导数与函数的单调性课件——2025届高三数学一轮复习

当a>1时，函数f (x)在 0，
1

和(1，＋∞)上单调递增，在
1
，1

上单调递减．
第2课时 导数与函数的单调性
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课时分层作业
[拓展变式] 若将本例中参数a的取值范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论
f (x)的单调性．
[解] 当a>0时，讨论同例题解析；
当a≤0时，ax－1<0，
综上，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f (x)在(0，a)上单调
递减，在(a，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，
令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2.
①当a>ln 2时，x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，
∴x∈(0，1)时，f ′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，∴函数f (x)在(0，1)上单调递
增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0<a<1时，函数f (x)在(0，1)和
1
，+∞

上单调递增，在 1，
1
是(
)
A．先增后减
B．先减后增
C．单调递增
D．单调递减
D [因为f ′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f (x)在(0，π)上单调递减，故
选D.]
3．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T1改编)函数f (x)＝x－ln x的单调递减区间
(0，1)
为________．
1
当x∈(0，x1)时，f ′(x)<0，∴f (x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f ′(x)>0，∴f (x)单调递增．故选C.]
第2课时 导数与函数的单调性
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2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性
单调递增．
1

③当a>1时，0< <1，∴x∈ 0，
x∈
在
1
，1

1
，1

1

∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0；
时，f ′(x)<0，∴函数f (x)在
1
0，

和(1，＋∞)上单调递增，
上单调递减．
综上，当0<a<1时，函数f (x)在(0，1)和
1
，

+ ∞ 上单调递增，在
1
1，

上单
调递减；
当a＝1时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
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1．函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f (x)在区
间(a，b)上可导
恒有
结论
f ′(x)>0
单调递增
f (x)在区间(a，b)上________
f ′(x)<0
单调递减
f (x)在区间(a，b)上________
f ′(x)＝0
常数函数
f (x)在区间(a，b)上是________
[解]
(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)， f
−
′(x)＝1－ ＝ ，令f


′(x)＝0，得x＝a.
①当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，x∈(0，a)时，f ′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>0，
∴f (x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，f ′(x)＝0的实数
第2课时 导数与函数的单调性
第三章
一元函数的导数及其应用
第2课时 导数与函数的单调性
第2课时 导数与函数的单调性
结合实例，借助几何直观了解
函数的单调性与导数的关系.
考试
要求
能利用导数研究函数的单调性，会
求函数的单调区间(其中多项式函
数一般不超过三次)．
第2课时
第2课时导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
上单调递减．
，
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考点二
含参数的函数的单调性
[典例2]
已知函数f (x)＝ ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f (x)的单调性．
[解]
1
2
函数的定义域为(0，＋∞)，
1 2 − +1 +1
( √ )
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二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编) f ′(x)是f (x)的导函数，
若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(
A
C
B
)
C
D
[由f ′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，∴f (x)单调递增；
3．f ′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f (x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)
＝x3在R上单调递增，但f ′(0)＝0.
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一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性．
1
−ln −1

e
1

(x＞0)．设h(x)＝ －ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－
1
2
1

− ＜0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f ′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，所以f ′(x)＜0.综上，f (x)的单调递增区间是(0，1)．]
[常用结论]
1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，
b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立．
2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)
在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解．

上单调递减；
当a＝1时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>1时，函数f (x)在
1
0，

和(1，＋∞)上单调递增，在
1
，1

上单调递减．
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【教师备选资源】
讨论下列函数的单调性．
(1)f (x)＝x－a ln x；
(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减．
②当a＝ln 2时，g′(x)≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增．
③当a<ln 2时，x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减．
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名师点评 (1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后
顺序有以下三个：
分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f ′(x)＝0是否有实数根，从而引起
分类讨论；
分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f ′(x)＝0有实数根，但不清楚
f ′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；
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【教师备选资源】
已知函数f
[解]
f
sin
(x)＝8x－ 3 ，x∈
cos
π
0，
2
，讨论f (x)的单调性．
cos cos3 +3sin cos2 sin
′(x)＝8－
cos6
cos2 +3 sin2
3−2 cos2
＝8－
＝8－
.
cos4
cos4
令cos2x＝t，则t∈(0，1)，则f
当t∈ 0，
当t∈
1
2
1
，1
2
8 2 +2−3
2−1 4+3
′(x)＝g(t)＝
＝
2
2
，即x∈
π
π
，
4
2
，f ′(x)<0.
，即x∈
π
0，
4
，f ′(x)>0.
所以f (x)在 0，
π
4
上单调递增，在
π
π
，
4
2
(1)(－∞，0)和
2− ln 2
2
2
，
ln 2
2
，
ln 2
+∞
(2)(0，1)
，令f ′(x)<0，得x<0或x>
[(1)∵f
2
(x)＝ ，∴f
2
2
，∴函数f
ln 2
2·2 − 2 ·2 ln 2
′(x)＝
＝
2 2
(x)的单调递减区间为(－∞，0)和
+∞ .
(2)由题意知f ′(x)＝
第2课时
第2课时导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
典例精研 核心考点
考点一 不含参数的函数的单调性
[典例1] (1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(
A．f (x)＝sin 2x
C．f (x)＝x3－x
B．f (x)＝xex
1
2
π
2
(2)讨论函数f (x)＝sin x－ x2－x cos x在 − ，
−1 −1
f ′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝



1
①当0<a<1时， >1，

∴x∈(0，1)∪
x∈
1
1，

1
，

+ ∞ 时，f ′(x)>0；
时，f ′(x)<0，
∴函数f (x)在(0，1)和
在 1，
1

1
，

上单调递减．
+ ∞ 上单调递增，
.
1
②当a＝1时， ＝1，∴f

′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x)在(0，＋∞)上
只能用“，”及“和”隔开．
第2课时 导数与函数的单调性
[跟进训练]
1．(1)函数f (x)＝
2
2
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2
(－∞，0)和
，+∞
ln 2
的单调递减区间为______________________；
ln +1
(0，1)
的单调递增区间为________．

e
(2)函数f (x)＝
( √ )
(2)若函数f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f ′(x)≤0且f ′(x)＝0的根有有限个，则
f (x)在(a，b)上单调递减．
( √ )
(3)若函数f (x)在定义域上都有f ′(x)>0，则f (x)在定义域上一定单调递增． ( × )
(4)函数f (x)＝x－sin x在R上单调递增．

2
′(x)＝3x2－1，f
1
3
第2课时 导数与函数的单调性
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1
2
因为f (x)＝sin x－ x2－x cos x，所以f ′(x)＝x(sin x－1)．
(2)[解]
π
2
π
2
∵当－ <x< 时，sin x＜1，∴当x∈ 0，
f ′(x)＞0，∴f (x)在

(0，1) [函数f (x)的定义域为{x|x＞0}，由f ′(x)＝1－ ＜0，得0＜x＜1，
所以函数f (x)的单调递减区间为(0，1)．]
4．(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f (x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，
3
则实数a的最大值是________．
3 [f ′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3．]
综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调
递减；
当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；
当a<ln 2时，g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减．
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(1)B [对于A，f ′(x)＝2cos 2x，f ′
π
3
π
2
)
D．f (x)＝－x＋ln x
上的单调性．
＝－1＜0，不符合题意；
对于B，f ′(x)＝(x＋1)ex＞0在(0，＋∞)上恒成立，符合题意；
对于C，f
对于D，f
2
′ ＝－ ＜0，不符合题意；
3
1
1
′(x)＝－1＋ ，f ′(2)＝－ ＜0，不符合题意．]
π
− ，0
2
π
2
π
2
时，f ′(x)＜0，当x∈ − ，0 时，
上单调递增，在
π
0，
2
上单调递减．
名师点评 利用导函数求函数单调区间的注意点
(1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．
(2)正确求导函数．
(3)当f ′(x)＝0无解时，可根据f ′(x)的结构特征确定f ′(x)的符号．
(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，
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2．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的______；
定义域
第2步，求出导数f ′(x)的____；
零点
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的
正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．