2023—2024学年四川内江市高三高考适应性考试数学(文科)模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年四川内江市高三高考适应性考试数学（文）模拟试题
（二模）
1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答第1卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区城内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。

3.考试结束后，监考员将答题卡收回
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置
1.已知复数2z z 13i -=-，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =（）
A.1i
+ B.1i
- C.1i
-+ D.1i
--2.已知全集U R =，{}
2
430M x
x x =-+∣，{}
02N x x =<∣，()U C M N ⋃=（）
A.(]()
,03,-∞⋃+∞ B.(),3-∞ C.()(),13,-∞⋃+∞ D.()
3+∞3.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0,50)、[50,100)、)100,150[、)150,200[、)200,300[和)300,500[六档，分别对应“优”、
“良”、“轻度污染”“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级，如图是某市4月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（
）
A.从2日到5日空气质量越来越差
B.这14天中空气质量指数的中位数是214
C.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
D.这14天中空气质量指数的平均数约为189
4.我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为（
）
主视图侧视图俯视图
D.2
5.函数()()(cos sin ln f x x x x x =+的部分图像大致为（
）
A
B C
D
6.已知函数()x
x f x a e =-和()ln x
g x b x
=+有相同的极大值，则a b +=（）
A.2
B.0
C.3
- D.1-7.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）
A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
8.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“主”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为32.5︒，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为79.5
，圭面上冬至线与夏至
线之间的距离（即DB 的长）为14米，则表高（即AC 的长）约为（其中，3tan 32.55
≈
，27tan 79.55
≈
）
A.9.27米
B.9.33米
C.9.45米
D.9.51米
9.已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（）
C.2
D.3
10.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭
圆22
22:x y C a b
+()10a b =>>）的面积为，点P 为椭圆C 的上顶点，直线y kx =与椭圆C
交于A ，B 两点，若PA ，PB 的斜率之积为8
9
-，则椭圆C 的长轴长为（）
A.3
B.6
C. D.11.若函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
在区间(),2ππ上是单调函数，
则ω的取值可以是（）
A.2
B.
45
C.
15
D.
25
12.若关于x 的不等式31
ln <0a x a x
-+-有且只有一个整数解，则正实数a 的取值范围是（）
A.1,2ln 212⎛⎤+
⎥⎝⎦ B.1,3ln 312⎛⎤
+
⎥⎝⎦
C.[)
2ln 21,3ln 31++D 1
ln 2,3ln 31)2
⎡+
+⎢⎣
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知4a = ∣∣，且(2)a a b ⊥+
，则a b ⋅ __________.
14.若x ，y 满足约束条件0,10,240,y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩，则()2log 1z x y =+-的最大值为___________.
15.设1F ，2F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>）的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点
1F 作直线1F P 与圆2
2
2
x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()
112
OE OP OF +=
，
OE =
，则双曲线的方程为___________.
16.甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为
2
3
；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为1
2
.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为___________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，122n n S S +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）记()()
12n
n na b n n =
++，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量（单位；台），并根据这8个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场
”.
（1）当1a =，1b =时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；
（2）在这8个卖场中，随机选取2个卖场，求这两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”的概率；（3）记乙型号电视机销售量的方差为2
S ，根据茎叶图推断a 与b 分别取何值时，2
S 达到最小值.（只需写出结论）
19.在ABC △中，45ACB ∠=
，3BC =，过点A 作AD BC ⊥，交线段BC 于点D （如图1），
沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=
（如图2），点E 、M 分别为棱BC 、AC 的中点.
图1
图2
（1）求证：CD ME ⊥；
（2）在图2中，当三棱锥A -BCD 的体积取最大值时，求三棱锥A -MDE 的体积.
20.若存在实数k ，b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 同时满足：()f x kx b ≥+且()g x kx b ≤+，则称直线：:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知()2
f x x =，
()2ln g x e x =（其中e 为自然对数的底数）.试问：
（1）函数()f x 和()g x 的图象是否存在公共点，若存在，求出公共点坐标，若不存在，说明理由：
（2）函数()f x 和()g x 是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由.
21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>）的焦距为2，一条连接椭圆的两个顶点的直线斜率为32.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在点P ，使得直线AP ，PB 斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点P 的坐标；若不存在，说明理由
请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中，将曲线1C 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保
持不变，纵坐标缩短为原来的
1
2
得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρα=.（1）求曲线2C 的参数方程；
（2）已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线2C 的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标.
23.已知函数()()224R f x x x a x =-++∈.（1）若1a =，求证：()4f x ≥；
（2）若对于任意[]
1,2x ∈，都有()4f x ≤，求实数a 的取值范围.
数学（文科）答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.C
10.B
11.D
12.A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.8
-14.1
1522128
x y -=16.
7
24
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.解：（1）1n =时，由122n n S S +=+得1222S S =+，即12122a a a +=+，又12a =，24a ∴=；
当2n ≥时，11n n n a S S ++=-=-122222n n n S S a +--=，又12a =，24a =满足122a a =，即当1n =时，12n n a a +=成立，∴.数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，()
*
2N n n n α∴=∈（2）由（1）得：()()12221221
n n n n n b n n n n +⋅==-
++++，213243222222324354n T ∴=-+-+-+ 111
222221
212
1n n n n n n n n n n -+++-+-=++-++18.解：（1）根据茎叶图可知甲组数据的平均数为
1010141822252734
208
+++++++=，
乙组数据的平均数为1020222331323131
258
+++++++=，
甲型号电视机的“星级卖场”数量为4m =，乙型号电视机的“星级卖场”数量为4n =，所以m n =；2）由（1）知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为4，设选取的两个卖场都是甲型电视机的“星级卖场”设为事件M ，设甲型号电视机的“星级卖场”分别为a ，b ，c ，d ，甲型号电视机的非“星级卖场”分别为A ，B ，C ，D ，从这8个卖场中，随机选取2个卖场，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，CD ，Ca ，Cb ，Cc ，Cd ，Da ，Db ，Dc ，Dd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，c d ，共计28个
其中满足条件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，c d ，计6个所以，()63
2814
P M =
=（3）0a b ==当时，2
s 达到最小值.
19.解：（1）证明CD AD ⊥，CD BD ⊥，AD BD D ⋂=，AD 、BD ⊂平面ABD ，
CD ∴⊥平面ABD ，AB ⊂ 平面ABD ，CD AB
∴⊥又,M E 分别为AC 、BC 的中点，//ME AB ∴，CD ME ∴⊥.（2）图1所示的ABC △中，设()03BD x x =<<，则3CD x =-，
AD BC ⊥ ，45ACB ∠= ，ADC ∴△为等腰直角三角形，3AD CD x ∴==-.
折起后AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D ⋂=，BD 、DC ⊂平面BCD ，
AD ∴⊥平面BCD ，又90BDC ∠= ，()1
32
BCD S x x ∴=-△，13A BCD V AD -=
.()()()
32111
3369326BCD S x x x x x x =--=-+△，()0,3x ∈，令()()
321696f x x x x =-+，()()()1
132
f x x x '=--，
当0<<1x 时，()0f x '>；当13x <<时，()<0f x '，
1x BD ∴==时，三棱锥A-BCD 的体积最大
又易知BD ⊥平面ACD ，因为E 为线段BC 的中点，所以E 到平面ACD 的距离11
22
BD =.又111326A MDE E ADM ADM V V S --==
⨯=△，故三棱A-MDE 的体积为16
.20.解：（1）设()()()F x f x g x =-=2
2ln (0)x e x x ->，
()(222x x e F x x
x x
+=-=
'∴，令()0F x '=，得x =
当0x <<时，()<0F x '，x >()0F x '>，
故当x =
()F x 取到最小值，最小值是0，
从而函数()f x 和()g x 的图象在x =
)
e
（2）由（1）可知，函数()f x 和()g x 的图象在x =
如果存在()f x 和()g x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-+，
由()()R f x kx e x ≥-∈，可得2
0x kx e -+≥在R x ∈上恒成立，
则2
44k e =-△(2
0k =-≤，只有k =，此时直线方程为.y e
=-
下面证明(
)g x e ≤-恒成立，
令(
)(
)2ln G x e g x e e x =--=--，
(
)222e e G x x x -=-=
'x x
=
，当x =时，()0G x '=，
当0x <<时，()<0G x '
，函数单调递减；x >()0G x '>，函数单调递增，
则当x =
时，()G x '取到最小值是0，
所以(
)()0G x e g x =--≥，则(
)g x e ≤-当0x >时恒成立.∴函数()f x 和()g x
存在唯一的隔离直线y e
=-21.解：（1）由题意易知：222
22
32c b
a a
b c
⎧⎪
⎪⎨⎪⎪=+⎩==
，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为：22
1
43
x y +=（2）由（1）知椭圆C 右焦点F 坐标为(1,0)，设直线AB ：1x my =+，11(),A x y ，22(,)B x y ，
(),0P n ，
由22
120
134x m x y y =+⎧⎨⎩+-=得，()
22
34690m y my ++-=显然0>△，且122122634
934m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
此时1212PA PB y y k k x n x n =
⋅--()()
12
1111y y my n my n =
+-+-()()()
12
21222
111y y m y y n m y y n =
+-++-()()
222229611334
9
443m m m n m n m m =---+++--
+()()()22229961134m m n n m =+---+
()()
2
2
29
3441m n n =
---由上式知：无论m 取何值，当2
4n =，即±2n =时，P PA B k k 是一个与m 无关的定值，
当2n =-时，2
91
434PA PB k k ==--⨯；当2n =时，99414
P PA B
k k ==--⨯综上所述，存在定点P 满足题意，当定点为()2,0P -时，直线AP ，PB 斜率之积为1
4
-；当定点为()2,0P 时，直线AP ，PB 斜率之积为9
4
=-
22.解：（1）由4cos ρα=得2
4cos p ρα=，将222
cos x y x
ρρα⎧=+⎨=⎩代人整理得，
曲线1C 的普通方程为()2
2
24x y -+=，
设曲线1C 上的点为(),x y ''，变换后的点为(),x y ，由题可知坐标变换为212x x y y =-⎧⎪
⎨''=⎪⎩，
即22y x x y
=+⎧⎨=⎩''，代入曲线1C 的普通方程，整理得曲线2C 的普通方程2
214x y +=，∴曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）.
（2）设四边形MNPQ 的周长为l ，设点(2cos ,sin )02M πθθθ⎛⎫<<
⎪⎝
⎭
，8cos 4sin l θθ=
+θθ⎫
=+⎪
⎭
()θϕ=+，
且cos ϕ=
sin ϕ=
02πθ<<
2
π
ϕθϕ∴<<Φ<+，sin()1θϕ∴+
，max
l ∴=.且当2πθϕ+=时，l 取最大值，此时2
π
θϕ=-，
所以2cos 2sin θϕ==
，sin cos θϕ==
，此时455,55M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
23解，当1a =时，()2241f x x x =-++当2x ≥时，()()2
2325f x x x f =+-≥=，当<2x 时，()()2
2514f x x x f =-+≥=，所以()4f x ≥.（2）当[]
1,2x ∈时，()242f x x x a =-++，由()4f x ≤，得2222x x a x x --≤≤-+，设()212h x x x =--，()2
2g x x x =-+，对任意[]1,2x ∈，()4f x ≤恒成立，所以()()max min h x a g x ≤≤，因为在区间[1,2]上，()()max h 13h x ==-，()()min 20g x g ==，所以30a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]3,0-。