ghf%iib经济数学基础形成性考核册参考答案

、
.~
① 我们‖打〈败〉了仇敌。

②我们‖〔把仇敌〕打〈败〉了。

经济数学基础形成性查核册参照答案
经济数学基础作业
1
一、填空题：
3. x
2 y 1 0 4. 2x 5.
2
二、单项选择：
三、计算题：
1、计算极限
(1)
lim
( x
1)( x 2) 原式
x 1
(x 1)( x 1)
lim
x
2 x 1 x
1
1
2
(2). 原式 = lim (x - 2)(x - 3)
x 2
(x - 2)(x - 4)
lim
x
3
x 2 x 4
1
2
(3). 原式 = lim
( 1 x
1)( 1 x 1)
x 0
x(
1 x 1)
1 = lim x 0
1 x 1
1 =
2
3
5
1
x 2
1
(4).原式 =
x =
3
4
3
3
x 2
x
3
lim sin 3x
(5).原式 =
3x 5 x
0 sin 5x
5x 3
=
5
x 2
(6). 原式 = lim
sin( x 2)
x
2
x 2
lim ( x
2)
=
x 2
lim sin( x
2)
x
2
x
2
= 4
2.(1) lim
f (x) b , lim f (x) 1
x 0
x 0
当 a
b 1时， 有
lim f(x)
f(0) 1
x 0
(2).
当
a b
时， 有
lim f(x)
f(0) 1
x
函数 f(x) 在 x=0 处连续 .
3. 计算以下函数的导数或微分 (1).
(2).
(3).
(4).
y
2x 2x ln 2
1
x ln 2
y
a(cx d )
c(ax b) ad bc
(cx d)
2
(cx
d)
2
3
y
3 (3x 5) 2
2
y
1 (e x xe x )
2 x
=
1 e x xe x
2 x y (e ax ) (sin bx
(5). ∵
ae ax
sin bx e ax (sin bx
ax
e (sin bx)
ax be cosbx
b cosbx)
∴ dy
e ax ( a
sin bx b
bx dx
cos )
1 1
3
(6).
∵ y
e x
x
x 2 2
(
3
1
∴
dy
x
1 e x )dx
2
x 2
x ) e x 2
(7). ∵
y sin x (( x 2 )
=
sin x 2xe x 2
2 x
∴
dy
( sin x 2xe x 2 )dx
2 x
(8) y nsin n 1 x cos x n cosnx
(9)
y
x
1 x
2 ( x 1 x 2 )
1 =
1 (1 x
)
x 2
x
1 1 x 2
=
1
1 x 2
x
x
1
x 2
1 x 2
=
1
1 x 2
cos 1
(cos 1
)
1
1
y
ln 2 ( x
2
x
6
2)
2
x
(10)
x
1 1
sin 1
1
1
cos
x 2
x 2 x 3 6 x 5
2.
以下各方程中 y 是 x 的隐函数，试求 y 或 dy
(1) 方程两边对 x 求导：
2x 2 y y y xy 3 0 (2 y x) y
y 2x 3
因此
dy
y 2x
3
dx
2 y x
(2) 方程两边对 x 求导：
cos(x y)(1 y ) e xy (y xy ) 4
[cos(x
y) xe xy ] y
4 cos(x y) ye xy
4 cos(x y) ye xy 因此
y
cos(x
y) xe xy
3. 求以下函数的二阶导数：
2x
(1)
y
x 2
1
y
2(1 x 2 ) 2x 2x
2 2x 2
(1 x 2 )
2
(1 x 2 )
2
1
1
3 1
(2)
y (x 2 x 2 )
1 x
2 1 x 2
2 2
y
3
x
4
5 2
1 x
4
3
2
3 1 y (1)
1
4
4
经济数学基础作业
2
一、填空题：
1. 2
x ln 2 2 2. sin x c 3.
1
F (1
2 1
2 x
) c 4. 0 5.
二、单项选择：
1 x 2
三、计算题：
1、计算极限
(1) 原式 =
(3
) x dx
e
= ( 3) x
3x
c
e
c
e x
(ln 3 1)
3
ln
e
1
3
(2) 原式 =
(x 2
2 x
x 2 )dx
1
4
3
2 5
= 2x 2 x 2 x 2 c
3 5 1 x 2 (3) 原式 =
(x 2)dx 2x c
2
(4) 原式 =
1 d (1 2x) 1
1 2x c
2 1 2x
ln
2 (5) 原式 =
1 2 x 2 d (2 x 2 )
2 3
= 1
(2 x 2 )2
c
3
(6) 原式 = 2 sin xd x 2 cos x
c
(7) ∵ (+)
x sin
x 2
2 cos x
(-) 1
2
(+) 0
4 sin x
2
∴原式 = 2x cos
x
4sin
x
c
ln( x
1) 2
2
(8) ∵ (+)
1
(-)
1
x
x
1
∴ 原式 = x ln( x
1)
x x
dx
1
=
x ln( x 1)
(1
1 )dx
x 1
=
x ln( x 1)
x ln( x 1) c
2. 计算以下定积分：
1
2
(1) 原式 = 1 (1
x)dx 1 (x 1)dx
=
2 ( 1
x 2 x)12 2 5 9
1
2 2 2
2
e x
( x 2
1
(2) 原式 =
x 2
) d
1
x
1
1
=
e x
12
e e 2
(3) 原式 =
e 3
x
d (1 ln x)
1 x 1
ln x =
2 1 ln x e
3 2
1
(4) ∵ (+) x cos 2 x
(-)1
1
sin 2x
2
(+)0
1
cos2x
4
∴ 原式 = (1
x sin 2x
1
cos2x)02
2 4 =
1 1 1
4 4 2
(5) ∵ (+)
ln x x
(-)
1 x 2
x 2
1
1 e
x 2
e
∴ 原式=
ln x
1
xdx
2
2
1
=
e
2
1 x
2 1e
1
(e 2
1)
2 4
4
(6) ∵原式 = 44xe x dx
又∵ (+)x e x
e x
(-)1-
(+)0 e x
4x x x4
∴
dx( xe e)0
0 xe
=5e 41
故：原式 =55e 4
经济数学基础作业3
一、填空题
1. 3.
2.72 .
3.A,B可互换.
4.(I B) 1 A.
100
5. 01
0 . 2
1
00
3
二、单项选择题
1. C．
2. A ．
3. C．
4. A．
5. B ．
三、解答题
1．
12
（ 1）解：原式 =
3 5
0 0
（ 2）解：原式 =
00
（3）解：原式 = 0
71972455152 2．解：原式 = 7120610=1110
0473273214
5611566560 3．解：AB = 2462442400
101100100
1
2 4 ②①(2)
4．解： A2
③①
(1)
1 1
1 0
1 2 4
③②( 4)
0 1
4
9 4
9 因此当
时，秩 r ( A) 最小为 4
1 2
4
1 2 4
4 7 （②，③）
0 1 4
0 1
4
4
7
2。

2
5 3 2 1 1
7 4 2 0
5 8 5 4 3 (①，③ )5
8 5 4 3
5．解： A
7 4 2 0 2 5 3 2 1 1 4
1 1
2 3
4
1 1
2 3
1 7 4
2 0
1
7 4
2 0 0 27 15 6 3
（②，③）
0 9 5 2 1 0 9 5 2 1 0 27 15 6 3 0 27 15 6 3 0 27
15
6 3
1 7
4 2 0 0 9
5 2 1
0 0 0 0 0 0 0
因此秩 r ( A) =2
6．求以下矩阵的逆矩阵：
（ 1）
②
①( 5)
③
①(2)
④
①(4)
③②
(
3)
④
②
(
3)
1 3
2 1 0 0 解：AI
3 0 1
0 1 0
1
1 1 0 0 1
1 1
3
2 1 0 0
②
7 1 1
( )
9
1 0 9 3 9
4
3
1
0 1
② ①
3 ③ ① (1)
① ② 3 ③
②(4)
1 3
2 1 0 0 0 9 7 3
1
0 0 4 3 1 0 1 1
0 1 0
1 3
1
3 0
1 7 1 9 3
9 0
1 1
4 9
3
1
9
① ③ 3 1 0 0 1 1 3 ② ③ 7
0 1 0 2 3 7
0 0
1 1 4 1
9
3 9
1 1 3 因此A 1
2 3 7 。

③ 9
1 0 0 1 1 3 0 1 0
2
3 7 0 0 1 3
4 9
（2）
1363100
解：AI421010
211001
② ① 4114107
③ ① ( 2 )
02154128
0172013
① ② (1)104118
③ ②
0182115
001012
130
因此A127 1 。

012
7．解：X BA 1①③7
②③
①③4
②③(8)
114107
421010
211001
114107
0182115
0172013
100130
010271
001012
1210②①(3)1 2 10 A I
5010131 3
①②(2)
1052
0131②( 1)
1210
0 1 31
A 1
52 31
X BA1125210 233111
四、证明题
1．试证：若B1,B2都与A可互换，则B1B2， B1 B2也与A可互换。

证明：∵AB1B1A， AB2B2 A
∴ A(B1B2 ) AB1AB2B1A B2 A (B1B2 )A
A(B1 B2 )AB1 B2B1 AB2B1B2A(B1B2) A 即 B1B2， B1 B2也与A可互换。

2A T T T
．试证：关于随意方阵 A ，，是对称矩阵。

证明：∵(A A T )T A T(A T)T A T A A A T
( AA T )T( A T )T (A)T AA T
(A T A)T(A)T ( A T )T A T A
3
∴A A T，AA T, A T A是对称矩阵。

A, B
均为
n
阶对称矩阵，则AB 对称的充足必需条件是： AB BA 。

．设
证明：充足性
∵ A T A，B T B ，(AB)T AB
∴ AB
(AB T B T A T BA
)
必需性
∵ A T
A ，
B T
B ， AB
BA
∴ ( AB ) T ( BA T
A T
B T AB
)
即 AB 为对称矩阵。

4
A 为 n 阶对称矩阵，
B 为 n 阶可逆矩阵，且 B
1
B T ，证明 B 1 AB 是对称矩阵。

．设
证明：∵ A T
A ，
B 1
B T
∴ B 1 AB T
B T A T B 1 T B 1 A B
T1
B 1 A B
1 1
B 1 A B
)
(
)
( )
( )
(
即 B 1 AB 是对称矩阵。

经济数学基础作业
4
一、填空题
1.1 x 4且 x
2 .2. x 1， x
1
p .4.4 .5. t1 .
，小 3.
2
二、单项选择题
1. B ．．． 4.D ．．
三、解答题
1．求解以下可分别变量的微分方程： (1) 解：原方程变形为：
dy
e x y
dx
分别变量得： e y dy e x dx
两边积分得： e y d ( y) e x dx 原方程的通解为： e y
e x
C
（ 2）解：分别变量得：
3y 2 dy xe x dx
两边积分得：
3y 2 dy xe x dx
原方程的通解为：
y 3 xe x e x C
2. 求解以下一阶线性微分方程：（ 1）解：原方程的通解为：
2
2
2
2
d ( x 1)
y e
dx
dx
d (x 1)
( e x 1 3 dx C ) x 1
( e x 1 (x 1)
3
dx C ) e x 1 ( x 1) e ln( x 1)2 ( e ln( x 1) 2 ( x 1)3 dx
C ) ( x 1)2 ( ( x 1) 2 (x
1) 3 dx C )
( x 1) 2
( ( x 1)dx C ) ( x 1)2
( 1
x 2
x C )
2
* （ 2）解：原方程的通解为：
1dx
( e
1dx
x
2x sin 2xdx C)
y e 2x sin 2xdx C) e x ( e
3.求解以下微分方程的初值问题： (1) 解：原方程变形为：
dy
e 2 x y dx
分别变量得： e y dy e 2 x dx
两边积分得：
e y dy
e 2 x dx
原方程的通解为： e y
1 e
2 x C
2
将 x 0， y 0 代入上式得：
1
C
2
则原方程的特解为：
e y 1 e 2 x 1
2 2
(2) 解：原方程变形为：
y
1 y e x
x
x
原方程的通解为：
y e
1
(e x
1
dx
1
dx
e x
ln x 1
( e
ln x e
x
1
x
x ( e x
dx C ) e
x dx C )
( e dx C )
x
x
x
C )
将 x 1， y 0 代入上式得： C
e
则原方程的特解为：
y
1
(e x e)
x
4.求解以下线性方程组的一般解：
（ 1）解：原方程的系数矩阵变形过程为：
1 0
2 1 A
1 1 3 2
2
1
5
3
② ①
③ ① ( 2)
1 0
2 1 1 0 2 1
1 1 1
③ ②
0 1 1 1
0 1
1
1
0 0
因为秩 ( A )=2<n=4 ，因此原方程有无量多解，其一般解为：
x 1 2x 3
x 4
（此中 x 3，x 4 为自由未知量）。

x 2
x 3 x 4
（ 2）解：原方程的增广矩阵变形过程为：
2
1
1 1 1
1 2 1 4 2 A
1 2 1 4 2 (①,②)
2 1 1
1 1
1
7
4 11 5
1 7
4 11 5
②①
(2) 1
2 1 4 2
1 2 1 4 2
③ ① (
1)
0 5 3 7 3 ③ ②
0 5
3 7 3
5
3
7
3
0 0 0 0
1
② (
)
5
1 0
1 6 4 1
2 1 4 2
5 5 5
0 1
3 7 3 ①②(2)
0 1 3 7 3 5 5 5 5 5 5 0 0
0 0
0 0 0
0 0
因为秩 ( A )=2<n=4 ，因此原方程有无量多解，其一般解为：
x 1
4
1
x 3 6
x 4
5
5
5
（此中 x 3，x 4 为自由未知量）。

3
x 3
x 2
3
7
x 4
5 5
5
5.当
为什么值时，线性方程
组
x 1 x 2 5x 3
4x 4
2 2x 1 x 2 3x
3 x 4
1 3x 1 2x 2
2 x
3 3x
4 3
7x 1
5x 2
9x 3 10x 4
有解，并求一般解。

解：原方程的增广矩阵变形过程为：
1
1 5 4 2
②①(2) 1154 2
2 1
3 1
1 ③①(3) 0113 9
3 A
④①(7) 3 2 2
3
3
0 1 13 9 3
7
5
9 10
2
26
18
14
① ② 1 0 8 5 1 ③ ② ( 1) 0 1 13 9 3 ④ ② ( 2)
0 0 0 0 0
0 0 0
8
因此当
8时，秩 ( A )=2<n=4 ，原方程有无量多解，其一般解为：
x 1 1 8x 3 5x 4
x 2
3 13x 3 9x 4
6．解：原方程的增广矩阵变形过程为：
1
1 1 1 ②①(1) 1 1 1 1
A
1 1
2 2 ③①
(1)
0 2 1
1
③②
(2)
1
3
a
b
0 4
a 1
b 1
议论：（ 1）当 a
3， b 为实数时 ，秩 ( A )=3=n=3 ，方程组有独一解； （ 2）当 a
3， b 3 时，秩 ( A )=2<n=3 ，方程组有无量多解；
（3）当 a 3， b 3时，秩 ( A )=3 ≠秩 ( A )=2 ，方程组无解；
1
1 1 1
2 1
1
0 0
a 3
b 3
7．求解以下经济应用问题： （ 1）
解：①∵ 均匀成本函数为： C (q) 100
6（万元 /单位）
C (q)
q
q
边沿成本为： 6 ∴ 当 q
10 时的总成本、均匀成本和边沿成安分别为：
C(10) 100 0.25 102 6 10 185(元)
100
C(10)
0.25 10 6 （万元 /单位）
10
C (10) 0.5 10 6 11（万元 /单位）
11/12
100
②由均匀成本函数求导得：
C (q)
q 2
令 C (q)
0 得独一驻点 q 1 20 （个）， q 1 20 （舍去）
由实质问题可知，当产量
q 为 20 个时，均匀成本最小。

（2）解：由
p 14
得收入函数
得收益函数：
R(q) pq
14q 0.01q 2
L ( q ) ( ) C ( q ) 10
q 2
20
R q q
令
L (q) 10 0.04q 0
解得： q
250
独一驻点
因此，当产量为 250 件时，收益最大，
最大收益： L(250)
10
2502
20 1230 (元)
（ 3）解：①产量由
4 百台增至 6 百台时总成本的增量为
6 6
40) dx ( x
2
6
100 (万元 )
CC ( x)dx
(2 x 40x)
4
4
4
②成本函数为：
C ( x)C ( x)dx (2 x 40)dx
x 2 40 x
C 0
又固定成本为 36 万元，因此
C( x) x 2 40x 36 (万元 )
均匀成本函数为：
C ( x)
36 C ( x)
x 40
(万元 /百台 ) x
x
求均匀成本函数的导数得：
C ( x) 1
36
2
x
令 C ( x) 0 得驻点 x 1 6 ， x 2 6 （舍去） 由实质问题可知，当产量为 6 百台时，可使均匀成本达到最低。

（ 4）解：①求边沿收益：
令 L (q)
0 得： q 500 （件）
由实质问题可知，当产量为
500 件时收益最大；
②在最大收益产量的基础上重生产50 件，收益的增量为：
L
550 550
2
)
550 L ( q) dq
(10 0.02q)dq (10q
25 （元）
500
500
500
即收益将减少 25 元。

12/12。