2005-2016年广州市中考数学压轴题二次函数

广州市中考数学压轴题
2006年广州市中考数学压轴题
25．(本小题满分14分)
已知抛物线Y=x 2+mx 一2m 2
(m≠0)．
(1)求证：该抛物线与X 轴有两个不同的交点；
(2)过点P(0，n)作Y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B(点A 在点P 的左边)，是否存在实数m 、n ，使得AP=2PB?若存在，则求出m 、n 满足的条件；若不存在，请说明理由．
25.（本小题满分14分）
如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为4
5。

（1）求该二次函数的关系式；
（2）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

2011年广州市中考数学压轴题
24.（14分）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。

2012年广州市中考数学压轴题
24．（本小题满分14分）
如图9，抛物线34
3832+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴 交于点C
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线对称轴上任意一点，当△ACD 面积等于△ACB 面积时，求点D 的坐标；
（3）当直线l 过点）（0,4E ，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形
有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式.
2013年广州市中考数学压轴题
25、（本小题满分14分）
已知抛物线y 1=2(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。

（1）使用a 、c 表示b ;
（2）判断点B 所在象限，并说明理由；
（3）若直线y 2=2x+m 经过点B ，且于该抛物线交于另一点C (,8c b a
+),求当x ≥1时y 1的取值范围。

2014年广州市中考数学压轴题
16. 若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x 、2x ，则21212()x x x x ++的最小值为
______．
24.（本小题满分14分）
已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(40)B ，，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A B 、，顶点为C ，点(,)(0)P m n n <为抛物线上一点.
（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；
（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围；
（3）若3,2m >当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(0)2
t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为''C P 、，是否存在t ，使得首尾依次连接''A B P C 、、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.
2015年广州市中考数学压轴题
25.（本小题满分14分）
已知O 为坐标原点，抛物线21(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于点1(,0)A x ,2(,0)B x .与y 轴交于点C ，
且O ，C 两点之间的距离为3，120x x ⋅<，124x x +=，点A ，C 在直线23y x t =-+上.
（1）求点C 的坐标；
（2）当1y 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；
（3）将抛物线1y 向左平移(0)n n >个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求225n n -的最小值.
2016年广州市中考数学压轴题
24．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．
2016
【分析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；
（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=﹣1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；
（3）由|AB|=|x A﹣x B|得出|AB|=|﹣4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|﹣4|≤，因此|AB|最大时，||=，解方程得出m=8，或m=（舍去），即可得出结果．
【解答】（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；
当m≠0时，
∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，
∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，
∴1﹣4m≠0，
∴m≠；
（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，
∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y与m无关，
显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，
解得：x=3或x=﹣1，
当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；
当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），
∵P不在坐标轴上，
∴P（3，4）；
（3）解：|AB|=|x A﹣x B|====
=||=|﹣4|，
∵＜m≤8，
∴≤＜4，
∴﹣≤﹣4＜0，
∴0＜|﹣4|≤，
∴|AB|最大时，||=，
解得：m=8，或m=（舍去），
∴当m=8时，|AB|有最大值，
此时△ABP的面积最大，没有最小值，
则面积最大为：|AB|y P=××4=．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键．。