浙江省杭州市五常中学2019年高一数学理联考试题含解析

浙江省杭州市五常中学2019年高一数学理联考试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且，则实数x的值是（）
A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2
参考答案：
D
考点：空间两点间的距离公式．
专题：计算题．
分析：利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x的方程，求方程的解即可．
解答：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），
，
∴，
∴x2﹣4x﹣12=0
∴x=6，x=﹣2
故选D．
点评：本题考查空间两点之间的距离，是一个基础题，题目的解法非常简单，若出现一定不要丢分．
2. 已知，则= （）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
A
略
3. 给定集合A、B，定义A※B＝{x|x＝m－n，m∈A，n∈B}．若A＝{4,5,6}，B＝{1,2,3}，则集合A※B中的所有元素之和为()
A．15 B．14 C．27 D．－14
参考答案：
A
4. 在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如下图，假设三个班的平
均分都是75分,分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有：
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．s3＞s2＞s1
参考答案：
D
略
5. 函数的定义域是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
6. 已知函数f（x）=，则f（5）=（）
A．32 B．16 C．D．
参考答案：
C
【考点】3T：函数的值；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】根据题设条件知f（5）=f（2）=f（﹣1）=2﹣1=．
【解答】解：f（5）=f（2）=f（﹣1）=2﹣1=．
故选C．
7. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得
，，，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB为( )
A. B. C. 60m D. 20m
参考答案：
D
【分析】
由正弦定理确定的长，再求出。

【详解】，
由正弦定理得：
故选D
【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出，属于基础题。

8.
正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）
（A）(B) (C) (D)
参考答案：
D
9. 设关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）
A．(－∞，) B．(－∞，) C．(－∞，) D．(－∞，)
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的
上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）
在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，
故得不等式组，
解之得：m＜﹣．
故选C．
10. 等比数列中，，，则的值为（）
A. B.
C. 128
D. 或
参考答案：
D
【分析】
根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.
【详解】设公比为，则，∴，
∴或，∴或，
即或.
故选D.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）函数y=的定义域是．
参考答案：
[﹣1，0）∪（0，+∞）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：要使函数有意义，则需1+x≥0且2x﹣1≠0，解得即可得到定义域．
解答：要使函数有意义，则需
1+x≥0且2x﹣1≠0，
解得，x≥﹣1且x≠0，
即有定义域为[﹣1，0）∪（0，+∞）
故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．
点评：本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，分式分母不为0，考查运算能力，属于基础题．
12. 函数y=的定义域为 .
参考答案：
略
13. 关于函数，有下列结论：
①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；
②函数f（x）是奇函数；
③函数f（x）的最小值为﹣lg2；
④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数．
其中正确结论的序号是．（写出所有你认为正确的结论的序号）
参考答案：
①④
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】①根据对数函数的真数大于0，建立关系式解之验证定义域即可；②函数f（x）是奇函数，利用奇函数的定义进行判断；③函数f（x）的最小值为﹣lg2，利用基本不等式与对数的运算性质求出最值；④求出导数，解出单调区间，验证即可．
【解答】解：①函数f（x）的定义域是（0，+∞），令＞0，解得x＞0，故定义域是（0，+∞），命题正确；
②函数f（x）是奇函数，由①知，定义域不关于原点对称，故不是奇函数，命题不正确；
③函数f（x）的最小值为﹣lg2，不正确，因为，最大值是﹣lg2，故命题不正确；
④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数，命题正确，
因为，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数大于0，得x＞1，故命题正确．
综上，①④正确
故答案为：①④
【点评】本题主要考查对数函数的单调性与特殊点解题的关键是熟练掌握对数的性质，同时考查了推理论证的能力以及计算论证的能力，属于中档题．
14. 已知当时，函数（且
）取得最小值，则时，a的值为__________．
参考答案：
3
【分析】
先根据计算，化简函数，再根据当时，函数取得最小值，代入计算得到答案.
【详解】或
当时，函数取得最小值：
或（舍去）
故答案为3
【点睛】本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
15. 已知幂函数图象过点，则=__________。

参考答案：
3
略
16. 若函数f（x）=x2+（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围为．
参考答案：
{a|a≤﹣7}
【考点】二次函数的性质．
【分析】判断二次函数的开口方向，求出对称轴，利用已知条件列出不等式求解即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+（a﹣1）x+2的开口向上，对称轴为：x=，
函数f（x）=x2+（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是单调递减的，
可得4≤，解得a≤﹣7，
故答案为：{a|a≤﹣7}．
17. 已知定义在实数集R上的偶函数在区间(－∞,0]上是减函数，则不等式
的解集是．
参考答案：
定义在实数集上的偶函数满足，
所以不等式等价于，
由偶函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数.
所以，解得或，有：或.
不等式的解集是.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. △ABC的内角A,B,C,的对边分别为a,b,c ,已知.
（1）求cos B；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b.
参考答案：
19. （本题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）讨论的奇偶性； （Ⅱ）当
为奇函数时，判断
在区间
上的单调性，并用单调性的定
义证明你的结论． 参考答案：
解：（Ⅰ）①当
时，
，其定义域为
Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知为奇函
数时，
在区间
上
关于原点对称。

又
为奇函数
②当时，
，其定义域为
关于原点对称。

又
为偶函数
③当时
又
既不是奇函数也不是偶函数是减函数
设任意的且
，则
又且
，
在区间上是减函数.
20. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（Ⅰ）若，且，求向量；
（Ⅱ）若，且与垂直，求与的夹角的正弦值.
参考答案：
（Ⅰ）或；（Ⅱ）.
试题分析：（Ⅰ）因为是在坐标前提下解决问题，所以求向量，即求它的坐标，这样就必须建立关于坐标的方程；（Ⅱ）求与的夹角的正弦值，首先应想到求它们的余弦值，如何求，还是要建立关于它的方程，可由与垂直关系，确立方程来解决问题.
试题解析：（Ⅰ），可设，
1分
∴，，
2分
∴
4分
∴或.
6分
（Ⅱ）∵与垂直，∴，即
8分
∴，
∴， 10分
，所以与的夹角的正弦值
12分
21. 计算.
参考答案：
22. 化简；
（1）
（2）cos20°+cos160°+sin1866°﹣sin（﹣606°）
参考答案：
【考点】诱导公式的作用．
【分析】利用诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”即可得出．
【解答】解：（1）原式==﹣1；
（2）原式=cos20°﹣cos20°+sin（5×360°+66°）﹣sin（﹣2×360°+114°）
=sin66°﹣sin114°
=sin66°﹣sin
=sin66°﹣sin66°
=0．。