随机过程在通信中的应用

众所周知，现在通信中所处理的信号与噪声基本上都是随机的信号，显然，随机过程是非常重要的数学工具。

如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。

过去对随机现象的研究只是用一两个随机变量来描述，然而现在在工程技术中必须研究动态系统中的随机现象需要研究随时间变化的无穷不可数的一族随机变量，即随机过程。

随机过程是一类随时间作随机变化的量不能用确切的时间函数描述。

随机过程的分布函数分为一维分布函数、二维分布函数及二维以上的分布函数。

随机过程的各种数字特征分别从各个侧面间接的反映了随机过程的概率分布特性，不同的维的分布的数字特征具有不同的物理含义。

1）随机过程的数学期望
随机过程的均值函数m（t）=E[X（t）]在通信中的物理意义是：如果X（t）是电流或电压，则m（t）可理解为t时间点上的电压或电流的直流分量。

2）随机过程的均方值
随机过程X（t）的均方值E[|X（t）|2]在通信中的物理意义是：如果
X（t）表示电压或电流，则E[|X（t）|2]可以理解为在t时刻上这个电压或电流在1Ω电阻上的平均功率。

3）随机过程的方差
随机过程X（t）的方差D（t）=E[X(t)-m(t)]2在通信中的物理意义是:
如果X（t）表示电压或电流，则D（t）可以理解为在t时刻上电压或电流的起伏分量在1Ω电阻上耗散的平均功率。

平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程，它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。

定义：若一个随机过程X（t）发热任意有限维分布函数与时间的起点无关，即对于任意的正整数n和所有的实数△，有f n(x1,x2, …,x n;t1,t2,…,t n)=f n(x1,x2,…,x n;t1+△,t2+△,…,t n+△)
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。

它的一维分布函数与时间t无关：
f(x,t)=f(x)
而二维分布函数只与时间间隔τ=t 2-t 1有关：
f(x 1,x 2;t 1,t 2)=f(x 1,x 2; τ)
其均值和自相关函数分别为
E[X(t)]=a dx x xf =⎰+∞
∞-)( R(t 1,t 2)=E[X(t 1)X （t 2）]=)(21);2,1(x 1x 2ττR dx dx x x f =⎰⎰+∞∞-+∞
∞-
可见平稳随机过程具有简明的数字特征：1）均值与t 无关，为常数a ；2）自
相关函数只与时间间隔τ=t 2-t 1有关。

在通信系统分析中我们常用这两个条件
来直接判断随机过程的平稳性，并把同时满足1）和2）的过程定义为广义平
稳随机过程。

在通信系统中所遇到的信号及噪声，绝大部分为广义平稳的随机过程。

所以，平稳随机过程的研究也具有实际的意义。

我们知道，随机过程的数字特征——均值、方差，是对随机过程的所
有样本函数的统计平均，然而在实际中这是不现实的，因此有如下的定义： 随机过程的任意一次实现都经历了随机过程的所有可能的状态，我们称之为
“各态历经性’’它是用一次过程的时间平均代替过程的统计平均满足如下条
件：
dt t x T t x a T T T ⎰-∞→===2)(1lim )( =+=)()()(ττt x t x R dt t x t x T T T T ⎰-∞→+2
2)()(1lim τ
平稳过程使下式成立
a a =
)()(ττR R =
即时间平均等于统计平均。