【数学】高三数学上学期12月月考试题理

【关键字】数学
莆田六中2017届高三12月月考理科数学
满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（）
A． B．C．D．
2.已知实数满足，其中是虚数单位，则（）
A．3 B．．5 D．
3.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（）
A．B．C．1 D．4
4．“”是“关于的方程组无解”的（）条件。

A．充分但不必要B．必要但不充分C．充分D．既不充分也不必要
5.设是互不笔直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）
A．存在唯一直线，使得，且B．存在唯一直线，使得，且C．存在唯一平面，使得，且D．存在唯一平面，使得，且
6．在△中，，，，则△的面积是（）
A．B．C．D．
7.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图像大致为（）
8.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）.
A. 2
B.
C. D.
9. 已知满足，若不等式恒成立，
则实数的取值范围是( ).
A. B. C. D.
10.已知非零向量的夹角为，且满足，则的最大值为（）
A．B．C．D．
11.已知点是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）. A. B. C.
D.
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数
称为狄利克雷函数，则关于这个函数有以下四个命题：
①；②函数是偶函数；
③存在一个非零实数，使得对任意恒成立；
④存在三个点，，，使得△为等边三角形。

其中真命题的个数是( )
A．4 B．．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．，则_________________
14．已知数列满足对任意的，都有，又，则____________.
15．已知关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是___________
16.已知等边三角形的边长为，分别为的中点，沿将折成直二面角，则四棱锥的外接球的表面积为_________.
三、解答题：本大题共6小题，选作题10分，其它每题12分，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．已知是数列的前项和，且（）
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和。

18., 为单位圆上的按逆时针排列的两个动点，且
（1）若，，求的值。

（2）若在第一象限，求的取值范围。

19．(本小题满分10分)
在如图所示的四棱锥中，，，．
（1）在棱上确定一点，使得∥平面，保留作图痕迹，并证明你的结论。

（2）当平面且点为线段的三等分点（靠近）时，求二面角的余弦值．
20．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率。

（1）求的值；
(2)动直线过点，与椭圆交于、两点，求面积的最大值。

21．已知函数．
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若方程m x f =)()2(-<m 有两个相异实根1x ，2x ，且21x x <，证明：22
21<x x .
请考生在第22、23二题中任选一题作答。

注意：智能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，圆C 的极坐标方程为
sin a ρθ=(a R ∈)，直线l 的参数方程为325
45x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)。

（1）若2a =，直线l 与x 轴的交点为M ，N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值。

（2）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 的半径的3倍，求a 的值。

23．选修4-5：不等式选讲
设函数()23f x x =--，()3g x x =+ （1）求不等式()()f x g x <的解集；
（2）若不等式()()f x g x a <+对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

莆田六中2017届高三12月月考理科数学参考答案
一、选择题
1-5：CDBAC 6-10：DDCAB 11-12：BA 二、填空题
13、3 14、255 15、1ln 2
[,1)2
+ 16、52π 三、解答题
（17） (Ⅰ) ∵232()n n S a n N *=-∈，∴当n ≥2时，11232n n S a --=-，
两式相减得13n n a a -=.
………2分
又当n =1时，11232S a =-，∴12a =. ………3分 ∴ 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列.
………4分
∴ 数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯.
………6分 (Ⅱ)由123n n a -=⨯可得123232n n S -=⨯⨯-，∴31n n S =- ………8分 ∴33log (1)log 3n n n b S n =+==，………9分 ∴22n b n =. ………10分 ∴2(22)
24622
n n n T n n n +=+++
+=
=+. ………12分
18.解：（1）由已知设x 轴正半轴为始边，OA 为终边的角为α，则终边为OB 的角为23
π
α+。

…1分 又点34
(,)55
B -所以23cos()35πα+
=-，24
sin()35πα+=………2分 所以122sin sin()33y ππαα==+-…4分 2222sin()cos cos()sin
3333
ππππ
αα=+-+…5分
413()()525=
⋅---=………6分 （2）122sin()sin 3
y y π
αα+=+
+………7分
11sin sin sin 22ααααα=-++=+sin()3
πα=+………9分
因为A 在第一象限，所以可设(0,
)2π
α∈，所以5(,)336
π
ππ
α+
∈，
1sin()(,1]32πα+∈………11分所以12y y +的取值范围为1
(,1]2。

………12分
19.解：（1）M 满足1
3
SM SA =。

………1分
证明如下：取SA ，SD 上的点M ，N ，使得1
3
SM SN SA SD ==………2分
连结BM ，MN ，NC 。

在△SAD 中，
13SM SN SB SD ==，则MN ∥AD ，且1
3
MN AD = 又由已知可得BC ∥AD ，且1
3
BC AD =，所以BC ∥MN 且BC=MN ，即四边形MNCB 为平行四边形。

…4分
故BM ∥CN 。

又CN ⊂平面SCD ，BM ⊂平面SCD 。

所以BM ∥平面SCD 。

………6分
证法二：取AS ，AD 上的点M ，N ，使得2
3
AM AN AS AD ==………2分 连结BM ，MN ，BN 。

在△SAD 中，
2
3
AM AN AS AD ==，所以MN ∥SD ………3分 在四边形BCDN 中，BC=DN ，BC ∥DN ，所以四边形为平行四边形，则BN ∥CD ………4分 又MN ∥SD ，MN ∩BN=N ，SD ∩CD=D ，所以平面MNB ∥平面SCD ，………5分
又BM ⊂平面MNB ，所以BM ∥平面SCD 。

………6分
（2）∵SA ⊥底面ABCD ，90DAB ︒∠=，∴AB 、AD 、AS 两两垂直．
以A 为原点，AB 、AD 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），7分 则(0,0,)S a ，(,,0)C a a ，(0,3,0)D a (0)a >，∵E 为线段BS 的三等分点（靠近B ）， ∴13
BE BS =
，解得21
(,0,)33E a a ．．．．．．．．．．8分
设平面SCD 的一个法向量是1111(,,)n x y z =，平面CDE 的一个法向量是2222(,,)n x y z =， ∵(,2,0)CD a a =-，(0,3,)SD a a =-，
∴110
n CD n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112030ax ay ay az -+=⎧⎨-=⎩，即111123x y z y =⎧⎨=⎩，取1(2,1,3)n =，．．．．．．．．9分
∵(,2,0)CD a a =-，2
1(,3,)33
DE a a a =-，
∴2200n CD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222222021
303
3ax ay ax ay az -+=⎧⎪
⎨-+=⎪⎩，即222225x y z y =⎧⎨=⎩，取2(2,1,5)n =，．．．．．．．10分 设二面角S CD E --的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角， ∴121212cos |cos ,|||||
n n n n n n θ⋅=<>=
⋅．．．．．．11分 41152105
211430
++=
=⋅．．．．．．12分
即二面角S -CD -E 的余弦值为
2105
21
． 20.解：（1）由椭圆的几何性质可得FA a c =-，OF c =，OA a =………1分
由
FA FA e OF OA +=得11()()c
a c a c a
-+=，所以222a c =………2分 又1b =，即221a c -=，………3分 联立解得2a =。

………4分
（2）由题可知l 与x 轴不重合，故可设l 的方程为2x my =-。

联立方程22
2
12
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得22
(2)420m y my +-+=………5分 因直线与椭圆由相异交点，所以2
2
168(2)0m m ∆=-+>，解得2m >
2m <-6分
又121222
42
,22
m y y y y m m +=
=++ ………7分 22
1212122222
()4,2m y y y y y y m --=+-=+………8分
2212122222
OPQ
m S ON y y m ∆-=⋅-=+………10分（注：写出面积公式就1分） 令22t m =
-，则0t >，2
2222222
4424
2OPQ t S t t t t t
∆=
=≤=++⋅………11分 当且仅当2t =即6m =±时取等号（此时0∆>），所以所求OPQ ∆面积的最大值是2
2。

………12分
21.解：（1）x x x f -=ln )(的定义域为),0(+∞ ……1分 0111)(=-=-=
'x
x
x x f 1=⇒x ……2分
当)1,0(∈x 时0)(>'x f 所以 )(x f y =在)1,0(递增
当),1(+∞∈x 时0)(<'x f 所以 )(x f y =在),1(+∞递减 ……3分
（2）由(1)可设m x f =)(的两个相异实根分别为1x ，2x 满足0ln =--m x x
且1,1021><<x x ，0ln ln 2211=--=--m x x m x x ……4分
由题意可知22ln 2ln 22-<-<=-m x x ……5分 又有(1)可知x x x f -=ln )(在),1(+∞递减
故22>x 所以12,
02
2
1<<x x ……6分
令m x x x g --=ln )( 2ln ln 32
222
2-++-=x x x ……8分
令2ln ln 32)(2
-++
-=t t t t h )2(>t ，
则3
23233)1()2(4334
1)(t t t t t t t t t h +--=-+-=+--='．
当2>t 时，0)(,
<t h ，)(t h 是减函数，所以02
3
2ln 2)2()(<-=<h t h ．……9分 所以当22>x 时，0)2(
)(221<-x g x g ，即)2()(22
1x g x g < ……10分 因为12,
02
2
1<<x x ， )(x g 在)1,0(上单调递增，
所以2
2
12x x <
，故22
21<x x ． (11)
分
综上所述：22
21<x x ……
12分
22.解：（1）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，即2
2sin ρρθ=，……1分
化为直角坐标方程为2
2
20x y y +-=，即2
2
(1)1x y +-=。

所以圆心(0,1)C ，半径1r =……2分 直线的普通方程为4380x y +-=，……3分 与x 轴交点M 的坐标为(2,0)……4分 所以max 151MN MC =+ ……5分
（2）由sin a ρθ=可得圆C 的普通方程为2
2
2()24
a a x y +-= ………6分
直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C 3
由垂径定理及勾股定理可得：圆心C 到直线l 的距离为圆C 半径的一半。

………8分
∴223
812
2243
a a
-=⋅+ ………9分 解得32a =或3211a =
………10分 23．解：（1）依题意：原不等式可化为233x x --+< …………1分 当3x ≤-时，233x x -++<，解集为空集； …………2分 当32x -<<时，2(3)3x x --+<，解得22x -<<； …………3分
当2x ≥时，2(3)3x x --+<，解得2x ≥。

…………4分 综上所述，所求不等式解集为{}
2x x >- …………5分
（2）不等式()()f x g x a <+在R 上恒成立等价于233x x a --+<+在R 上恒成立…………6分 记()23x x x ϕ=--+，则max ()3x a ϕ<+…………7分
232(3)5x x x x --+≤--+=当且仅当3x ≤-时取等号，…………9分
∴35a +>即2a >…………10分
注：本题用图像法一样给分。

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