高中数学人教B版选修1-1：第三章 导数及其应用1-1 3.2 第2课时

第三章 3.2 第2课时
一、选择题
1．函数f (x )＝1
x 3＋2x ＋1的导数是( )
A.1
(x 3＋2x ＋1)2 B.3x 2＋2
(x 3＋2x ＋1)2
C.－3x 2
－2(x 3＋2x ＋1)2 D.－3x 2
(x 3＋2x ＋1)2
[答案] C
[解析] f ′(x )＝－(x 3＋2x ＋1)′(x 3＋2x ＋1)2＝－3x 2－2
(x 3＋2x ＋1)2 .
2．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( )
A ．ab
B ．－a (a －b )
C ．0
D ．a －b
[答案] D
[解析] ∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab
∴y ′＝2x －(a ＋b )，y ′|x ＝a ＝2a －a －b ＝a －b .
3．函数y ＝cos x x 的导数是( )
A ．－sin x
x 2 B ．－sin x
C ．－x sin x ＋cos x
x 2 D ．－x cos x ＋cos x
x 2
[答案] C
[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x ·(x )
′
x 2
＝－x sin x －cos x
x 2.
4．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是(
) A.193 B.163
C.133
D.103
[答案] D
[解析] f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∵f ′(－1)＝3a －6，
∴3a －6＝4，∴a ＝103
. 5．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )
A ．6x 5＋12x 2
B ．4＋2x 3
C ．2(2＋x 3)2
D ．2(2＋x 3)·3x
[答案] A
[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，
∴y ′＝6x 5＋12x 2.
6．f (x )＝ax 3＋x 2＋3，若f ′(1)＝5，则a 的值为( )
A ．－1
B ．2
C ．－2
D ．1 [答案] D
[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ，f ′(1)＝3a ＋2＝5，
∴a ＝1.
二、填空题
7．若函数f (x )＝1－sin x x
，则f ′(π)________________． [答案] π－1π2 [解析] f ′(x )＝(1－sin x )′·x －(1－sin x )x ′x 2
＝sin x －x cos x －1x 2
， ∴f ′(π)＝sinπ－πcosπ－1π2＝π－1π2. 8．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为______________．
[答案] 4x －y －3＝0
[解析] y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －
1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0.
三、解答题
9．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1，0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB .
[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，
f ′(x )＝3x 2－2x －1，
令f ′(a )＝－1(0<a <1)，
即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23
.
一、选择题
1．若物体的运动方程是s (t )＝t sin t ，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )
A ．cos2＋2sin2
B ．2sin2－cos2
C ．sin2＋2cos2
D ．2cos2－sin2
[答案] C
[解析] ∵s ′(t )＝t ′·sin t ＋t (sin t )′＝sin t ＋t cos t ，
∴s ′(2)＝sin2＋2cos2.
2．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )
A ．y ＝3x 2＋cos x
B ．y ＝x sin x
C ．y ＝1x
＋2x D ．y ＝1cos x [答案] C
[解析] ∵函数y ＝1x
＋2x 在x ＝0处不可导， ∴函数y ＝1x
＋2x 在点x ＝0处没有切线． 3．下列结论不正确的是( )
A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若y ＝1x ，则y ′＝－12x
C ．若y ＝－x ，则y ′＝－12x
D ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3
[答案] B
[解析] y ＝1x ，y ′＝－12x x
. 4．(2013～2014学年度湖南浏阳一中高二期中测试)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(1，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
A ．a ＝1，b ＝2
B ．a ＝－1，b ＝2
C ．a ＝1，b ＝－2
D ．a ＝－1，b ＝－2
[答案] B [解析] ∵y ′＝2x ＋a ，∴曲线在点(1，b )处的切线斜率k ＝2＋a ，
∴2＋a ＝1，∴a ＝－1.
∴曲线y ＝x 2－x ＋b ，∴1－b ＋1＝0，∴b ＝2.
二、填空题
5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．
[答案] 83 [解析] ∵y ′|x ＝1＝3x 2|x ＝1＝3，
∴切线为y ＝3x －2，如右图所示．
A (23
，0)，B (2,4)， ∴S △＝12(2－23)×4＝83
. 6．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] 本小题主要考查导数、导数的几何意义、不等式等基础知识．
f ′(x )＝2ax ＋1x
＝0有解(x >0)， 即2ax 2＝－1有解，∴a <0.
三、解答题
7．已知函数y ＝x 3－3x 2＋2x －9在x ＝x 0处的导数为11，求x 0的值．
[解析] ∵y ′＝(x 3－3x 2＋2x －9)′＝3x 2－6x ＋2，
∴y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.
由题知3x 20－6x 0＋2＝11，
∴3x 20－6x 0－9＝0，x 20－2x 0－3＝0，
∴x 0＝－1或x 0＝3.
8．求下列函数的导数．
(1)y ＝tan x ；
(2)y ＝x sin x －2cos x
. [解析] (1)∵y ＝tan x ＝sin x cos x
， ∴y ′＝(sin x cos x )′＝(sin x )′·cos x －sin x ·(cos x )′cos 2x
＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x
. (2)y ′＝(x sin x )′－(2cos x )′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x
. 9．曲线y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，求实数a 的值．
[解析] ∵y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′ ＝(1－ax )2＋x (1－2ax ＋a 2x 2)′
＝(1－ax )2＋x (－2a ＋2a 2x )，
∴y ′|x ＝2＝(1－2a )2＋2(－2a ＋4a 2)＝5， 即3a 2－2a －1＝0.∵a >0，∴a ＝1.。