高考数学压轴专题2020-2021备战高考《集合与常用逻辑用语》分类汇编及解析

【最新】《集合与常用逻辑用语》专题解析
一、选择题
1．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：
①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN
③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45o
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①③
B ．①②④
C ．③④
D ．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由线线平行和垂直的性质可判断①，由线面平行的判定定理和性质定理可判断②，由平行线分线段成比例可判断③，由异面直线所成角的定义可判断④.
【详解】 Q 截面PQMN 是正方形，PQ MN ∴//,
又MN ⊂Q 平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，
PQ ∴//平面ADC ，
PQ ⊂Q 平面ABC ，平面ABC I 平面ADC AC =
PQ AC ∴//，同理可得PN BD //
由正方形PQMN 知PQ PN ⊥，则AC BD ⊥，即①正确；
由PQ AC //，PQ ⊂平面PQMN ，AC ⊄平面PQMN ，
得AC //平面PQMN ，则②正确；
由PQ AC //，PQ MN //,得AC MN //, 所以AC AD MN DN
=， 同理可证
BD AD PN AN
=， 由正方形PQMN 知PN MN =，但AN 不一定与DN 相等， 则AC 与BD 不一定相等，即③不正确；
由PN BD //知MPN ∠为异面直线PM 与BD 所成的角，
由正方形PQMN 知45MPN ∠=︒，则④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题的真假判断，主要是空间线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题.
2．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5， 因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，
故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
3．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()1122
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()1122
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()1122
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()1122
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假.
【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()1122
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”； 由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“12x x +
≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；
（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +
≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x
+
≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.
【详解】
22x y +≥Q 且224x y +≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ，
等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ，
等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤， 反过来，当12,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.
故选:C
【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
6．集合{}|12A x x =-<，1393x B x
⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2
B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B
【解析】
【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.
【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I .
故选：B .
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
7．已知圆222:(1)(0)C x y r r +-=>，设:0p r <<q ：圆C 上至多有2个点到
直线30x y ++=p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
由圆C 的圆心为(0,1)，得到其到直线30x y ++=的距离为“,r d ”法，分析当
0r <<，r =r <<，r =r >时，圆C 上的点到直线30x y ++=
的个数，再根据逻辑条件的定义求解.
【详解】
圆C 的圆心为(0,1)，其到直线30x y ++=的距离为．
当0r <<；
当r =；
r <时，圆上有2
；
当r =3
；
当r >，圆上有4
．
若圆C 上至多有2个点到直线30x y ++=的距离为2
，则0r <<
所以p 是q 的充要条件．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
8．给出下列说法：
①定义在[],a b 上的偶函数
()()24f x x a x b =-++的最大值为20； ②“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；
③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +
≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x +<”． 其中正确说法的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42
a x +=， 该函数为偶函数，则402
a +=，得4a =-，且定义域[]4,
b -关于原点对称，则4b =， 所以，()2
4f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+
∈， 所以，tan 14x x π=
⇒=，tan 14x x π=⇐=/， 则“4x π
=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；
对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.
故选：D.
【点睛】
本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．
9．已知集合(){}2||lg 4A x y x
==-，{|B x y ==，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<
C ．{}|13x x 剟
D ．{}|23x x -<… 【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．
【详解】
由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x
B x y ==-=-===，
所以{|12}A B x x =≤<I .
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
10．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）
A ．当8n =时，该命题不成立
B ．当8n =时，该命题成立
C ．当6n =时，该命题不成立
D ．当6n =时，该命题成立 【答案】C
【解析】
【分析】
写出命题“假设()*n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，
结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】 由逆否命题可知，命题“假设()*n k k N
=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题为“假设当()1n k k N
*=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成
立”，
由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C.
【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
11．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==
+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =
B ．M N
C ．N M
D ．M N ⋂=∅ 【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合2|,4k M x x k Z +⎧
⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭
，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.
【详解】
由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧
⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，
所以集合,M N 的关系为N
M .
故选：C .
【点睛】
本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以
该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误.
故选：A
【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可
【详解】
若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a b a a b >⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立
但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件
【点睛】
本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论
14．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
15．已知曲线C 的方程为22
121x y m m
+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12
m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．
【详解】
若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m <<
若102
m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12
m >
且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题
所以选C
【点睛】 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．
16．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=
”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
必要性显然成立；由()12
n n n a a S +=，()111(1)2n n n a a S ---+=，得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若()12
n n n a a S +=，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，
所以当3n …
时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差
数列，充分性得证，所以“()12
n n n a a S +=
”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 故选：C.
【点睛】 本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
17．已知集合{}260A x x x =--≤，(){}
lg 2B x y x ==-，则A B =I （ ） A ．[)2,2-
B ．[]2,3
C ．(]2,3
D ．()3,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 根据一元二次不等式的解答和对数函数的性质，求得,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．
【详解】 由题意，集合{}{}
26023A x x x x x =--≤=-≤≤，(){}{}lg 22B x y x x x ==-=>，
所以(]2,3A B =I ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了集合运算及性质，其中解答中熟记集合交集的概念及运算是解答的关键，着重考查数学运算能力．
18．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞
； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；
故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
19．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”的（） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，
由“1a <-”，可得4π
θ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π” 不能得到“1a <-”，即可得解.
【详解】
解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则
tan 1a θ=->，即4π
θ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π”， 若“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”，不妨令34πθ=， 则3tan 14
a π=-=，则不能得到“1a <-”， 即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4
π”的充分而不必要条件， 故选A.
【点睛】 本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
20．设集合{}
20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}02x x ≤<
D ．{}
02x x << 【答案】B
【解析】
【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，
所以{}
01M N x x ⋂=<<.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.。