
∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），
∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；
只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，错误；
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠EBF，
在△BCE 和△BFE 中，
EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BCE ≌△BFE （AAS ），
∴BF=BC ，故（4）正确，
综上所述，正确的有（1）（4）共2个．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．
11、B
【解析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：x y x y x y
--+ ()()()()()()
x x y y x y x y x y x y x y +-=--+-+ 22
()()
x xy xy y x y x y +-+=-+ 22
22x y x y
+=-． 故从第②步开始出现错误．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12、C
【分析】只给出等腰三角形两条边长时，要对哪一条边是腰长进行分类讨论，再将不满足三角形三边关系的情况舍去，即可得出答案．
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，
∴①当腰为6时，三角形的周长为：66315++=；
②当腰为3时，336+=，三角形不成立；
∴此等腰三角形的周长是1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的概念和三角形的三边关系，当等腰三角形腰长不确定时一定要分类讨论，得到具体的三条边长后要将不满足三边关系的答案舍去．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-3
【分析】根据关于y 轴对称的点,纵坐标相同, 横坐标互为相反数求出m 、n 的值，再计算m+n 的值即可.
【详解】∵点(,1)M m -关于y 轴的对称点是(2,)N n ，
∴m=-2，n=-1，
∴m+n=-2-1=-3.
故答案为-3.
【点睛】
本题主要考查关于坐标轴对称的点的特点.关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变,纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变,横坐标互为相反数. 14、1
【详解】设现在平均每天生产x 台机器，则原计划可生产（x ﹣52）台，
根据现在生产622台机器的时间与原计划生产452台机器的时间相同，等量关系为：现在生产622台机器时间=原计划生产452台时间，从而列出方程：
600450x x 50=-， 解得：x=1．
检验：当x=1时，x （x ﹣52）≠2．
∴x=1是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产1台机器．
15、16π+
【分析】连接AB ，判断出ABC 是等边三角形，然后根据扇形及三角形的面积公式，即可求得阴影部分的面积为：()S S S S
ABC BCD ABC =--阴影扇形扇形． 【详解】解：连接AB ，
∵ BC AC AB 8===，
∴ ABC 是等边三角形，
∴ S ABC 18431632
=⨯⨯=ABC 60∠=， ∴ ()ABC BCD ABC S S S S =--阴影扇形扇形
22
150π860π8163360360⎛⨯⨯=-- ⎝ 16π163=+故答案为：16π163+.
【点睛】
本题考察扇形中不规则图形面积的求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 16、1x >
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案． 1
x -在实数范围内有意义的条件是：x-1＞0， 解得：x ＞1．
故答案为：1x >．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
17、60°
【分析】根据条件由三角形内角和可得∠A+∠B+∠C=180°；接下来根据∠A=60°，∠B=∠C ，进而得到∠B 的度数.
【详解】解：∵∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角，
∴∠A+∠B+∠C=180°
. ∵∠A=60°，∠B=∠C ，
∴∠B=60°，
故答案为：60°
. 【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意三角形内角和等于180°．
18、12
【分析】首先分别利用完全平方公式和多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项即可得到最简形式，接着利用整体思想代入即可求出结果.
【详解】解：原式=4x2-4x+1-3x2+5x+2-1
=x2+x+2，
∵x2+x-10=0，
∴x2+x=10，
∴原式=10+2=12；
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）平行四边形ABDF是矩形，见解理由析；（3）△FBC为等腰直角三角形，证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质，证明AB＝CD，然后通过证明△AGB≌△DGF 得出AB=DF即可解决问题；
（2）结论：四边形ABDF是矩形．先证明四边形ABDF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
（3）结论：△FBC为等腰直角三角形．由正方形的性质得出∠BFD=45°,∠FGD=90°，根据平行四边形的性质推出BF=BC即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠FDG=∠BAG，
∵点G 是AD的中点，
∴AG=DG，
又∵∠FGD=∠BGA，
∴△AGB≌△DGF（ASA），
∴AB=DF，
∴DF=DC．
（2）结论：四边形ABDF是矩形，
理由：∵△AGB≌△DGF，
∴GF=GB，
又∵DG=AG，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵DG=DC，DC=DF，
∴DF=DG，
在平行四边形ABCD中，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠FDG=60°，
∴△FDG为等边三角形，
∴FG=DG，
∴AD=BF，
∴四边形ABDF是矩形．
（3）当四边形ABDF是正方形时，△FBC为等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABDF是正方形，
∴∠BFD=45°,∠FGD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FBC =∠FGD = 90°，
∴∠FCB = 45°=∠BFD，
∴BF=BC，
∴△FBC为等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20、（1）甲18趟，乙36趟；（2）乙
【分析】（1）设甲需要x趟，则乙需要2x趟，设总工作量为单位1，利用等量关系式：甲完成的工作+乙完成的工作=1列方程解答；
（2）设甲每趟y元，则乙每趟(y－200)元，利用等量关系式：甲的费用+乙的费用=总费用，列方程可求得甲、乙一趟的费用，然后分别算出甲、乙的总费用，比较即可. 【详解】（1）设甲单独运需要x趟，则乙需要2x趟
则方程为：121112x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
解得：x=18
故甲需要18趟，乙需要36趟
（2）设甲每趟y 元，则乙每趟(y －200)元
则方程为：12(y+y －200)=4800
解得：y=300
故甲一趟300元，乙一趟100元
故甲的总费用为：300×
18=5400元 乙的总费用为：100×
36=3600元 ∵5400＜3600
故乙划算，租乙车
【点睛】
本题考查一元一次方程的工程问题和方案为题，解题关键是根据题干找出等量关系式，列写合适的方程.
21、（1）真；（2）::a b c =（3）①证明见解析；②75DBC ∠=︒或105DBC ∠=︒．
【分析】（1）设等边三角形的边长为a ，则a 2+a 2=2a 2，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出a 2+b 2=c 2①，由Rt △ABC 是奇异三角形，且b ＞a ，得出a 2+c 2=2b 2②，
由①②得出a ，，即可得出结论；
（3）①由勾股定理得出AC 2+BC 2=AB 2，AD 2+BD 2=AB 2，由已知得出2AD 2=AB 2，AC 2+CE 2=2AE 2，即可得出△ACE 是奇异三角形；
②由△ACE 是奇异三角形，得出AC 2+CE 2=2AE 2，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下： 设等边三角形的一边为a ，则2222a a a +=，
∴符合奇异三角形”的定义．
（2）解：∵90C ∠=︒，则222+=a b c ①，
∵Rt ABC ∆是奇异三角形，且b a >，
∴2222a c b +=②，
由①②得：b =，c =，
∴::a b c =
（3）①证明：∵90ACB ADB ∠=∠=︒，
∴222AC BC AB +=，222AD BD AB +=，
∵AD BD =，
∴222AD AB =，
∵AE AD =，CB CE =，
∴2222AC CE AE +=，
∴ACE ∆是奇异三角形．
②由①可得ACE ∆是奇异三角形，
∴2222AC CE AE +=，
当ACE ∆是直角三角形时，
由（2）得：::1:AC AE CE =或::AC AE CE =，
当::1:AC AE CE =时，:1:AC CE =
即:AC CB =，
∵90ACB ∠=︒，
∴30ABC ∠=︒，
∵AD BD =，90ADB ∠=︒，
∴45ABD ∠=︒，
∴75DBC ABC ABD ∠=∠+∠=︒．
当::AC AE CE =时，:AC CE =，
即:AC CB =，
∵90ACB ∠=︒，
∴60ABC ∠=°，
∵AD BD =，90ADB ∠=︒，
∴45ABD ∠=︒，
∴105DBC ABC ABD ∠=∠+∠=︒，
∴75DBC ∠=︒或105DBC ∠=︒．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查奇异三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握奇异三角形的定义、等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
22、（1）坐标系见解析；B（-2，1）（2）画图见解析；（3）画图见解析；（1，2），（4，0）；【分析】（1）根据坐标性质即可画出平面直角坐标系,根据图形可知B点坐标
（2）根据y轴对称即可画出
（3）根据平移的性质，即可画图，直接写出坐标.
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示：
依据图形，可知B点坐标为（-2，1）
（2）△A'B'C'如图所示；
（3）△A1B1C1如图所示．则点A1的坐标为（1，2）；点B1的坐标为（4，0），
故答案为（1，2），（4，0）；
【点睛】
本题考查了图形的平移和对称，平面直角坐标系的简单应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
23、小华家离学校1米．
【解析】设出平路和坡路的路程，由题意从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，列方程即可得出答案.
【详解】设平路有x米，坡路有y米，根据题意列方程得，
106080{156040
x y x y +=+=， 解这个方程组，得300{
400x y ==，
所以x +y ＝1．
所以小华家离学校1米．
【点睛】
本题考查二元一次方程的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系进行解答，注意来回坡路的变化是解题的关键.
24、（1）见解析；（2）AD +BD ＝EF ，理由见解析．
【分析】（1）将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转90°至△ACG ，得到BD ＝CG ，延长GC 交DE 于点H ，证明四边形ADHG 为正方形，则AD ＝GH ，证明△DEF ≌△DCH ，得到EF ＝CH ，则得出结论；
（2）作CN ⊥AM ，证明△DEF ≌△CDN ，得到EF ＝DN ，证明△ADB ≌△CNA ．得到BD ＝AN ．则AD +AN ＝DN ＝EF ．
【详解】证明：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
如图1，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转90°至△ACG ，
∴BD ＝CG ，
延长GC 交DE 于点H ，
∵AD ⊥BE ，∠DAG ＝∠AGC ＝90°，AD ＝AG ，
∴四边形ADHG 为正方形，
∴∠DHC ＝90°，
∴AD ＝GH ，
∵DE ＝DC ，EF ⊥CD ，∠EDF ＝∠CDH ，
∴△DEF≌△DCH（AAS），
∴EF＝CH，
∴AD＝GH＝GC+CH＝EF+BD；
（2）AD+BD＝EF，理由如下：
作CN⊥AM，
∵AD⊥BE，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∵∠DCN+∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝∠DCN，
∵∠F＝∠DNC＝90°，DE＝DC，
∴△DEF≌△CDN（AAS），
∴EF＝DN，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠NAC＝90°，
又∵∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠NAC＝∠DBA，
∵AB＝AC，
∴△ADB≌△CNA（AAS）．
∴BD＝AN．
∴AD+AN＝DN＝EF，
∴AD+BD＝EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
y x
25、（1）每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元；（2） 3.521【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，列出相应二元
一次方程组，求解出m,n 的值即可．
（2）根据用水量和水费的关系，写出y 与x 之间的函数关系式．
【详解】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场调节价为n 元． 14(2014)494(1814)42m n m n +-=⎧⎨+-=⎩
， 解得：23.5
m n =⎧⎨=⎩， 答：每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元．
（2）当14x >时，142(14) 3.5 3.521y x x =⨯+-⨯=-，
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一次函数的实际应用，掌握解二元一次方程组和一次函数的方法是解题的关键．
26、（1）()()224a b a b ab +--=；（2）a b -=-1或1；（3）2
15x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去中间空白正方形的面积，也等于4个长为a ，宽为b 的长方形的面积，即可得出结论；
（2）将2a b +=，34
ab =代入（1）中等式即可； （3）将2310x x -+=的两边同时除以x 并整理可得13x x +
=，然后根据（1）中等式可得221114x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=• ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，从而得出结论． 【详解】解：（1）图中大正方形的边长为+a b ，中间空白正方形的边长为-a b ，所以阴影部分的面积为：()()22a b a b +--；阴影部分也是由4个长为a ，宽为b 的长方形组成，所以阴影部分的面积为：4ab
∴()()224a b a b ab +--=
故答案为：()()224a b a b ab +--=；
（2）将2a b +=，34
ab =代入（1）中等式，得 ()223244
a b --=⨯ 解得：a b -=-1或1；
（3）∵2
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭有意义的条件为：x ≠0 将2310x x -+=的两边同时除以x,得 130x x
-+
= ∴13x x += 由（1）中等式可得221114x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=• ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 将13x x
+=代入，得 22134x x ⎛⎫--= ⎪⎝
⎭ 变形，得215x x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 【点睛】
此题考查的是利用阴影部分的不同求法推导等式，掌握阴影部分的面积的不同求法和等式的变形及应用是解决此题的关键．。