物理：等速圆周运动

则绳子之张力为何？ ■ 概念 (1) 等速圆周运动的向心加速度
(2) 向心力 F c ＝ ma
ac

v2 R
■ 解 向心力 m v2 0.10 102 50(牛頓)
R
0.20
此向心力是由绳子张力所提供，
故 绳子张力为 50 牛顿。
[阅读题] 2012 年 11 月 16 日《每
ac
32 0.1
90
(公尺
秒2)
答：(D)
● 向心力
等速圆周运动的物体，
在圆周上的每一点
均受到指向圆心的 作用力，此力称为
Fc
向心力，以 Fc 表示。
由ac

v2 R

4 2R
T2

R 2，
可知
Fc

m
ac

m
v2 R

m

4 2R
T2

m
R 2
式(3.15)
例：质量 m 的圆盘在光滑水平面上，连接一细绳， 绳的另一端通过圆孔O 点与桌面下重物 W 连接， 藉以提供圆盘作圆周运动所需的向心力。
的质点加速度存在。
● 等速圆周运动加速度的误谬
每个人坐在转弯的公交车上， 经验到会被甩出去的离心力。 常常误认为圆周运动的物体， 必定受到离心力作用。
● 牛顿花费近二十年时光，才纠正了前人的观点。
● 圆周运动的速度，沿着圆周的切线方向。 若不受外力作用，质点应沿切线前进。 公交车上的人， 惯性驱使沿切线运动， 相对于转弯的公交车， 则如同被甩出， 而误以为受离心力作用。
● 等速圆周运动质点的平均速率：
质点以半径 R、周期 T 作等速圆周运动，
平均速率为圆周长2πR 与周期 T 的比值。
平均速率

路徑長 d 時間間距
t

2 R
T
式(3.10)
● 等速圆周运动，质点在任何时刻的速率皆相同，
上述之平均速率也等于瞬时速率 vs。 此一速率可以呈现圆周运动的快慢。
● 等速圆周运动的角速率
即质点作等速圆周运动在
任何时刻的角速率为
2 式(3.12)
t T
● 等速圆周运动的速率与角速率的关系：
速率
v

2 R
T

R
2
T

R
式(3.13)
范例 3-5
一细绳子上面绑着A、B 两物体，若A、B 两物体
皆作等速圆周运动，试比
较A、B 两物体角速率与
等速圆周运动
● 到目前为止，我们讨论的都是沿着一直线的运动， 然而平面上的运动也相当常见，且令人好奇。
● 最有规则的平面运动，即为质点沿着圆周的运动， 而最简单的是，在圆周上每一处的速率都相同， 称为“等速圆周运动(uniform circular motion)”。
● 等速圆周运动， 运动体的速率为一定值， 运动的快慢不随时间而变。
T
可得：
ac

4 2R
T2
式(3.14)
● 向心加速度的意义之一：
比较两个等速圆周运动的物体，
若两物体速率相同，但半径不同，
由
ac

v2 R
，半径愈小，向心加速度愈大。
代表在速率相同的情形里，要使物体在很小的
半径下完成圆周运动，必须有很大的加速度。
R1 ＜ R2
a1
a2
a1 ＞ a2
兩者速率 v 相同 ， 若 R1
速率的大小。
■ 概念 (1)角速率 ■解

2
T
; (2)速率
v

2 R
T

圓周長 週期
(1) 相同时间内，绳上任意点的角度变化相同，
绕一圈的周期T 相同，可得 A B。
(2) RA＜RB，转相同角度， A所对应之路径长较小， 周期相同，A 的圆周长较小，可得 vA vB。
习题10
R2 2
,
则 a1
= 2 a2
● 向心加速度的意义之二：
比较两个等速圆周运动的物体，
若两物体半径相同，但速率不同，
由
ac

v2 R
知，速率愈大，向心加速度愈大。
代表在半径相同的情形里，要使物体在很大的
速率下完成圆周运动，必须有很大的加速度。
a1
v1 ＞ v2
a2
a1 ＞ a2
两者半径 R 相同，若v1 = 2 v2，则 a1 = 4 a2
● 时钟针尖的运动，是生活中 最常见的等速圆周运动。
● 万籁穹宇之中，处处呈现此种等速圆周运动， 例如：月亮或人造卫星绕地球的转动、 发电厂里涡轮机的转动。
许多有规则、重复的永恒运动，皆与等速圆周运动有关。
● 等速圆周运动的速率
等速圆周运动的物体是在圆周
R
上作有规则的周期运动。
此质点绕一圈的时间，称为周期 T。
T
T
■ 解 A、B 两物体周期相同，故
(1) A : B
1:1 TA TB
1 : 1
(2) vA : vB RA : RB 1 : 2
范例 3-6
一细绳子上面绑着A、B 两物体，若A 物体位于 绳子的中点，求： (3) A、B 的加速度量值比？
■ 概念
(3)向心加速度aC

4 2R
日邮报》报导了一个令人觉 得有趣的天文现象， 一颗不围绕任何恒星运转的 行星首次被天文学家们观测 到，就是一个所谓的“流浪 行星”，孤独的自由飘荡在 宇宙星空之中。
在浩瀚星空中，我们要发现一颗流浪行星，如 同大海捞针非常困难。而这距离地球约 100 光年流 浪行星的发现，意谓着宇宙中充满许多的可能性。
这颗孤独的行星之所以流浪在星际间，一群天 文学家认为，可能是此星球在其形成之初，因为某 种因素，万有引力未足以形成稳定轨道。 使得此 行星被抛出轨道之外，离开恒星系统，目前状态是 不属于任何一个恒星，孤独自由的流浪于琼宇之中。
这颗孤独的行星极有可能是隶属于剑鱼座 AB 移动星群的一部分，目前这颗流浪行星被编号为 CFBDSIR2149 。 据天文学家估计，这颗行星的 年龄可能为 5000 万∼1.2 亿年，而其地表温度约 为摄氏 400 度左右，相对应的质量大约为木星质 量的 4∼7 倍之间。
表示圆周运动的快慢，也可以藉由质点绕圆所 对应之“圆心角”的变化随时间的变化来描述。
● 定义质点所经过的角度 Δθ 与所需时间 Δt 之
比值，称为平均角速率(angular speed)，
以 表示，即
末點


旋轉角度 時間間隔


t
式(3.11)

圓心
初點
● SI 制的 ω 单位为 rad/s(也是 1/s)。
(1) 编号为 CFBDSIR2149 的这颗流浪行星若不受到 外力作用，而且质量不变的情形下，请问下列哪 些物理量会守恒？（应选两项） (A)总动量 (B)速度 (C)动能。
解 (A)(B)根据牛顿第二运动定律，行星不受外 力，该行星的总动量会守恒 。 而 行星动量 = 行星质量 ×速度，行星质 量不变，其运动速度也会维持 固定。
● 根据数学推导：
(1)物体作等速圆周运动，加速度永远指向圆心。
(2)向心加速度量值 將 v 代換成 R
ac v
，或者將

代換成
v
R
可得： ac

R 2

v2 R
式(3.14)
生活經驗 v 愈大則 ac愈大 ; R 愈小則 ac愈大
將 v 代換成 2 R，同時將 代換成 2
T
作等速圆周运动物体的角速率ω 、速率 v 、
向心加速度 ac ，与半径 R、周期 T 的关系， 可整理并简单列于表 3-1：
范例 3-6
一细绳子上面绑着A、B两物
体，若A 位于绳子中点，求：
(1) A、B 两物体的角速率比？
(2) A、B 两物体的速率比？
(3) A、B 两物体的加速度量值比？
■ 概念 (1)角速率 2 ;(2)速率 v 2 R
T2
■ 解 A、B 两物体周期相同，故
(3) aA : aB RA : RB 1 : 2
习题9
一质点作半径 0.1 米的圆周运动时﹐当其速率 为 3 米／秒时，当时的向心加速度为多少米／ 秒2 ？
(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 90 (E) 120
解：向心加速度
ac

v2 R
● 为维持公交车上的人，跟着公交车一起转弯， 必须受到一个指向弯道圆心的“向心力”， 而圆周运动体的加速度， 就是指向圆心的“向心加速度”。
● 根据生活经验可知： (1) 公交车转弯速率愈大， 同一乘客所需的 向心力就愈大， 代表此乘客所受的 向心加速度愈大。 (2) 转弯路径愈弯曲， 弯道圆弧所对应的半径会愈小， 同一乘客所需的向心力就愈大， 代表此乘客所受的向心加速度愈大。
(C)因为动能 K 1 mv2 ，速度为定值，加上 2
没有质量变化，所以动能为定值。
答：(A)(B) (C)
(2) 承(1)题， 若此颗流浪行星不受到外力及力矩作用
下，保持直线前进，然而却不断随意喷发气体，
使得星球总质量不断减少， 请问下列哪些物理量
会守恒？
(A)在不受到外力作用下，总动量依然守恒。
例(1)：以细绳系住作等速圆周运动的小球， 所需的向心力可由细绳的张力或拉力来提供；
例(2)：绕地球作等速圆周运动的人造卫星， 所需的向心力则由地球给予的万有引力来提供。
范例 3-7
质量为 0.10 千克的一物体，
系在细绳末端，在平滑水平
面上旋转细绳使物体作圆周
运动。若绳长为 0.20 米，物
体速率为10 米／秒，
若小圆盘以速率 v 作半径为 R 的等速圆周运动，
则此向心力为
Fc m
v2 R
W
物重 W、圆盘质量 m、圆半径 R，可决定速率 v 。
● 假设连接小球的细绳突然断 掉，则作用于小球的张力消 失，小球便会沿着当时路径 的切线方向作直线运动而离 开圆周。
● 我们可以藉不同种类的外力 作为圆周运动物体所需的向心力。
● 等速圆周运动的角速率


旋轉角度 時間間隔


t
式(3.11)
● SI 制的 ω 单位为 rad/s(也是 1/s)。
末點

圓心
初點
圆周长=2πR ，2π 是圆周长和半径的比值， 2π (rad) 可视为没有单位的数值。 ● 若旋转角度沿着逆时针，其方向定为正向； 若旋转角度沿着顺时针，其方向定为负向。
(B)总质量改变后的星球速度 (C)星球动能。
答：(A)
解 (A) 在不受到外力作用下，总动量依然守恒。
(B) 质量不断减少，而且随意喷发的气体，造成 部分质量分配走一些动量，使得星球速度不 一定是定值。
(C)因为损失气体的动能，所以星球动能会减少。
■ 迷思概念辨析之一
合力对物体的作用 时间愈长，可造成 物体的动量愈大。
长度为10 厘米的秒针转动
1 周费时60 秒，其角速率
为多少弧度／秒？
(A) 1 (B) 1 (C) 1
10
30
60
(D) (E)60
30
解： 2 2
T 60
(弧度 秒 ) ; 与秒针长度无关。
30
答：(D)
● 等速圆周运动的加速度
等速圆周运动的质点，不是沿着直线等速律运动。 (1) 由牛顿第二运动定律知，此质点必受外力作用。 (2) 再由牛顿第二运动定律知，必有此外力所对应
合力对物体的作用 时间愈长，可造成 物体的动量变化愈 大。
■ 迷思概念辨析之二
等速圆周运动因为 速率不变，所以是 一种等加速运动。
等速圆周运动虽然 速率不变，但运动 方向却不断改变， 加速度的方向也一 直在变， 所以， 等速圆周运动是 一种变加速运动。
● 当 Δt 很小时，则该时段的平均角速率称为 瞬时角速率 (instantaneous angular speed) ， 也称为“角速率”，以ω 表示。
● 等速圆周运动，质点在任何时刻的角速率ω 皆相同， 瞬时角速率等于平均角速率。
● 等速圆周运动的平均角速率
可以用旋转一圈 2π rad 与
周期 T 的比值来表示。