(甘志国)斜抛运动的最佳抛射角

斜抛运动的最佳抛射角
甘志国(该文已发表 数学通报，2011(12)：35-36)
文献[1]介绍了球星德拉普(Rory John Delap)：
斯托克城属于英超中的一支中下游足球队，但是该队参加的每一场比赛，往往都能成为人们关注的焦点，因为它拥有一位擅长掷远距离界外球、最远距离为48.17米的世界记录创造者，他就是后卫德拉普(图1).阿森纳主帅温格曾在一场比赛前说：“德拉普的手臂太可怕了，上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会.”
图1
界外球怎样才能掷得更远呢？
图2
通常会认为，以初速度0v 、抛射角)900(︒<<︒αα掷出的球在不计空气阻力时的运动是斜抛运动(图2)，其运动轨迹的参数方程为
⎪⎩
⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021sin cos gt t v y t v x αα ① (其中y x ,分别表示球在时刻t 飞行的水平距离和竖直高度，g 为重力加速度)由此可得球的射程为
α2sin 20g
v s = ② 公式②说明，球的射程s 与初速度0v 及抛射角α均有关，当0v 一定时，当且仅当︒=45α时射程s 最大.
但文献[1]还说，英国物理学家尼克·林斯纳尔却给出了否定的答案：球员把求掷得最远时，出手时的初速度与水平方向的夹角并不是︒45，而是︒25至︒30.
产生这一结果的原因是：对于公式②，当0v 为定值时，︒=45α时s 最大；而当α为定值时，0v 越大s 就越大.可见球的飞行距离与初速度0v 及抛射角α均有关.而在︒=45α时0v 不能达到最大值，所以在︒︒=30~25α时，0v 可达到最大值，所以s 取到最大值也是可能的.
早在2003年，笔者就在文献[2]中阐述了这样的观点：掷球的最佳抛射角应小于︒45. 文献[1]的出现，使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角”，并得到了漂亮的结论： 定理 如图3，以初速度0v 、抛射角)900(︒<<︒αα使物体作斜抛运动，当射程s 最大时(也即起点O 到落点A 的距离最大(因为在图3(a)中s OA =，在图3(b), (c)中h h s OA ,222+=为定值)，此时的抛射角α叫做最佳抛射角，此时的抛射方向是起点O 竖直向上的方向OB 与OA 形成的角BOA ∠的平分线，且OA 是问题运动轨迹(抛物线OCA )的焦点弦.
图3
证明 易知图3中抛物线OCA 的参数方程为①(其中g t y x ,,,的意义也同①中诸字母的意义)
⎪⎩
⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021sin cos gt t v y t v x αα (其中y x ,分别表示球在时刻t 飞行的水平距离和竖直高度，g 为重力加速度)化为普通方程，得
αα
tan cos 22220x x v g y +-= 由文献[3]的结论立知，其焦点为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-g v g v F 22cos ,22sin 2020αα. 即证OA F OA v BOA ∈∠=∠,20.
(1)图1(a)的情形.由②式可得︒==∠450αOA v ，又︒=∠90BOA ，所以
OA F OA v BOA ∈∠=∠,20.
(2)图1(b)的情形(因为掷球时有一个出手高度)0(>h h ，掷球时出手高而落点低)，用0t 表示球运行到落点时的飞行时间，得
⎪⎩
⎪⎨⎧-⋅=-⋅=2000021sin cos gt t v h t v s αα 所以
02tan 2tan 2
022022=-+-h v gs s v gs αα
因为这个关于“αtan ”的一元二次方程有实数解，所以 0)2(42
022402≥+-=∆h gv s g v s
又0>s ，所以 gh v g v s 22
00
+≤ 进而可得，当且仅当20211
tan v gh
+=α，即2021cot v gh arc +=α时，s 取最大值，且最大值是
gh v g v 2200+.所以在图3中，最佳抛射角应为2021cot v gh arc +，它显然小
于︒45. 可得gh v gh
v 2tan 1tan 22tan 2002+=-=ααα，又gh v gh v h s 2tan 200+==β，所以)90(2180,2,2tan tan βαβαβαβ-︒+=-︒==，即OA v BOA 02∠=∠.
可得直线OA 的方程为
x gh v gh
v x s h y 2200+-=-= 再由2021cot v gh
arc +=α可验证OA F ∈.
(3)图1(c)的情形.同理可算得最大射程gh v g v s 22
00
-=，最佳抛射角
2021cot v gh
arc -=α.
可得gh v gh v 22tan 200--=α，又gh v gh
v h s 2cot 200-==β，所以)(290,902,cot 2tan βαββαβα-=-︒︒=--=，即OA v BOA 02∠=∠. 可得直线OA 的方程为
x gh v v gh x s h y 2200-==
再由2021cot v gh
arc -=α可验证OA F ∈.
该定理是有用的.设想在地面OA 上从点O 开始让物体作斜抛运动，由OA v BOA 02∠=∠可迅速确定最佳抛射方向(即使起点O 到落点A 的距离最大的初速度0v 的方向)；设想图1(c)中的坐标原点是大炮口，落点A 是射击目标，为增加隐蔽性，应使射程s 越远越好，所以上述最佳抛射角在军事上也是有用的.
参考文献
1 戴静.界外球怎样才能掷得更远[J].数理天地(高中版)，2011(1)：46
2 甘志国.推铅球的最佳抛射角应小于︒45[J].数学通讯，2003(20)：20
3 王四清.浅谈培养学生观察——归纳能力[J].数学通讯，2001(5)：6-7。