非线性是什么意思与线性的区别是什么

⾮线性是什么意思与线性的区别是什么
⾮线性是⾃然界复杂性的典型性质之⼀，那么你对⾮线性了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是⾮线性的内容，希望⼤家喜欢!
什么是⾮线性
⾮线性(non-linear)，即变量之间的数学关系，不是直线⽽是曲线、曲⾯、或不确定的属性，叫⾮线性。

⾮线性是⾃然界复杂性的典型性质之⼀;与线性相⽐，⾮线性更接近客观事物性质本⾝，是量化研究认识复杂知识的重要⽅法之⼀;凡是能⽤⾮线性描述的关系，通称⾮线性关系。

狭义的⾮线性是指不按⽐例、不成直线的数量关系，⽆法⽤线性形式表现的数量关系，如曲线、曲⾯等。

⽽⼴义上看，是⾃变量以特殊的形式变化⽽产⽣的不同于传统的映射关系，如迭代关系的函数，上⼀次演算的映射为下⼀次演算的⾃变量，显然这是⽆法⽤通常的线性函数描绘和形容的。

很显然，⾃然界事物的变化规律不是像简单的函数图像，他们当中存在着并⾮⼀⼀对应的关系。

如果说线性关系是互不相⼲的独⽴关系，那么⾮线性则是体现相互作⽤的关系，正是这种相互作⽤，使得整体不再是简单地全部等于部分之和，⽽可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。

线性与⾮线性的区别
⾮线性是相对于线性⽽⾔的，是对线性的否定，线性是⾮线性的特例，所以要弄清⾮线性的概念，明确什么是⾮线性，⾸先必须明确什么是线性，其次对⾮线性的界定必须从数学表述和物理意义两个⽅⾯阐述，才能较完整地理解⾮线性的概念。

(1) 线性
对线性的界定，⼀般是从相互关联的两个⾓度来进⾏的：其⼀，叠加原理成⽴：“如果ψl，ψ2是⽅程的两个解，那么aψl+bψ2也是它的⼀个解，换⾔之，两个态的叠加仍然是⼀个态。

”叠加原理成⽴意味着所考察系统的⼦系统间没有⾮线性相互作⽤。

其⼆，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定义域内处处存在且相等，变量间的⽐例关系在变量的整个定义域内是对称的。

(2) ⾮线性
在明确了线性的含义后，相应地⾮线性概念就易于界定：
其—，“定义⾮线性算符N(φ)为对⼀些a、b或φ、ψ不满⾜L(aφ+bψ)=aL(φ)+bL(ψ)的算符”，即叠加原理不成⽴，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对(aφ+bψ)的操作，等于分别对φ和ψ操作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作，或者φ、ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。

其⼆，作为等价的另—种表述，我们可以从另⼀个⾓度来理解⾮线性：在⽤于描述—个系统的⼀套确定的物理变量中，⼀个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它变量的相应变化是不成⽐例的，换⾔之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义域中有不存在或不相等的地⽅，概括地说，就是物理变量间的⼀级增量关系在变量的定义域内是不对称的。

可以说，这种对称破缺是⾮线性关系的最基本的体现，也是⾮线性系统复杂性的根源。

对⾮线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成⽴必将导致其⼆物理变量关系不对称;反之，如果物理变量关系不对称，那么叠加原理将不成⽴。

之所以采⽤了两种表述，是因为在不同的场合，对于不同的对象，两种表述有各⾃的⽅便之处，如前者对于考察系统中整体与部分的关系、微分⽅程的性质是⽅便的，后者对于考察特定的变量间的关系(包括变量的时间⾏为)将是⽅便的。

关于⾮线性概念需要强调的是，线性或⾮线性的提法是相对于物理变量⽽⾔的，也就是说，只有物理变量的关系才是判断是否是⾮线性的根据，⽽⾮物理变量的关系不能成为⾮线性与否的判据。

这⾥所说的物理变量是指那些可以观测的、⼈们感兴趣的、对⼈类有意义的变量。

例如分形理论中，简单分形的分维D 是恒量，在⽆标度区间内lnN=DlnL，lnN与lnL是线性关系，但是显然不能籍此得出简单分形是线性的结论。

这⾥的物理变量是N和L，⽽不是经过对数变换的nN与lnL，即⼈们可观测的、感兴趣的、对⼈们有意义的是N和L，⽽不是lnN和lnL，N与L的关系N=LD是⾮线性的，所以可得出分形是⾮线性的结论。

再如，物价对时间的直接关系(⽽不⾜Mandbrolt所统计的棉花价格指数的⽆标度性)正是⼈们感兴趣的、对⼈们有意义的，⽽且两者的关系是⾮线性的，所以物价随时间的变化是⼀种⾮线性现象。

⾮线性的性质
⾮线性科学正处于发展过程之中，它所研究的各门具体科学中的⾮线性普适类，有已经形成的(如混沌、分形、孤⼦)，有正在形成的(如适应性与⾃涌⾏为)，还会有将要形成的，所以⾮线性的性质还没有完
全呈现出来，这⾥也就不可能全⾯地讨论⾮线性的性质。

下⾯仅从“⾮线性与线性的关系”、“⾮线性的物理机制”和“⾮线性与稳定性”三个⽅⾯作初步探讨。

(1) ⾮线性与线性的关系
⾮线性与线性是相对⽽⾔的，两者是⼀对⽭盾的概念，⼀⽅⾯两者在⼀定程度上可以相互转化，另⼀⽅⾯两者⼜存在本质区别，再者两者同时存在于—个系统中，规定着系统相应⽅⾯的性质。

①⾮线性与线性的密切联系
⾸先，在数学上⼀些线性⽅程可转化为⾮线性⽅程来解。

物理上的⼀些⾮线性问题，也可以通过数学变换⽽转化为线性⽅程来研究。

如⾮线性的KdV⽅程通过散射反演⽅法化为线性的可积⽅程，从⽽求出了精确的解析解;⼀些⾮线性不强的问题，可⽤线性逼近⽅法将其转化为若⼲线性问题来求近似解，这是已在各门学科中⼴泛采⽤并相当有效的的⽅法。

其次，在某些情况下，由⽅程得到的解析解并不能提供更多的信息，⽆助于更好地理解系统的⾏为，⽽从解的⾮线性形式中，我们却可以⽅便地得到所研究系统的重要性质。

如：考虑这样⼀个简单⽅程：d2X/dt2+X=0，它的解是X=Acos(t)+Bsin(t)，从这个⾮线性形式中，我们容易知道它是个周期函数，满⾜cos(t+2π)=cos(t)，sin(t+2π)=sin(t)。

⽽从cos(t)和sin(t)的解析形式中，极难证明其具有相应的周期性这⼀重要性质。

所以，认为线性⽅程可以得到解析解，⾮线性⽅程难以得到解析解，因⽽线性能给出⽐⾮线性更多的有⽤信息是不确切的。

这意味着，对某些问题从⾮线性的⾓度考察不仅是可能的，⽽且有时也是必要的。

所以，线性与⾮线性在⼀定程度上是可以相互转化的，这表明了线性与⾮线性之间有密切的联系。

②⾮线性与线性的本质区别
⾮线性与线性虽然可以通过数学变换⽽相互转化，在数学上有⼀定的联系，但是在同⼀视⾓、同⼀层次、同⼀参照系下，⾮线性与线性⼜是有本质区别的。

在数学上，线性函数关系是直线，⽽⾮线性函数关系是⾮直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等;线性⽅程满⾜叠加原理，⾮线性⽅程不满⾜叠加原理;线性⽅程易于求出解析解，⽽⾮线性⽅程⼀般不能得出解析解。

在物理上，近线性问题(它不是我们所说的⾮线性问题)可⽤线性逼近⽅法求出⼀定精确度的解，即依据具体问题对精确度的要求，逐次解出若⼲个线性问题，把它们叠加起来，就能得到很好的近似解。

但是对于⾮线性问题，由于存有⼩参数发散及收敛慢等问题，线性逼近⽅法将失效，特别是对于⾼速运动状态、强烈的相互作⽤、长时间的动态⾏为等⾮线性很强的情况，线性⽅法将完全⽆能为⼒。

线性逼近⽅法的这些局限性，导致⾮线性⽅法的不可替代，在⽆法⽤线性⽅法处理的强⾮线性的地⽅，只能⽤⾮线性⽅法。

线性逼近⽅法并⾮经常能奏效，这不光是⽅法论问题，也是⾃然观问题，⾃然界既有量变⼜有质变，在质变中，⾃然界要经历跃变或转折，这是线性所不能包容的。

③⾮线性与线性在同⼀系统中的作⽤
⾮线性与线性有⼀定的联系⼜有本质区别，它们常同时存在于⼀个系统之中，规定着系统不同侧⾯的性质，⼀个确定的系统，⼀般都同时具有线性和⾮线性两种性质：⾸先，在⼀个给定的⾮线性系统中，它的⾮线性性质决定它的平衡构造或说稳定机制是否存在，及存在的地⽅。

其次，系统的线性性质决定着系统关于其平衡点(稳定结构)的⼩振动的规律，即系统在稳定点附近的线性展开性质。