04数系的扩充与复数(经典题型+答案)

数系的扩充与复数
一、复数的有关概念
1．复数的概念
形如a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a ＋bi 为实数；若b ≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数．
2．复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝ b ， c ＝d(a ，b ，c ，d ∈R)．
3．共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0 (a ，b ，c ，d ∈R)．
4．复数的模向量OZ 的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.
二、复数的几何表示：
复数Z ＝a ＋bi ←−−−
→一一对应复平面内的点Z(a ，b)←−−−→一一对应
平面向量OZ 三、复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则
(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝ (a ＋c)＋(b ＋d)i ；
(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c)＋(b －d)i ；
(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；
(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝()()22
ac bd bc ad i c d ++-+(c ＋d i≠0)． 2．复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 例1：若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z)·z ＝ ( )
A ．1＋3i
B ．3＋3i
C ．3－i
D ．3
解： ∵(1＋z)·z ＝z ＋z2＝1＋i ＋(1＋i)2＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.
例2：若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则 ( )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝－1，b ＝－1
D ．a ＝1，b ＝－1 解：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋ai ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.
例3：复数i 1＋2i
(i 是虚数单位)的实部是 ( ) A.2 B ．－2 C.1 D ．－15
例4：若复数z 满足z 1＋i
＝2i ，则z 对应的点位于第________象限． 解：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内．
例5：若复数z 满足z ＋i ＝3＋i i
，则|z |＝________.
除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：(1)|z|＝|z －0|＝a(a>0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ；(2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离．
4．复数中的解题策略
(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R)； ②z ＋z ＝2a ∈R ； ③z ＝z ⇔z ∈R.
(2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R)；②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；
③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.
例6：设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i
为纯虚数，则实数a 为 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12
例7：将例6题中的条件“复数1＋a i 为纯虚数”变为1＋a i ＝i ，求a 的值．
例8：复数2＋i 1－2i 的共轭复数是 ( ) A ．－35i B.35
i C ．－i D ．i
例9：设a 是实数，且a 1＋i
＋1－i 2是实数，则a ＝( ) A.1 B ．－1 C ．1 D ．2
1212的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解：因为z 1＝z 2，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 例11：复数z ＝1＋i ，为z 的共轭复数，则z －z －1＝ ( ) D ．2i
例12：复数i 1－i
＝ ( ) A ．－1－1i B ．－1＋1i C.1－1i D.1＋12
i
例13：设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z
＋z 2＝ ( ) i D ．1＋i
12z 22＝z ·
z 1，则复数z 等于 ( ) A ．－85＋65i B ．－85－65i C.85＋65i D.85－65
i
记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)a ＋b i i ＝b －a i ； (5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N).
已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋ai(其中i
例15：是虚数单位，a ∈R)，则复数z 对应的点不可能位于复平面内的 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝(1＋a i)(1－i)2＝(1＋a )＋(a －1)i 2
，设在复平面内z 对应的点的坐标为(x ，y )， 则x ＝1＋a 2，y ＝a －12
. 法一：易知x －y ＝1，即复数z 对应的点在直线x －y ＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．
法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要a >1，若在第二象限，需要1＋a 2<0，且a －12
>0，即a <－1且a >1，无解，故复数z 对应的点，不可能在第二象限．
例16：已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A 、B 、C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解：由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得（3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，
－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 例17：设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i
|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N 为 ( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]
解：∵y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |，且x ∈R ，∴y ∈[0,1]．∴M ＝[0,1]．在N 中，x ∈R 且|x －1i
|<2，∴|x ＋i|<2， ∴x 2＋1<2，解得－1<x <1，∴N ＝(－1,1)．∴M ∩N ＝[0,1)．
例18：a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i
|＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1
解：由已知|a ＋i i |＝2得|a ＋i i
|＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，∴1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.答案：B 例19：若复数2－b i 1＋2i
(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于( ) A. 2 B.23 C ．－23
D ．2 解：2－b i 1＋2i ＝2－b i 1－2i 1＋2i 1－2i
＝2－2b －4＋b i 5，由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23.答案：C A.12＋i B. 5 C.52 D.54
解：由(1＋2a i)i ＝1－b i 得，a ＝－12，b ＝－1，所以|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝52
.答案：C 数－3＋4i 的平方根是( )
A ．1－2i 或－1＋2i
B ．1＋2i 或－1－2i
C ．－7－24i
D ．7＋24i
解：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－2.答案：B |AB |＝________. 解:：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB |＝－1－12＋3－12＝2 2.答案：2 2
例23：设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________.
(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭；(3)对应的点在x 轴上方．
解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之得m ＜－3或m ＞5.
例25：复数z 1＝3＋(10－a 2)i ，z 2＝2＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．。