抗震及设计计算题答案

高层建筑结构抗震与设计(练习题1)
1. 某单跨单层厂房如图1所示，集中于屋盖的重力荷载代表值为G ＝2800kN ，柱抗侧移刚度系数k1=k2=
2.0×104kN/m,结构阻尼比ζ＝0.03，Ⅱ类建筑场地，设计地震分组为第一组，设计基本地震加速度为0.15g 。

分别求厂房在多遇地震和罕遇地震时水平地震作用。

图1
单层厂房
计算简图
2
k 1k k
G
G
2. 图2为两层房屋计算简图，楼层集中质量分别为m1=120t,m2=80t,楼板刚度无穷大，楼层剪切刚度系数分别为k1= 5×104kN/m , k2= 3×104kN/m 。

求体系自振频率和振型，并验算振型的正交性。

图2 两层房屋计算简图
1
m 2
m 1
k 2
k
3. 钢筋混凝土3层框架计算简图如图3所示。

分别按能量法和顶点位移法计算结构的
基本自振周期（取填充墙影响折减系数为0.6）。

图3 3层框架计算简图
kg
m 3310180⨯=kg
m 3
210270⨯=kg
m 3
110270⨯=m
kN k /98003=m
kN k /1950002=m
kN k /2450001=
4. 钢筋混凝土3层框架经质量集中后计算简图如图4所示。

各层高均为5米，各楼层集中质量代表值分别为：G1=G2=750kN ，G3=500kN ；经分析得结构振动频率和振型如图4所示。

结构阻尼比ζ＝0.05，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组为第一组，设计基本地震加速度为0.10g 。

试按振型分解反应谱法确定结构在多遇地震时的地震作用效应，绘出层间地震剪力图。

s rad /22.101=ωs
rad /94.272=ωs
rad /37.383=ω1
2
图4 计算简图
5. 已知条件和要求同上题，试按底部剪力法计算。

1、表1为某建筑场地的钻孔资料，试确定该场地的类别。

表1
解：覆盖层厚度达22m ，故取20m 深度计算，共有五个土层： s 01944.0180
5.3 s 01875.01603222111======
s s v d t v d t s 01957.02305.4 s 02273.022********======
s s v d t v d t s 01379.0290
4
555===
s v d v s 09428.0==∑i t t 平均剪切波速： m/s 2120.09428
200===
t d v se 由于v se 在140m/s~250m/s 之间，故该场地土为中软场地土。

2、
已知某6层、高度为20米的丙类建筑的场地地质钻孔资料如表2所示（无剪切波速数据），试确定该场地的类别。

解：覆盖层厚度为15.5m ，小于20m ，故取15.5m 深度计算，共有四个土层： s 02051.0195
4 s 01667.01202222111======
s s v d t v d t s 01867.0375
7 s 0119.02105.2444333======
s s v d t v d t s 06775.0==∑i t t 平均剪切波速： m/s 2290.06775
5
.150===
t d
v se 由于v se 在140m/s~250m/s 之间，故该场地土为中软场地土。

3、
某单跨单层厂房如图1所示，集中于屋盖的重力荷载代表值为G ＝2800kN ，柱抗侧移刚度系数k1=k2=2.0×104kN/m,结构阻尼比ζ＝0.03，Ⅱ类建筑场地，设计地震分组为第一组，设计基本地震加速度为地震时水平地震作用。

解：(1)求周期
56
1086.28
.9108.2⨯=⨯==g G m kg
721100.4⨯=+=k k k N/m
53.0100.41086.214.32275
=⨯⨯⨯==k m T π s
(2)查表得αmax 、T g ：
查表3.1知 设防为七度；查表3.2知，多遇地震：αmax =0.12，罕遇地震：αmax =0.72 ； 查表3.3知 T g =0.35
(3)计算α值：因T g ‹T=0.53s ‹5T g ，所以计算公式如下 max 2)(
αηαγT
T g =
其中 18.103.07.106.003
.005.017.106.005.012=⨯+-+=+-+
=ξξη
93.003.055.003
.005.0155.005.09.0=⨯+-+=+-+
=ξξγ
多遇地震： 096.012.018.1)53
.035.0(
)(
93
.0max 2=⨯⨯==αηαγT T g 罕遇地震： 576.072.018.1)53
.035.0(
)(93
.0max 2=⨯⨯==αηαγT
T g
(4)求水平地震作用
多遇地震：8.2682800096.0=⨯==G F EK α kN 罕遇地震：8.16122800576.0=⨯==G F EK α kN 4、
图2为两层房屋计算简图，楼层集中质量分别为m 1=120t,m 2=80t,楼板刚度无穷大，楼层剪切刚度系数分别为k 1= 5×104kN/m , k 2= 3×104kN/m 。

求体系自振频率
和振型，并验算振型的正交性。

解: (1)刚度矩阵和质量矩阵 []kg 108.0002.100521
⨯⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=m m m k 11=k 1+k 2=8×104 kN/m k 12=k 21=-k 2=-3×104
kN/m k 22=k 2=3×104 kN/m []kN/m 10333842221
1211
⨯⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k
k k K (2)频率方程为：
0801031031031201082
444
24222221
12
2
111=-⨯⨯-⨯--⨯=--ω
ωωωm k k k m k 0109)80103)(120108(82424=⨯--⨯-⨯ωω 展开后，得
01562507.104124=+-ωω
解方程，得 ω1=13.47 rad/s ω2=29.33 rad/s (3)求振型：ω1=13.47 rad/s 对应的振型：
194
.11031087.1811204412112111112=
⨯-⨯-⨯=-=k k m X X ω ω1=29.33 rad/s 对应的振型：
177.010
31088601204
412112212122-=⨯-⨯-⨯=-=k k m X X ω (4)验算振型的正交性：
{}[]{}{}{}06.6194.11206.6112094.1177.01800012094.11
21=⨯-=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X m X T {}[]{}{}{}031.594.131.1031.531.1094.1177.01333894.11
21=⨯-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=X K X T
5、钢筋混凝土3层框架计算简图如图3所示。

分别按能量法和顶点位移法计算结构的基本自振周期（取填充墙影响折减系数为0.6）。

图3 3层框架计算简图
kg
m 3310180⨯=kg
m 3
210270⨯=kg
m 3110270⨯=m
kN k /98003=m
kN k /1950002=m
kN k /2450001=
解: (1)将各楼层重力荷载假定为水平荷载作用于结构楼层处时，计算结构侧移
(2)按能量法计算
s
278.00294
.027000524.027000708.018000294.027000524.027000707.018006.02222
221
121
121=⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=∆
∆
=∆∆
=∑∑∑∑====n
i i
i
n
i i
i
T
n i i
i n
i i
i
T
G G G g G T ϕπϕ
(3)按顶点位移计算
s 319.00708.06.027.11=⨯=∆=T T ϕ
6、钢筋混凝土3层框架经质量集中后计算简图如图4所示。

各层高均为5米，各楼层集中质量代表值分别为：G 1=G 2=750kN ，G 3=500kN ；经分析得结构振动频率和振型如图4所示。

结构阻尼比ζ＝0.05，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组为第一组，设计基本地震加速度为0.10g 。

试按振型分解反应谱法确定结构在多遇地震时的地震作用效应，绘出层间地震剪力图。

s rad /22.101=ωs
rad /94.272=ωs
rad /37.383=ω1
2
图4 计算简图
解: (1)计算地震影响系数αj 结构侧移
I 类场地土，设计地震分组为第一组，T g =0.25 s ，αmax =0.08 阻尼比 ξ=0.05，η2=1.0，γ=0.9
自振周期： T 1=0.614 s , T 2=0.225 s , T 3=0.164 s ∵ T g ﹤T 1﹤5 T g ， ∴ 0356.008.00.1)614
.025.0(
)(
9
.0max 21
1=⋅⋅=⋅⋅=αηαγT T g ∵ 0.1﹤T 2﹤T g ， ∴ 08.0max 2==αα ∵ 0.1﹤T 3﹤T g ， ∴ 08.0max 3==αα (2)计算振型参数
232.1500
0.175085.075049.0500
0.175085.075049.02
22121
111
21
111=⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯===
∑∑∑∑====n
i i
i n
i i
i n
i i
i n
i i
i G X
G X m X
m X γ 275.0500
0.1750)12.0(750)02.1(5000.1750)12.0(750)02.1(2
22122
12122
122-=⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯-+⨯-===
∑∑∑∑====n
i i
i n
i i
i n
i i
i n
i i
i G X
G X m X
m X γ 113.0500
0.1750)12.1(75073.0500
0.1750)12.1(75073.02
22123
13123
133=⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯===
∑∑∑∑====n
i i
i n
i i
i n
i i
i n
i i
i G X
G X m X
m X γ (3)计算水平地震作用标准值 第一振型：
F 11=α1γ1x 11
G 1=0.0356×1.232×0.49×750=16.11 kN F 21=α1γ1x 21G 2=0.0356×1.232×0.85×750=27.96 kN F 31=α1γ1x 31G 3=0.0356×1.232×1.00×500=21.9 kN 第二振型：
F 12=α2γ2x 12
G 1=0.08×(-0.275)×(-1.02)×750=16.83 kN F 22=α2γ2x 22G 2=0.08×(-0.275)×(-0.12)×750=1.98 kN F 32=α2γ2x 32G 3=0.08×(-0.275)×1.00×500=-11.0 kN 第三振型：
F 13=α3γ3x 13
G 1=0.08×0.113×0.73×750=4.95 kN F 23=α3γ3x 23G 2=0.08×0.113×(-1.12)×750=-7.59 kN F 33=α3γ3x 33G 3=0.08×0.113×1.00×500=4.52 kN (4)计算结构地震作用效应S EK
92.2452.4)11(9.212221=+-+=EK S kN 76.50)07.3()02.9(86.492222=-+-+=EK S kN 46.6688.181.797.652223=++=EK S kN
7、已知条件和要求同上题，试按底部剪力法计算。

解: (1)计算地震影响系数：α1=0.0356
(2) G eq =0.85×∑G i =0.85×(750×2+500)=1700 kN (3) F EK =α1×G eq =0.0356×1700=60.52 kN (4)计算F i
∵ T 1=0.614 s ＞1.4 T g =1.4×0.25=0.35 s ∴需考虑顶部附加地震作用， 查表3.5，δn =0.08T 1+0.07=0.08×0.614+0.07=0.119 ⊿F n =δn ×F EK =0.119×60.52=7.21 kN。