高考数学总复习 高效课时作业x412单元质量评估 文 新人教版

单元质量评估
(120∶分钟 150∶分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．)
1．如图，在▱ABCD 中，BM ＝MC ，AM 交BD 于点N ，则BN ∶ND
等于( )
A ．1∶2
B ．2∶1
C ．1∶3
D ．1∶4
解析：∵在▱ABCD 中，
AD ∥BC ，∴BN ND ＝BM AD
， ∵AD ＝BC ，BM ＝12BC ，∴BN ND ＝12
. 答案：A
2．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是BA 延长线上一点，PC 切半圆O 于点C ，DA 切半圆O 于点A ，DA 交PC 于点D ，已知CD ＝2，DP ＝4，直径AB 的长________．
解析：∵PC 、DA 是半圆O 的切线
∴DA ＝DC ＝2，又DP ＝4
∴PC ＝6，
∴PA ＝PD 2－DA 2＝42－22
＝2 3
∵PC 2＝PA ·PB
即62＝23·PB
∴PB ＝6 3 AB ＝PB －PA ＝63－23＝4 3.
答案：4 3
3．如图，四边形ABCD 内接于半径为2的⊙O ，AB 是⊙O 的直径，对角线AC ，BD 相交于点P ，且AP ＝PC ，∠BDC ＝30°，线段BD 的长________．
解析：在同圆中，同弧所对的圆周角相等，∠CAB ＝∠BDC ＝30°.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，又AB ＝4，
∴BC ＝2，AC ＝32AB ＝23，AP ＝PC ＝3，∴BP ＝PC 2＋BC 2＝7.
由相交弦定理，得AP ·PC ＝PD ·PB ，即(3)2＝7·PD ，∴PD ＝377
. ∴BD ＝BP ＋PD ＝7＋377＝1077
.
答案：1077
4．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点引切线AD 和割线ABC ，圆心到AC 的距离为22，
AB ＝3，如图，则切线AD 的长为( )
解析：作OE ⊥BC 于E ，连接OC ，
则OE ＝2 2.BC ＝29－8＝2.
AC ＝3＋2＝5，AD 2＝AB ·AC ＝15，
故AD ＝15.
答案：15
5．如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝4 cm ，PB ＝3 cm ，PC
＝6 cm ，过点A 的⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，AE ＝2 5 cm ，
则PE 的长为 .
解析：∵PA ＝4 cm ，PB ＝3 cm ，PC ＝6 cm ，
∴PD ＝PA ·PB PC
＝2 cm. ∵EA ＝2 5 cm ，设DE ＝x ，∴x (x ＋8)＝20.
解得：x 1＝2 cm ，x 2＝－10 cm(舍去)，
∴DE ＝2 cm ，∴PE ＝PD ＋DE ＝4 (cm)．
答案：4
6．如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，∠B ＝∠ACD .已知AC ＝1，△ACD
与△BDC 的面积比为2∶1，则AD ＝________.
解析：因为∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，
所以△ACD ∽△ABC .
由S △ACD ∶S △BDC ＝2∶1，
得S △ACD ∶S △ABC ＝2∶3.
所以(AD AC )2＝23.
因为AC ＝1，所以AD ＝23＝6
3. 答案：6
3
7．如图，CA 为⊙O 的切线，切点为A ，点B 在⊙O 上，如果∠CAB
＝55°，那么∠AOB 等于________．
解析：∵弦切角∠CAB 所夹的弧是AB ，且∠CAB ＝55°，
∴AB 的度数是110°.
∵圆心角的度数等于它所对弧的度数，
∴∠AOB ＝110°.
答案：110°
8．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C ＝30°，则∠ABD ＝________.
解析：连接AD ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.
∵∠A ＝∠C ＝30°，∴∠ABD ＝60°.
答案：60°
9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP ∶PB ＝1∶
4，CD ＝8，则AB ＝________.
解析：∵AB 是⊙O 的直径，
CD ⊥AB ，
∴PC ＝PD ，PC 2＝AP ·PB .
∵CD ＝8，AP ∶PB ＝1∶4，
∴42＝4AP 2，
∴AP ＝2，∴AB ＝5AP ＝10. 答案：10
10．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则
DE ＝______；CE ＝______.
解析：根据割线定理AD ·AE ＝AB ·AC ，
AE ＝AB ·AC AD ＝4× 4＋2 3
＝8，所以DE ＝AE －AD ＝8－3＝5.
连BE ，∵BD ⊥AE ，
∴BE 为圆的直径，
B ＝42－32＝7，
BE ＝BD 2＋DE 2＝7＋52＝42，
在Rt△ECB 中，CE ＝BE 2－BC 2＝32－4＝27.
答案：5 27
11.如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，D 为劣弧AB 上任一
点，∠BAC ＝60°，则∠ADB 的度数为________．
解析：在优弧AB 上任取一点E ，连接AE ，BE ，
则∠AEB ＝∠BAC ＝60°.
∵四边形AEBD 内接于圆O ，
∴∠ADB ＝180°－∠AEB ＝120°.
答案：120°
12．如图，PT 为⊙O 的切线，T 为切点，PA 是割线，它与⊙O 的
交点是A 、B ，与直径CT 的交点是D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD
＝4，那么PB 等于________．
解析：由相交弦定理，得CD ·DT ＝AD ·BD ，
∴DT ＝
AD ·BD CD ＝3×42＝6， ∴PT 2＝(PB ＋4)2－62＝PB (PB ＋7)．
解得PB ＝20.
答案：20
13．如图，AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝
2，AB ＝6，则AC 长为________．
解析：如图，连接CB ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°.
∵EF 切⊙O 于C ，
∴∠DCA ＝∠B .∵AD ⊥EF ，
∴∠ADC ＝90°，
∴△ABC ∽△ACD ，∴AD AC ＝AC AB
，
∴AC 2＝AD ·AB ＝2×6＝12，
∴AC ＝2 3.
答案：2 3
14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知AC ＝4，AD ＝2，则BD 的长是________．
解析：法一：由直角三角形射影定理得 AC 2＝AD ·AB ，
∴AB ＝AC 2AD ＝422
＝8， ∴BD ＝AB －AD ＝8－2＝6.
法二：如图在Rt △CAD 和Rt △BAC 中，
∠A ＝∠A ，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，
∴Rt △BAC ∽Rt △CAD ，
∴AC AB ＝AD AC
，∴AC 2＝AD ·AB ， ∴AB ＝AC 2AD ＝422
＝8， ∴BD ＝AB －AD ＝8－2＝6.
答案：6
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
15．(14分)如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直
线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2
＝GF ·HF .
证明：在△AFH 与△GFB 中，
因为∠H ＋∠BAC ＝90°，
∠GBF ＋∠BAC ＝90°，
所以∠H ＝∠GBF .
因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，
所以△AFH ∽△GFB ，
所以HF BF ＝AF GF
，故AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt△ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ，
故DF 2
＝GF ·HF .
16．(14分)如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB .
(1)求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；
(2)若AD ＝23，AE ＝6，求EC 的长．
解析：(1)证明：取BD 的中点O ，连接OE .
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠CBE ＝＝∠OBE .
又∵OB ＝OE ，
∴∠OBE ＝∠BEO ，
∴∠CBE ＝∠BEO ，
∴BC ∥OE .
∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，
∴AC 是△BDE 的外接圆的切线．
(2)设⊙O 的半径为r ，则在△AOE 中，
OA 2＝OE 2＋AE 2，即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝2 3.
∴OA ＝2OE ，
∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°.
∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°.
∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3. 17．(12分)如图，AB 是⊙O 的直径，M 为圆上一点，ME ⊥AB ，垂
足为E ，点C 为⊙O 上任一点，AC ，EM 交于点D ，BC 交DE 于点
F .
求证：(1)AE ∶ED ＝FE ∶EB ；
(2)EM 2
＝ED ·EF .
证明：(1)∵ME ⊥AB ，
∴∠B ＝90°－∠BFE ＝∠D ，
∴△AED ∽△FEB ，
∴AE ∶ED ＝FE ∶EB .
(2)延长ME 与⊙O 交于点N ，由相交弦定理，
得EM ·EN ＝EA ·EB ，
且EM ＝EN ，
∴EM 2＝E A ·EB ，
∴由(1)得EM 2＝ED ·EF .
18．(16分)(2010年辽宁卷)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它
的外接圆于点E .
(1)证明：△ABE ∽△ADC ；
(2)若△ABC 的面积S ＝12
AD ·AE ， 求∠BAC 的大小．
解析：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，
所以∠AEB ＝∠ACD ，
故△ABE ∽△ADC .
(2)因为△ABE ∽△ADC ，
所以AB AE ＝AD AC
， 即AB ·AC ＝AD ·AE ，
又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12
AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，
则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，
所以∠BAC ＝90°.
19．(16分)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧
AC 上的点(不与点A ，C 重合)，延长BD 至E .
(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求△ABC 外
接圆的面积．
解析：(1)证明：如图，设F 为AD 延长线上一点，
∵A 、B 、C 、D 四点共圆，
∴∠CDF ＝∠ABC .
又AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
且∠ADB ＝∠ACB ，
∴∠ADB ＝∠CDF .
对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF .
即AD 的延长线平分∠CDE .
(2)设O 为外接圆圆心，连结AO 并延长交BC 于H ，则AH ⊥BC .
连结OC ，由题意∠OAC ＝∠OCA ＝15°，
∠ACB ＝75°，∴∠OCH ＝60°.
设圆半径为r ，则r ＋
32
r ＝2＋3，得r ＝2， 故外接圆面积为4π.
20．(12分)如图，已知在矩形ABCD 中，CD ＝2，AD ＝3，P 是AD 的一个动点，且和A 、 D 不重合，过P 作PE ⊥CP 交AB 于E ，设PD ＝x ，AE ＝y .
(1)当P 为AD 中点时，求AE 的长；
(2)写出y 关于x 的函数关系式并指出x 的取值范围；
(3)是否存在点P ，使△AEP 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上并证明
此结论．
解析：(1)∵PE ⊥CP ，
∴∠AEP ＝∠CPD ，
∴△AEP ∽△DPC ， ∴EA PD ＝AP DC
. 此时AP ＝PD ＝32
，CD ＝2， ∴AE 32＝322，AE ＝98. (2)同理△AEP ∽△DPC ， ∴EA PD ＝AP DC
， 又∵PD ＝x ，AE ＝y ，AP ＝3－x ，CD ＝2， ∴y x ＝3－x 2
. 即y ＝－12x 2＋32
x (0＜x ＜3)． (3)不存在这样的点P .
证明：假设存在这样的点P ，使△AEP 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上的点A 1处，则
A 1E ＝
AE ＝y ，BE ＝2－y ，连接AA 1，
∵A ，A 1关于PE 对称，
∴PE ⊥AA 1，PC ⊥PE ，∴AA 1∥PC ，
∴BA 1＝x ，
在Rt △A 1BE 中，x 2＋(2－y )2＝y 2，
将y ＝－12x 2＋32
x 代入上式得3x 2－6x ＋4＝0， ∵Δ＝62－4×3×4＝－12＜0，∴P 点不存在．。